中小学生学习指导百卷书数理学科 奇妙故事大世界B.pdf

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1、Learning materials?美妙的数学长期以来，一个令人困惑的现象是：一些同学视数学如畏途，兴趣淡漠，导致数学成绩普遍低于其他学科。这使一些教师、家长乃至专家、学者大伤脑筋！“兴趣是最好的老师。”对任何事物，只有有了兴趣，才能产生学习钻研的动机。兴趣是打开科学大门的钥匙。对数学不感兴趣的根本原因是没有体会到蕴含于数学之中的奇趣和美妙。一个美学家说：“美，只要人感受到它，它就存在，不被人感受到，它就不存在。”对数学的认识也是这样。有人说：“数学真枯燥，十个数字来回转，加、减、乘、除反复用，真乏味！”有人却说：“数学真美好，十个数字颠来倒，变化无穷最奇妙！”认为枯燥，是对数学的误解；感到

2、了兴趣，才能体会到数学的奥妙。其实，数学确实是个最富有魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。尽管语文的优美词语能令人陶醉，历史的悲壮故事能使人振奋，然而，数学的逻辑力量却可以使任何金刚大汉为之折服，数学的浓厚趣味能使任何年龄的人们为之倾倒！茫茫宇宙，浩浩江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！数学的趣，醇浓如酒，令人神魂颠倒。因为它美，才更有趣；因为它有趣，才更显得美。美和趣的和谐结合，便出现了种种奇妙。这也许正是历史上许许多多的科学家、艺术家，同时也

3、钟情于数学的原因吧！数学以它美的形象，趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。一、数学的趣味美数学是思维的体操。思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地。数学的趣味美，体现于它奇妙无穷的变幻，而这种变幻是其他学科望尘莫及的。揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数、对称数、完全数、魔术数的面纱，令人惊诧；观看了数字波涛、数字漩涡令人感叹！一个个数字，非但毫不枯燥，却生机勃勃，鲜活亮丽！根据法则、规律，运用严密的逻辑推理演化出的各种神机妙算、数学游戏，是数学趣味性的集中体现，显示了数学思维的出神入化！各种变化多端的奇妙图形，赏心悦目；各种扑朔迷离的符形数谜，牵魂系梦；图形式题的巧解妙算，启人心扉，令

4、人赞叹！Learning materials?魔幻迷题，运用科学思维，“弹子会告密”、“卡片能说话”，能知你姓氏，知你出生年月，甚至能窥见你脑中所想，心中所思真是奇趣玄妙，鬼斧神工。面对这样一些饶有兴味的问题，怎能说数学枯燥乏味呢？二、数学的形象美黑格尔说：“美只能在形象中出现。”谈到形象美，一些人便联想到文学、艺术，如影视、雕塑、绘画等等。似乎数学中的数与形只是抽象的孪生兄弟。其实不然。数学是研究数与形的科学，数形的有机结合，组成了万事万物的绚丽画面。数字美：阿拉伯数字的本身便有着极美的形象：1字像小棒，2字像小鸭，3字像耳朵，4 字像小旗瞧，多么生动。符号美：“= ” （等于号）两条同样长

5、短的平行线，表达了运算结果的唯一性，体现了数学科学的清晰与精确。“”（约等于号）是等于号的变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧。“”（大于号）、“”（小于号），一个一端收紧，一个一端张开，形象的表明两量之间的大小关系。 （） （大、中、小括号）形象地表明了内外、先后的区别，体现对称、收放的内涵特征。线条美：看到“”（垂直线条），我们想起屹立街头的十层高楼，给我们的是挺拔感；看到“”（水平线条），我们想起了无风的湖面，给我们的是沉静感；看到“”（曲线线条），我们想起了波涛滚滚的河水，给我们的是流动感。几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目。 e w l M V I M A

6、G E , M V I M A G E , ! r d 0 0 0 0 2 3 _ 0 0 0 3 _ 0 1 . b m p 三角形的稳定性，平行四边形的变态性，圆蕴含的广阔性都给人以无限遐想。脱式运算的“收网式”变形以及统计图表，则是数与形的完美结合。我国古代的太极图，把平面与立体、静止与旋转，数字与图形，更作了高度的概括！三、简洁美数学科学的严谨性，决定它必须精练、准确，因而简洁美是数学的又一特色。数学的简洁美表现在：Learning materials?1 . 定义、规律叙述的高度浓缩性，使它的语言精练到“一字千金”的程度。质数的定义是“只有 1 和它本身两个约数的数”，若丢掉“只”字

7、，便荒谬绝伦；小数性质中“小数末尾的 0 ”中的“末尾”若说成“后面”，便“失之千里”。此种例证不胜枚举。2 . 公式、法则的高度概括性。一道公式可以解无数道题目，一条法则囊括了万千事例。三角形的面积= 底高2 。把一切类型的三角形（直角的、钝角的、锐角的；等边的、等腰的、不等边的）都概括无遗。“数位对齐，个位加起，逢十进一”把 2 0 以内、万以内、多位数的各种整数相加方法，全部包容了进去。3 . 符号语言的广泛适用性。数学符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面。a + b = b + a a b c = a c b = b

8、c a 其中 a ，b ，c 可以是任何整数、小数或分数。S = 1 / 2 ( a + b ) h ，适用于各种形状梯形面积的求解。a bababab=11,表达了乘与除相互转化的关系 反映了事物的对立统一。R2- r2= （R + r ）（R - r ），环形面积的多解性便富含其中。rrrrr2222222222257%,=():则表明圆中方 剪去部分与正方形面积间的固有联系。所以，这些用符号表达的算式，既节省了大量文字，又反映了普遍规律，简洁，明了，易记。充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。四、对称美对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称、中心对称图形，幻方、数阵以及等量关系都

9、赋予了平衡、协调的对称美。略举几例：算式：2 3 = 4 6X + 5 = 1 7 - 9数阵：数学概念竟然也是一分为二的成对出现的：“整分，奇偶，和差，曲直，方圆，分解组合，平行交叉，正比例反比例显得稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。图形：Learning materials?数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学之美还不仅于此，它贯穿于数学的方方面面。数学的研究对象是数、形、式，数的美，形的美，式的美，随处可见。它的表现形式，不仅有对称美，还有比例美、和谐美，甚至数学的本身也存在着题目美、解法美和结论美。上述这些只是浮光掠影的点点滴滴，然而，也足见数学的迷人风采了。打开这本书，如同进入

10、一个奇妙世界，呈现眼前的尽是数、形变幻的奇妙景观，一个个“枯燥”的数字活蹦乱跳地为你作精彩表演，一个个“抽象”的概念娓娓动听地向你讲述生动的故事。它揭示了隐藏于深层的数学秘密，展示了数学迷宫的绚丽多彩。数的变幻，形的奇妙，有的令你追根究底，有的令你流连忘返，有的令你惊讶感叹，有的令你拍案叫绝走进这个奇妙世界，必将如咀嚼一枚橄榄果，品尝到数学的浓浓趣味，感受到数学王国神异奇妙，从而使我们眼界大开。你将惊呼：“哇！数学原来是这么有趣啊！”Learning materials?奇妙数学大世界Learning materials?魔幻迷题 世界短跑冠军真的追不上乌龟吗？ 魔幻迷题 自然数是一个蕴藏无限

11、奥秘的海洋，它既有音乐数、魔术数、奇异数之类各具“个性”的成员，也能通力合作联手并肩，排成奇妙的数阵、幻方。更加奇特的是，数学还能以它自身的力量，形成种种迷人的魔幻。魔幻迷题便是用数学知识表演的魔术，它以数学知识为外衣，引诱人们一步步坠入迷宫，使一个个“不可能”成为“事实”。尽管十分怪异，却又无法否认。它能证明：1 = 2 ，2 = 3 = 8 。甚至证明：任何数加上 1 后还得任何数。它还证明：梯形上底= 下底；大圆周= 小圆周。其实，2 就是 2 ，3 就是 3 ，2 与 3 绝不相等。使 2 变成 3 ，是在演化的过程中掺了假！掺假的方法很隐秘，很巧妙，只有对数学的公式、定律、性质非常熟

12、悉的人，并且十分精细地观察每一步的演化依据，才能及时发现其中破绽。数字魔幻的演化过程，常常利用“0的特性”迷惑他人，故意把特殊性与一般性糅合一起，使粗心大意者在不知不觉中，按照表演者的思路，误入迷途。数的魔幻反映在形体上，就是形的魔幻。形的魔幻，有的利用人们的视觉错误，用具体物体证明不可能的存在，如：1 0 = 9 ，5 0 = 4 8 = 4 9 ，有的故意将图画错，而后将错就错，按照错误的根据进行证明，从而得出令人意外的结论。有的利用诡辩，偷梁换柱，把他人的思路引入歧途，最终令人昏头转向，真假难辨；有的看似不可能，却是真实的存在，它利用高深的知识( 如拓扑学) 使问题获解。只是暂时我们还不

13、能理解罢了。形的魔幻是看得见摸得着的具体事物，与数的魔幻相比，更加有趣，更加奇妙迷人！魔幻迷题令人信服地表明：数学，的的确确是一门极富魅力十分有趣而又引人入迷的学科，它的威力大到能使“不可能”成为“事实”。 1 . 和= 积 和等于积，是说一个数与它自身的和等于它自乘的积。有人说：“不可能！”有人说： “只有 0 + 0 = 0 0 ，2 + 2 = 2 2 。”有人说： “这样的数多得很！可以写成一个万能公式。”你认为存在这样的公式吗？解：具备这种特点的数，确实多得很!设 A 为任一自然数，可列出如下方程：AAxAAx+=Learning materials?将方程两端都乘以 x ，得：A

14、x + A = A AA x = A A - A xA AAAXA AA=() 1X = A - 1将 A - 1 代入原方程：AAAAAA+=11如果 A = 8 ，则：88818881+=887887917917+=证明这个公式是正确的。 2 . 2 = 1 有人这样证明：设：a = b则 a2= a a = b b = a b也即：a2= a b在等式两边减去 b2，得：a2- b2= a b - b2( a + b ) ( a - b ) = b ( a - b )在等式两边同除以 a - b ，得：a + b = b因为：a = b ，a + b = b 也即 b + b = b所以

15、：2 b = b等式两边有同除以 b ，得：2 = 1奇迹出现了！你能找出证明过程中的错误吗？解：表面上看，证明过程中逻辑性很强，每演化一步都持之有据，对等式的性质也很熟练，似乎无懈可击。但细致的推敲一下，便可发现表演者在证明中故意把特殊性当作一般性运用了。因为，既然假设 a = b ，则 a - b = 0 。等式两边同乘以或同除以一个数，必须“0除外”，等式才能保持“仍Learning materials?相等”的特性。证明中，将式两边同除以“a - b ”，而 a - b = 0 ，0 是不能作除数的！正因为用 0 ( 即 a - b ) 去作除数，才出现了 2 = 1 的荒谬结果。 3

16、 . 1 = 3 有人这样证明： 设 a = b则：a b b = a a a也即：a b2= a3在等式两边同减去 b3，得a b2- b3= a3- b3b2( a - b ) = ( a - b ) ( a2+ a b + b2)在等式两端同除以( a - b ) ，得：b2= a2+ a b + b2 a = b 上式也可为：b2= b2+ b2+ b2即：b2= 3 b2。等式两端同除以 b2，即得：1 = 3又是一个令人惊奇的结果。1 怎么会与 3 相等呢？还需在推导过程中找毛病。解：这题问题仍出在等式两边同除以( a - b ) 这个环节上！因为，既然设 a = b ，那么 a

17、- b = 0 ，而 0 是不能作除数的。 4 . 2 = 8 设有一方程为：2 x - 4 = 8 x - 1 6将此方程变化为：2 ( x - 2 ) = 8 ( x - 2 )将等式两边同除以( x - 2 ) ，即得：2 = 8这也是个荒唐的结果。但是，它的证明方法错在何处呢？解：上述证明过程又是在等式两边除以同一个( x - 2 ) 。那么，其中的 x是多少呢？从方程 2 x - 4 = 8 x - 1 6 可以求出 x 的值。即：2 x - 4 = 8 x - 1 68 x - 2 = 1 6 - 46 x = 1 2x = 2x = 2 ，则 x - 2 = 2 - 2 = 0

18、，原来又是 0在作怪！在等式两边同除以( x - 2 ) ，也即用 0 去除等式的两端，问题就出在这里。 5 . 2 = 3Learning materials? 写一等式：，再在等式两边都加上并变化4- 10 =9- 15522 ,等式：4 - 1 0 = 9 - 1 5410529155222+=+222525232352522222+=+这样变化后，恰符合两数差的平方公式。即：25235225235222=在等式两边同时加上，便得：522 = 3本题没有用 0 去除等式两边的数，却仍然出现 2 = 3 的荒谬结果，错误原因又是什么呢？解：本题需涉及到中学的数学知识。它的错误在于，将等式2

19、5235222= 开平方后仍误认为等式成立。其实，而。前者结果是负数，2521235212= = +而后者结果是正数。虽然它们平方后的数值是相等的，却不能表明它们原来的数值也是相等的。 6 . n + 1 = n 若 n 为任意自然数，则( n + 1 )2符合两数和平方公式：( n + 1 )2= n2+ 2 n + 1在此等式两边同加 - ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) + 1 / 4 ( 2 n + 1 ) 2 ，得：(n+1) - (n +1)(2n+1) +14(2n +1)n222+nnn()()2114212即，()()()nnnn+=+11221122122两边同时

20、开平方，得：Learning materials?()()()()()nnnnnnnn+=+ +=11221122111221122122等式两边同加，便得：12(2n +1)n + 1 = n这岂不成了：任意一个自然数加上 1 以后，仍是原来的自然数么？当然是违背常理的，但是错在哪儿呢？解：问题也是发生在等式两边开平方的环节上。我们知道：左边的根式中恒有()()nn+112212(n+1) -12(2n +1)0所以，()()()()nnnn+=+11221112212右边的根式中恒有nn+12212()n-12(2n +1)0这样，按照算术平方根的概念：nnnn+=+122112212()

21、()所以：n+1-12(2n +1) =(2n +1)- nn+1=12(2n +1) +12(2n +1) - n12n + 1 = 2 n + 1 - nn + 1 = n + 1这题涉及中学数学知识，目前或许有困难。但是以后的学习过程中会逐渐理解的。从中读者可以体会到：随着数学知识的扩展，魔幻变化的内容也越加丰富。 7 . 8 = 7 表演者拿出一张纸，纸上画着 8 个孩子在跳舞：表演者又在纸上画了两条线，将纸剪成了三块，并一块一块的展示给观众。接着，表演者又把三块纸重新拼合起来。Learning materials?众人再一看，图上原来明明是 8 个演员，现在却只有 7 个了！表演者说

22、：“这个事实，说明 8 与 7 也是相等的。”人们奇怪：为什么失踪了一个演员呢？解：这题的关健是所画的两条线，剪开后再重新拼合，有一位演员身体重叠了，本来是两个人合成了一个人，因而 8 变成了 7 ！ 8 . 4 9 = 4 8 = 5 0 表演者拿出一个边长 7 厘米的正方形纸板，要观众求出它的面积。这么简单的问题，大家异口同声地说：边长边长= 4 9 平方厘米。接着，表演者在图上画了几道线( 如图) 并沿线将图剪开，这样共剪成了5 块。表演者说：“这纸，还是原来的那张纸。”说着，把剪成的纸片一块一块的展示给人们看。接着，他又重新把纸片拼合了起来。众人不禁大吃一惊：正方形的中间竟空出了一平方

23、厘米！这样，若仍按原正方形算，剪开后一点纸屑也没丢，新图形的面积就是：( 4 9 + 1 = ) 5 0 平方厘米了！但是， 原来的正方形面积是 4 9 平方厘米， 从图中可知边长仍是 7 厘米呀，这样，图形的实际面积又成了：( 4 9 - 1 ) = 4 8 平方厘米了！这岂不是说：4 9 = 4 8 = 5 0 么？真使人捉摸不透！解：其实，剪开后拼成的图，并不是真正的正方形，而是一个长方形，长比宽多厘米，只是肉眼看不出来罢了！17在划线剪开时，表演者便选准了部位( 如图) ：这样的图形，虽然宽仍是原来的 厘米，长却是厘米了。7717因而，新拼的图形围成的面积实际是：7177 = 50()

24、2厘米若去掉中间空下的 1 平方厘米，纸片的实际面积仍是 4 9 平方厘米。 9 . 6 4 = 6 5 表演者拿出一个 8 8 方格的纸片。因此纸片上共有 8 8 = 6 4 个方格。表演者又在纸片上画了几道线( 如图) ，并沿线将纸剪开成 4 片。Learning materials?然后，又将 4 块纸片重新拼成一个长方形，要求观众再计算一下长方形的面积。大家一看，新拼成的长方形，长有 1 3 格，宽是 5 格。这样，新图形的面积共有：1 3 5 = 6 5奇怪，还是原来的那张纸，6 4 格却变成了 6 5 格！难道 6 4 = 6 5 ？解：这道题的奥秘与上题相似，实际纸的面积没有变化

25、，仍是 6 4个方格。秘密在于所拼成的图形对角线并不是直线，只是拼成后隙缝很小，肉眼不易发现罢了！拼成后成为 6 5 个方格， 多出的 1 个方格， 包含在对角线那么长的隙缝中，一般人当然是不会注意的。 1 0 . 大圆周= 小圆周 证明：设图中是大小两个同心圆，大圆半径为 R ，小圆半径为 r 。如果使大圆沿着直线滚动一周，这时，大圆的周长= A A = 2 R 由于两圆是固定在一起的，所以小圆也转动一周，移动的距离是 B B ，即：B B = 小圆的周长= 2 r 因为，A A B B 是长方形，对边相等。所以，A A = B B 由 A A = 2 RLearning materials

26、?B B = 2 r2 R = 2 r 也即：大圆周长= 小圆周长在等式的两端同除以，得：2 R = 2 r 也即：大圆直径= 小圆直径同理：R = r 也即：大圆半径= 小圆半径真是“奇谈怪论”！解：从图上看，似乎是合情合理的，实际上其中忽略了一个隐含的因素，即因为两圆固定在一起，小圆除了滚动之外，还随着大圆的滚动向前滑行。因此， A A 是大圆的周长， B B 虽与 A A 相等，实际却并不与小圆周长相等，它要比小圆周长大出许多。由于大前提错了，由此而推导出的结论也不可能正确。大圆的直径、半径，不可能与小圆的直径、半径相等！ 1 1 . 世界短跑冠军“追不上”乌龟 美国的刘易斯是世界短跑冠

27、军，他的百米成绩是 9 秒 9 2 ，可以说，其快如风。而乌龟，就是在动物中运动速度也是较慢的，它靠四个脚爬行。慢慢悠悠，老半天也爬不了几米。想当年，它与小白兔赛跑，要不是小白兔在树荫下睡了一觉，无论如何它也得不到冠军呀！现在，有人却要证明：只要乌龟在前，世界短跑冠军也永远追不上它。证明的过程是这样的：设：乌龟在 A 点向前爬，刘易斯从 O 点出发向前追。当刘易斯追到 A 点时，乌龟尽管速度很慢，还是要前进一段距离的，假定它到达了 B 点。刘易斯继续追赶。当刘易斯到达 B 点时，乌龟仍然不会停在 B 点，假定到达了 C 点，仍是在刘易斯的前面。如此继续下去，当刘易斯追到 C 点时，乌龟又到达了

28、 E 点。总之，尽管他们间的距离越来越小，尽管乌龟的速度很慢，却总是在刘易斯的前面。也就是说，刘易斯永远追不上乌龟！这可能吗？解：短跑冠军怎么会追不上乌龟呢？错误的结论产生于用“有限”的方法去处理“无限”的问题了。假定长跑冠军的速度是 1 0 米/ 秒。乌龟的速度是 1 米/ 秒，它们间的距离O A 若在 9米以内，不需 1 秒即可追上。若 O A 在 9 0米以内，不需 1 0秒也便追上了。同样，我们也可以证明。设：O A = 9 米，刘易斯前进速度为 1 0 米/ 秒，乌龟爬行速度是 1 米/ 秒。刘易斯用 0 . 9 秒，便跑到了 A 点，乌龟用同样的时间，只跑了 0 . 9 米( 到达

29、 B 点) ；当刘易斯再用 0 . 0 9 秒追到 B 点，乌龟用同样的时间，又向前爬了0 . 0 9 米( 到达了 C 点) 刘易斯一段一段的追赶，所用的总时间 t 和所行的总距离 s ，是：t = 0 . 9 + 0 . 0 9 + 0 . 0 0 9 + s = 9 + 0 . 9 + 0 . 0 9 + Learning materials?0 . 9 + 0 . 0 9 + 0 . 0 0 9 + = 0 . 9 9 9 = 0 . 9 = 1 当 t = 1 秒s = 1 0 ( 0 . 9 + 0 . 0 9 + 0 . 0 9 + ) = 1 0 1 = 1 0 ( 米)而刘易

30、斯与乌龟间的距离 O B ，只有 9 . 9 米( 即原距离 9 米，加上 1秒钟内乌龟所行的 0 . 9 米) ，所以，如果 O A = 9 米，刘易斯只需 1 秒钟，便可追上乌龟了！ 1 2 . 空杯= 满杯 表演者拿出一只圆柱形的玻璃杯，里面恰有半杯红茶水。他说：“这是个半空的杯，也可以说是半满的杯。空和满各占杯子的一半。”即：1212空杯满杯=将等式两端同“2 ”，得：122122空杯满杯=空杯= 满杯又是一道奇怪的算式！照这样，盛满茶的杯与没盛茶的杯没有区别，有茶喝和没茶喝一个样。真是奇谈怪论！那么，该怎样才能驳倒他呢？解：进行论证时，前后使用的概念必须保持一致，才能得出正确的结论。

31、本题中，“半空的杯”并不是“空杯的一半”，而是指一半空、一半满的杯；同样，“半满的杯”，也不是“满杯的一半”，而是指一半满、一半空的杯。半空的杯= 半满的杯， 指的是杯子的容积， 而不是指杯里装的物体。 在 “2 ”时，前者把半空的杯加了倍，而把另半个“满杯”抛弃了；后者正相反，只把“半个满杯”加了倍，将“半个空杯”又弃之不顾。前后不统一，得出的等式自然不能成立。善于诡辩的人，常常巧妙的“偷换概念”，而后进行貌似科学的辩论。只有认真识别，才能发现其违背逻辑规律的谬误。 1 3 . 上底= 下底 右图为一任意梯形。上底为 a ，下底为 b ，c 是两腰中点连线。显然，a 、b 、c三条线段的长度

32、是各不相等的。但是我们却要用数学的方法，证明它们是相等的！Learning materials?证明方法如下： c 是两腰中点连线abcc+=a b 2 c等式两端都乘以( a b ) ，得：( a + b ) ( a b ) = 2 c ( a b )展开得 a2- b2= 2 a c - 2 b c移项 a2- 2 a c = b2- 2 b c等号两端都+ c2，得：a2- 2 a c c2b2- 2 b c c2即，( a c )2= ( b c )2a - c b - c等式两端都+ c ，得：a b这就是说，任何梯形的上底都等于下底。结论当然是荒谬的，要是这样的话，梯形和长方形、平

33、方四边形岂不是没有区别了么？但是，证明过程中什么地方错了呢？解：错在( a c )2= ( b c )2等号两边都开方得 a c = b - c 这个环节上。因为从( a c )2= ( b c )2，只有在 a c 0 、b - c 0 的情况下，才是正确的。在这里 a c 0 ，因而结论错误了。 1 4 . 任何三角形都是等腰三角形 我们知道， 三角形按边来分类， 有任意三角形、 等腰三角形和正三角形( 也叫等边三角形) 。现在， 我们却要证明： 任意三角形都是等腰三角形。 即在A B C 中， A C = B C设：A B C 是任意三角形。D 为 A B 边的中点。过 D点作 A B的

34、垂线，与C 的平分线相交于 O 。作 O E A C ( “”读作“垂直于”) ，O F B C ，连接 A O 、B O 便得六个直角三角形。其中：Learning materials?O A D O B D ( “”读做“全等于”，在两个直角三角形中，如果两条直角边对应相等，则两个三角形便完全相等了( A D = B D ，O D 是共用边) 。O E C O F C ( 在两个三角形中，如两条边和所夹的角相等，两个三角形也完全相等。O C 是共用边，O C E = O C F ) 。O A E O B F ( 由得 O A = O B ，由得 O E = O F ，两个三角形都是直角三角

35、形，也具备了两个相对应的边相等的条件了，所以也全等) 。由得 C E = C F由得 A E = B F因此，A E C E = B F + C F A C = A E C E B C = B F C F A C = B C这就是说，任意三角形都是等腰三角形。假如这个结论是对的，那么就不存在按边分类了！但是，这个证明，究竟什么地方不科学呢？解：这题错在把图画错了！如果严格的按要求画图，A B的中垂线与C的平分线交点 O ，一定在三角形之外，而不可能在三角形以内。因而由 O点作C两边的垂线，必有一条只能与一边的延长线相交，如图中的 F 。这样，上述题中，证明 A E C E = B F C F

36、，显然是错误的！B F 不是 B C 中的一段，而是 B C延长线上的一段，即 B C B F才与 A C相等，因此 A C B C ，也即“任意三角形都是等腰三角形”这个结论不能成立。 1 5 . 剪不断的纸环 表演者拿出一条线带，而后将线带的一头扭一下( 旋转 1 8 0 ) ，再将两端粘接起来。只见表演者拿起剪刀，沿纸条中间剪了一周，奇怪的是纸圈不仅没有断开，却仍是一个更大的纸环！接着，又从剪出的大纸环中央再剪一周，这次又成了互相串连的两个纸环！真是奇怪！解：这种纸带，叫做莫比乌斯带，是德国数学家莫比乌斯( 1 7 9 0 1 8 6 8 )于 1 8 5 8 年发现的。莫比乌斯带是一门

37、数学分支叫做“拓扑学”的研究对象。它没有“正面”和“反面”，蚂蚁从纸的这一面，不必跨过边缘便能到达纸的另一面。如果将纸带扭两扭( 旋转 3 6 0 ) ，再沿着纸条三等分剪开，便可得三个Learning materials?互相串连的纸环。扭的圈数和剪的次数不同，所得的结果也不同：沿中线剪开沿三等分线剪开扭一扭得到一个扭了四扭的大纸环。得到一大一小互相扣合的两个纸环。大的扭四纽，小的扭一扭。扭两扭得到两个相扣的纸环。得三个相互扣合的小纸环。但宽度只有原来的三分之一。 1 6 . 奇怪的绳结 用绳捆绑物品都需要打结，打结的方法有各种各样，以至发展成一门结绳艺术。表演者拿出一根绳，打了两个死结(

38、如图) ，而后又在这两个死结的基础上又绕了几下，看上去这个结就更加牢固了。可是表演者却说：“这样死而又死的绳结，他不需要一扣一扣的解，只要抽着绳两端一抖，绳结就会打开”。表演者两手握着绳的两端，用力一抖，绳结不见了！仍是一根光滑平直的绳子。其中，隐藏着什么奥秘呢？解：结绳问题，也是运用了现代数学分支拓扑学的理论。这个问题奥秘在最后加绕的几道上。从原来两个死结的基础上，只要按右图的方法再加绕几道，便可以只握绳的两端，将整个绳结都拉开。这个结叫切法洛结，魔术师常用它来表演。 1 7 . 难扣的结 图中是一条既柔软又坚韧的皮带。A端被固定在一个笨重的物体上，由于某种需要，要求打一个如图所示的结。很明

39、显，这个套结，是将 A 端从缺口处穿进去的。可是 A 端却被牢牢的固定在一个物体上。物体很大，不可能穿过皮带的缺口，而 A 端又不能取下来，更不能把皮带扯断。打这样的结，似乎是不可能的！可是，有人却把这个难打的结打成了。你知道他是怎么解决的吗？解：打结的方法和步骤可图解如下：将 B 端由上向下先穿过缺口，再将它拉回，这样两个小环便形成了。因为皮带很坚韧，不必担心被拉断。接着，再将小环翻转 1 8 0 ，慢慢的向着 A端推过去，直到皮带的细狭部分放开。这样，这个难扣的结便成功了！这个有趣的问题，是美国的西门斯首先提出的。西门斯是纽约市一家皮Learning materials?带商店的老板，也是

40、一位优秀的业余魔术家，他对各种拓扑游戏特别感兴趣。 1 8 . 智脱环铐 在一次战斗中，我军的侦察员小王不幸被敌人抓获。为了防止小王逃跑，敌人将他戴上手铐后，又将铐链环扣在木桩的铁链上( 如图) 。小王一心想着逃回部队。可是没有任何工具可以将链条砸断，那木桩又坚固万分，任他怎么用力都无济于事。但是，无论如何不能坐以待毙啊。他紧张的思考着挣脱木桩的逃跑办法。后来，他发现那套在木桩上的环扣空隙，虽然不能从木桩上脱下来，却能使手铐的铁链顺利通过。于是他反复琢磨、试验，岂料，最后竟很轻巧的挣脱了。小王是用了什么办法呢？解：这个看似难解的问题，也是运用了“拓扑学”的理论。小王先将自己的铐链折成圈，塞进木

41、桩的环扣中，再将铐链绕过木桩头部，这样用力一拉，铐链便与木桩上的链条分开了！ 1 9 . 智取剪刀 王奶奶是个剪纸能手，四面八方的人都请她剪纸。一张普通的纸，只要一会儿功夫，就变成了栩栩如生的鸟、兽、鱼、虫和各种姿态的人物造型，真是太奇妙了。许多年轻姑娘围着王奶奶，要她传授这种绝技。可是王奶奶很忙，没有功夫一个个的指点。姑娘们却纠缠不休。王奶奶没法，便出了道难题，她把剪刀拴在桌腿上( 如图) 说：“谁能不弄断绳子，把剪刀取下来，便先教谁。”不料，一个聪明的姑娘，真的取下了剪刀。解：这位姑娘是将扣在剪刀上的绳套拉松，并沿着双股绳的方向，拉到足够长度，将剪刀从拉出的环扣中穿过去，便可把剪刀取下了。

42、如图： 2 0 . 巧移钮扣 一块木板上，穿着一根细绳，细绳在木板中间的小环上打了一个结，在小环两端的绳上各穿进一个钮扣，而后绳的两端固定在木板两端( 如下图一) 。Learning materials?现在要求不准解开绳结，将两个钮扣移到一端( 如上图二) ，钮扣也不可能从木板中间的小环通过，因为小环比钮扣小得多。你也许认为这根本不可能，但实际却是有办法的。你能想出办法来吗？解：将钮扣顺着绳子向左移动，到达中间绳结时，将绳结拉松，把钮扣穿过去。再将绳结继续拉长，从前面拉向背面，从背面穿过来成双绳扣，再把钮扣穿过双绳结，把活绳结从孔中拉还原，此时两个钮扣便都移到左边了。 2 1 . 茶杯不见

43、张爷爷在招待所的茶房负责供茶水，为了方便顾客喝茶，他特意准备了几只杯子。可是一些人，往往将茶杯胡乱拿放。后来，张大爷用了根长长的绳子，将茶杯串联在一起( 如图) ，绳子的一端扣着杯把，另一端被固定在凳子上，绳头被钉在另加的一块木板内。不料，有一天杯子全部不见了，而系杯的绳子却完好如初，钉绳头的木板也没有被撬的痕迹。你知道这杯子是怎么被解开的吗？解：只要将第一个杯子卸下，其他的杯子都极易了。取第一个杯子的方法是：将绳扣用力拉松后，再从杯口绕过去，绳扣便脱开了( 如图) 。 2 2 . 小狗可盗 董尧和孟志是一对好朋友。一天董尧到孟志家去玩，看见孟志家有一只非常可爱的小狗。小狗被拴在铁桩上，见了客

44、人乱蹦乱跳，摇头摆尾。董尧仔细端详了拴小狗的铁桩，不禁拍手大笑：“你拴的小狗，看样子很牢固，可是要想偷你的狗简直轻而易举，连绳子都不用解。”孟志听了大不为然，说：“你要是不开锁也不把拴绳解开，能把小狗牵走，那狗就送给你了！”董尧说：“你说话算数我现在就把它牵走！”孟志说：“大丈夫说话算数，你就牵走吧！”“可是，当主人面干这事，可不能说我偷你的爱犬啊！”董尧笑着说。“那当然！”“一言为定！”董尧真的非常从容的将小狗拴绳从铁桩上取下了。董尧是怎么取下拴绳的呢？解：只要把拴狗的绳子从立柱的孔眼中拉出，将绳套从锁上绕过去，再将拴绳抽出柱孔，小狗便脱离了铁桩了( 如图示) 。 2 3 . 脱去双环 下图

45、大纸环宽度约 1 厘米，小纸环的内径约 1 . 5 厘米。两个纸环被两端Learning materials?系着两个钮扣的线串联了起来。现在要求，不准解开两端的钮扣，把细线从两个圆环中脱离出来。你能想出办法吗？解：这个问题看似不可能，但是当我们想到纸环都是软的，可以折叠，办法便能找出来：将大圆环折成半圆，小圆环在半圆上，于是细线便脱离了。Learning materials?故事数学 听故事 学数学回味无穷 故事数学 一切真知都来源于实践，来源于生活。生活本身是美好的，有趣的，在生活中产生的数学故事，自然更是十分有趣的。这是因为，故事一般都有人物、事件和情节。将数学问题贯串在故事的事件、情节

46、里，故事中便蕴含着判断、推理和演算。你在听故事的同时，要动脑筋想问题。在解决问题的过程中，发展了智力，提高了能力。从这个意义上讲，数学故事比一般的故事趣味性更浓，吸引力更大。数学故事一般都比较短小、单纯。它的主要目的是通过故事，讲述数学问题，当数学的条件、问题都交待时白了，故事便不再延伸下去了。但是它却设置了悬念，留下了疑问，迫使读者去回味，去破解。怎样解数学故事呢？听( 或读) 数学故事，不能像听一般故事那样，只迷恋它的事件、情节，要边听( 或读) 边想，抓住重点，把核心问题从条件、情节中分离出来，去掉那些枝枝节节，只保留与条件问题有关的主干，使它成为一道单纯的数学题。而后根据题目的特点，按

47、照数学的方法，分析、解答。数学故事虽然短小，却具有很强的艺术魅力，古今中外各个民族都有数学故事。数学故事闪耀着人类智慧的光华。这里既选取了部分脍炙人口的传统数学故事，也编选了名著中、现实生活中有趣的数学故事。咱们又听故事，又学数学，相信读者朋友会很高兴的。 1 . 富翁打赌 有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。贪财好利是他们的共同特点。一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。精明的富翁说：“我可以每天给你一万元，只收回你一分钱。”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我一万元，别说我给你 1 分，就是再给你一千我也干！”“不！”精明的富翁说，“条件只是第一

48、天，你给我一分。”“难道你第二天还要给我一万？”“是的”，精明的富翁说： “只是你第二天收了我的一万，要给我二分。第三天”没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我一万，我给你”“四分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍。”吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我一万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”“我是人人都知道的百万富翁。”精明的富翁说： “我不打算都送给你，Learning materials?只拿出三十万，先送你一个月足够了。但是你给我的钱也一个不能少！”嘿，还当真呢！吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”“不签协议算什么打赌？” 精明的富翁说： “咱们

49、还要找几个公证人呢！ ”吝啬的富翁真是喜出望外。于是他们签了协议，找来了几个公证人。协议上写道：甲方每天给乙方一万元，乙方每天给甲方的钱数从一分开始，以后每天都是前一天的两倍。双方持续时间为 3 0 天。就这样，把手续办好了。吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼，生怕对方反悔。不料，天刚亮，对方提着一万元送上门来，按约定他给了对方一分钱。第二天，对方仍然如约送来了一万元。他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有 3 0 万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方 2 分钱。对方高高兴兴地拿走了 2 分钱，还叮嘱“别忘了，明天给我 4 分钱！”话休繁叙，当吝啬的富翁拿到十

50、万元时，精明的富翁只得到十元二角三分钱。但是，他仍高高兴兴地每天如约送来一万。可是，2 0 多天以后，吝啬的富翁突然要求打赌终止。对方以及一些证人当然不会同意，3 0 天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议。到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。你说，这是为什么？解：吝啬的富翁在一个月内共得到 3 0 0 0 0 0 元。他需要付给对方的钱，总数是：1 2 4 8 1 6 3 2 5 3 6 8 7 0 9 1 21 0 7 3 7 4 1 8 2 3 ( 分) 1 0 7 3 7 4 1 8 . 2 3 ( 元) 。即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。 2 . 阿诺德智慧