沪教版高中数学高二下册:11.4点到直线的距离-点到直线距离公式教学设计.docx
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1、经 典 永 恒、只 为 初 见1“点到直线距离公式教学设计与思考一、课标分析1、2017版课标明确指出:通过学习,学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验);提高“四能”(从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力);发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养;认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值2.初中学段,我们知道:一次函数的图像是一条直线,但一条直线是否对应一次函数,答案显然.故而,需要从另一角度(方程)去研究直线.“点到直线的距离公式”是上海数学教材高二年级第一学期第11章坐
2、标平面上的直线的最后一节,放在第10章平面向量后,一方面巩固平面向量基础知识,另一方面体现向量在解决解析几何问题时的优越性.(新课标案例16 用向量方法研究距离问题.通过几何图形建立直观,通过代数公式表达规律3,探索并掌握点到直线的距离公式4,强调“探索”二字)经过两点可以确定一条直线,而向量可成为该直线的一个方向向量,基于此,第1节,学习直线的点方向式方程、点法向式方程、一般式方程;第2节,从刻画直线的倾斜角、斜率出发,研究直线的点斜式方程、一般式方程.(斜截式方程是点斜式方程的特殊情况、两点式方程是点方向式方程的特例、截距式方程又是两点式方程的特例,并与初中所说的一次函数回应),而这四种形
3、式中,点法向式方程、一般式方程没有任何限制条件,其余形式或多或少有限制条件.第3节,借助直线方程,研究两直线的位置关系,相交、平行、重合.相交求交点、求夹角,平行求距离.为了求平行线间的距离,第4节安排了点到直线的距离公式. 62、点到直线距离公式,放在两直线夹角公式探求之后,承前方法研究,得出公式,全不费功夫,因而根据新课标,创设情境,数学抽象,形成概念,数学建模,依托教材,设计实验,让学生去发现、验证、应用、拓展,据此思路,我设计了本堂课.这既是一堂新课,也是一堂习题课,一堂实验探究课,一堂科学方法体验课.学生既积累了基本活动经验,学习了新知识,体验了一般化思维策略,设而不求的解题策略,也
4、强化了向量作为工具的意识,在学习过程中,力图发展其核心素养,会用数学眼光去观察实验数据,用数学思维去思考实验结论,用数学语言去表达规律.53、点到直线的距离公式是解决理论和实际数学问题的重要数学工具之一,通过公式的秒算,学生对点与直线的位置关系的认识由定性的认识上升到了定量的认识.它既是直线这一章的终点,又是研究二次曲线的开始.通过向量法研究点到直线的距离,借助几何画板强大的计算、作图功能,为二元一次不等式表示的区域及线性规划的学习带来直观感受.点到直线距离公式的掌握,有助于学生后续研究一些常见的几何问题,如求两平行线间的距离,过一点求圆的切线方程,圆心到直线的距离,直线与圆的位置关系,抛物线
5、的标准方程推导等.二、 学情分析1、新授课对象是一所区级重点中学,学生数学学习潜力不错,对向量知识掌握的很好.并且已经初步习惯用向量的方法解决问题.在坐标平面上的直线这一章里,学生已经学习过直线的点方向式方程,点法向式方程,一般式、点斜式方程的多种形式以及两直线的位置关系.在教学过程中,通过创设情景、数学抽象、形成概念、数学建模、设计实验、层层铺垫、搭建平台、让学生拾级而上,大部分学生都能完成公式的的发现与推导.2、根据学生已有的生活经验,创设情境,搭建平台,设置问题.片段一:数学抽象,形成概念,数学建模,一气呵成.片段二:将课本6例题1改造升级,点由改为(有利于学生从形上发现所要研究的问题与
6、点到直线的距离有关),制作成表格,发放给学生,让他们亲历实验,探索猜想,通过观察、比较、分析、归纳,从中发现规律,师生之间、生生之间相互合作参与,交流分享,由特殊一般,猜想总结出点到直线的距离公式、数学运算、逻辑推理、水到渠成.同时,感悟数学研究的方法和数学思想,强化其科学精神,认识其科学价值.片段三:应用公式,掌握公式,在解决问题的过程中,享受学习的快乐、成功的喜悦,课后拓展,请学生研究资料,整理并写作数学小论文例说探求点到直线的距离,提升学生研究性学习能力,让每一个学生都得到最大限度的发展,愿景达成.三、教学目标1、创设情境,数学抽象,形成概念,数学建模,理解点到直线的距离公式的推导,会用
7、公式求点到直线的距离,并能解决简单数学问题.2、经历向量法推导点到直线的距离公式过程,体验“特殊一般特殊”的思考策略,感悟数形结合、等价化归等数学思想方法.3、参与观察、比较、分析、归纳的数学实验研究,激发勇于发现、勇于探索的精神.同伴交流讨论,从中发现规律、获取知识、享受学习的快乐,感悟数学研究的方法和数学思想,强化科学精神.四、教学重点与难点重点:点到直线的距离概念的形成,探索公式的过程以及蕴含其中的科学研究方法. 难点:点到直线的距离公式的发现与推导五、教学过程片段一:创设情景,引出课题师:请班级体育班委来立定跳远,大家思考一下,如何测量他立定跳远成绩?生1:测量脚后跟与起跳点的连线段的
8、长度.生2:不对,脚后跟与起跳点的连线段的长度是两点间的距离,应该是脚后跟与踏板所在直线间的距离.生3:不准确,应该是脚后跟与踏板所在直线间的最小距离.师:对,测量的应该是脚后跟(点)与踏板所在直线间(直线)的最小距离.最小距离怎么测量?生4:可以先过点(脚后跟)作直线(踏板)的垂线,找到垂足,测量两点间的距离.师:数学上,可以抽象为平面上有一点,有一条直线,过点作直线的垂线,找到垂足,这两点间的距离就是点到直线的距离(几何定义).(数学抽象,形成概念)师:测量有误差,小学四年级教材里我们已测量过.随着年龄的增长,知识的增多,我们如何精确地知道点到直线的距离?(建立直角坐标系,点可用一对有序数
9、对表示,直线可用二元一次方程表示,借助几何画板,数学建模转化为如下问题)求平面上一点到直线的距离.生5:先求出过点且直线垂直的直线方程,然后联立两直线方程求交点,交点即为垂足,利用两点间的距离公式计算.师:思路很通畅,但计算需要一点时间,我们能否寻找一个公式型的规律,直接秒算出此类问题呢?这就是今天我们要实验探究的问题.片段二:实验探究,发现规律师:向量是近代数学中重要的概念之一,是沟通代数、几何、三角的一种工具,有着广泛的应用,尤其是数量积的应用.上一节我们利用直线的法向量数量积研究了两直线的夹角,今天我们继续利用直线的法向量数量积来研究该问题.已知点P坐标为,直线方程为. (1)请写出直线
10、的一个法向量 (5,12) ;计算 13 ;(学生齐答)(2)请你在直线任取一系列的点,计算向量,再计算数量积,填入表格;(学生运算,教师巡视)点(,0)(,3)49(0,)(2,)49(3,-1)(5,2)49(3)写出你发现或猜想的规律,并加以说明;生1:当时,我猜想在直线上任取一点,数量积恒成立.师:你怎么取点?计算了多少次?(填表略).老师利用几何画板,移动点,相当计算了无数次,表格中的数量积永远不变,为,老师也得出了同样的结论(多媒体辅助教学,功能强大,直观明了).师:科学研究必须对实验产生的现象或结果进行分析,比如说这个结果,我们应该就以下几方面进行探讨.其一,造成数量积为定值的原
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