专升本高数数学第一章-函数、极限与连续ppt课件.ppt

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1、采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念

2、（三）连续的概念 第一章第一章 主要内容主要内容采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好

3、PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1 1、函数的定义、函数的定义记作记作的函数，的函数，是是对应，则称对应，则称则总有确定的数值和它则总有确定的数值和它按照一定法按照一定法，变量，变量集如果对于每个数集如果对于每个数是一个给定的数是一个给定的数是两个变量，是两个变量，和和设设定义定义)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因变变量量叫叫做做自自变变量量，叫叫做做这这个个函函数数的的定定义义域域数数集集yxD.),(称称为为函函数数的的值值域域函

4、函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物函数的两要素函数的两要素: :定义域定义域与与对应法则对应法则.()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则 fxyDW辨别下列各对函数是否相同,为什么?23.( )( )fxtxt与 g2.( )( )fxxxx与 g1 .()1()xfxxx与 g不同不同,定义域

5、不同定义域不同 不同不同,对应关系不同对应关系不同 相同相同,定义域和对应关系定义域和对应关系都相同都相同采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物函数的定义域函数的定义域在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义确定。 用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的用解析式表示的函数，其定义域是自变量所能取的使解析式有意义的一切实数

6、，通常要考虑以下几点：使解析式有意义的一切实数，通常要考虑以下几点：(6)如果函数表达式是由几个数学式子组合而成， 则其定义域应取各部分定义域的交集。(1)在分式中，分母不能为零；(2)在根式中，负数不能开偶次方根； (3)在对数式中，真数必须大于零； (5) y=arcsinx和y=arccosx中,x-1,1(4)tan(),2xxkkZ在三角函数式y中，cot()yxxkkZ中，采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边

7、旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例：求下列函数的定义域 1(1)(1)(4)yxx1(2)11yxx 即1040 xx所以定义域为(-,-4) (-4,1)(1,+ )即1010 xx 解得11xx 所以定义域为-1,1) (1,+)(2)要使函数有意义,必须有 且有10 x 10 x 解:(1)要使函数有意义，必须有分母(1)(4)0 xx取其公共部分1,1xx 14xx 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，

8、边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物解所以定义域为(-3,+)(4)要使函数有意义,必须有 101xx所以定义域为(-1,1)B. (3) (4)1lg1xyxln(3)yx(3)要使函数有意义，必须有30 x解得3x 10101010 xxxx或101011,1010 xxxxx 解得解得无解练习：练习：P9 2 3采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例

9、. 设 ,求下列函数值 32xfxx解: 033(0)022f 0003()2xf xx23(2 )22afaa解:22222(1)32(1)(1)23bbf bbb解： 13437 ( 1)( 4)12422f fff 3332912 ( )()3231322xxxxf f xfxxxxx 0(0),(3),()fff x1）2(2 ),(1)faf b 2） ( 1), ( )f ff f x3）33(3)032f采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，

10、用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物(1) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ;)()()(为为偶偶函函数数称称xfxfxf ;)()()(为为奇奇函函数数称称xfxfxf yxoxyoxy 3xy 2 2、函数的性质、函数的性质采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污

11、物(2) 函数的单调性函数的单调性: 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有： (1) ,则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2) , 则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。1x2x21xx )()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0时为减函数时为减函数当当 x;0时为增函数时为增函数当当 x采用采用PP管及配件：根据给水设

12、计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物.)(,)(, 0,否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数成立成立有有若若XxfMxfXxMDX (3) 函数的有界性函数的有界性:;), 0()0 ,(上上无无界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转

13、，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x) 的的周期周期.（通（通常说周期函数的周期是指其最小正常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.Dx Dlx )(4) 函数的周期性函数的周期性:oyx11xxy 1 T采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据

14、给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy 说明：反函数与直接函数之间的关系说明：反函数与直接函数之间的关系则则函数函数是

15、一一对应是一一对应设函数设函数,)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 图象对称于直线图象对称于直线的的与与3 3、反函数、反函数.)()(1称称为为反反函函数数确确定定的的由由xfyxfy 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物6 6、基本初等函数、基本初等函数1）幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy2）指数函数）指数函数)1, 0(

16、 aaayx3）对数函数）对数函数)1, 0(log aaxya4）三角函数）三角函数;cosxy ;sin xy 5）反三角函数）反三角函数;arccos xy ;arcsin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物1.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1

17、 xy 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物2.指数函数指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的

18、圆度，保持熔接部位干净无污物3.对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口

19、面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物xycos xycos 余弦函数余弦函数采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物正切函数正切函数xytan xytan 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口

20、面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物xycot 余切函数余切函数xycot 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物5.反三角函数反三角函数xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管

21、材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计

22、图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xycot 反反余余切切函函数数arcxycot arc采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，

23、以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物7 7、复合函数、复合函数设设函函数数)(ufy 的的定定义义域域fD,而而函函数数)(xu 的的 值值 域域 为为 Z, 若若 ZDf, 则则 称称 函函 数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数.8 8、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.练习：练习：P10 11采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材

24、垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物高等数学辅导讲义（专升本）高等数学辅导讲义（专升本） 第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续 15% 第二章第二章 一元函数的微分学一元函数的微分学 20% 第三章第三章 一元函数的积分学一元函数的积分学 20% 第四章第四章 多元函数微积分多元函数微积分 15% 第五章第五章 常微分方程常微分方程 15% 第六章第六章 无穷级数无穷级数 10% 第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何5%采用采用PP管及配

25、件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续 知识结构知识结构初等函数复合函数反函数性质概念函数采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物

26、第一章第一章 函数、极限与连续函数、极限与连续 知识结构知识结构无穷小无穷大重要极限存在准则四则运算性质概念极限采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口

27、面的圆度，保持熔接部位干净无污物2008年年采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axf

28、x )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断

29、管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么不论它多么小小),总存在正数总存在正数N,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx,不不等式等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn., 0, 0 axNnNn恒恒有有时时使使1 1、极限、极限定义定义N 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切

30、口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的的一切一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使

31、当当采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物左极限左极限右极限右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记记作作)(0 xx 采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件

32、：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物函数的极限与左、右极限有如下关系：函数的极限与左、右极限有如下关系： 0lim( )xxf xA 00lim( )lim( )xxxxf xf xA2.2.常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在 例例 判断函数判断函数 1cos,0( )sin,0 xxf xxx 在在 点处是否有极限点处是否有极限. . 0 x 00lim( )lim(1cos

33、 )0 xxf xx解解: 00lim( )lim sin0 xxf xx00lim( )lim( )0 xxf xf x因为因为0lim( )0 xf x 所以所以说明：说明：1.1.左极限与右极限中只要有一个不存在，或者左极限与右极限中只要有一个不存在，或者 都存在但不相等，则函数的极限不存在。都存在但不相等，则函数的极限不存在。.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管

34、材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理yx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x习题：习题：P18 30lim.xxx证明不存在采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接

35、部位干净无污物定理定理( (唯一性定理唯一性定理) ) 如果函数在某一变化过程中如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的 定理定理( (有界性定理有界性定理) ) 若函数若函数f (x)当当x x0 0时极限存在，时极限存在，则必存在则必存在x0 0的某一邻域，使得函数的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界在该邻域内有界函数极限的性质函数极限的性质采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪

36、边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理( (保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若推论推论采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物无穷小无穷小:极限为

37、零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记作记作在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度

38、，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物性质性质3 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.性质性质1 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.性质性质2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度

39、，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物一、无穷小量二、无穷小的性质三、极限与无穷小的关系四、无穷大量五、无穷小与无穷大的关系六、小节补充补充 无穷大与无穷小无穷大与无穷小采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物定义定义 若变量若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量在某过程下以零为极限，则称变量Y在在此

40、过程下为无穷小量，简称无穷小此过程下为无穷小量，简称无穷小.303lim00 xxxx ，是是例例1sinsinxxxx 0 0lim0lim00 0，是是例例2时的无穷小量时的无穷小量.时的无穷小量时的无穷小量.因为因为所以所以因为因为所以所以一、无穷小量一、无穷小量采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物例如函数例如函数 时的无穷小，但当时的无穷小，但当时不是无穷小。时不是

41、无穷小。当当 时，时， 的极限不为零，所以当的极限不为零，所以当 时，函数时，函数 不是无穷小，而当不是无穷小，而当 时时是无穷小量。是无穷小量。应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是限的变量，而不是绝对值很小绝对值很小的数。因此应明确指的数。因此应明确指出其变化过程。出其变化过程。1x sin x 2x2xsin x0 x sin x ( )0f xxx 是是采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，

42、用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物(4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小常量与无穷小的乘积仍为无穷小.(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小有限个无穷小的乘积仍为无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. . (1) (1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小有限个无穷小的代数和仍为无穷小.二、无穷小的性质二、无穷小的性质定理定理 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设

43、计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物sin.xxx0 01 1limlim求求例例3limxxxx0 00000，即即 是是解解 |sin|,sinxx 1111 1 1 而而即即注意注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，这个极限不能用极限的四则运算法则求得， 因为因为 不存在不存在.xx1sinlim0. 01sinlim0 xxx所以所以时的无穷小量时的无穷小量.为有界变量为有界变量,采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置

44、好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物三、无穷小与函数极限的关系三、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(l

45、im0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物).( )( )(lim00 xxxfxfxx或定义定义 在自变量在自变量x的某一变化过程中的某一变化过程中, ,若函数值的绝对若函数值的绝对值值 无限增大，则称无限增大，则称 f( (x) )为此变化过程中的无为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大穷大量，

46、简称无穷大. .记作记作 )(xf四、无穷大量四、无穷大量采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷

47、大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认认为为极极限限存存在在切切勿勿将将 xfxx采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同同 一一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小无穷小(不不等于等于0)的倒数是无穷大的倒数是无穷大.定理定理 在自变量的同一变化过程中，若

48、在自变量的同一变化过程中，若f (x)为无穷大为无穷大,则则 为无穷小为无穷小;反之反之,若若f (x)为无穷小且为无穷小且f (x)不等于不等于0,则则 为无穷大为无穷大.)(1xf)(1xf xx1lim001lim xx例如：例如：五、无穷小与无穷大的关系五、无穷小与无穷大的关系采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物.xxx 2 22 21 11 1limlim1 1求

49、求.xxx 2 22 21 11 1 lim lim1 1由由定定理理知知以后，遇到类似例以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果的题目，可直接写出结果.例例4,xxx 2 22 21 11 1 lim0 lim01 1由由于于解解( )xf xx 1 11 1例例5 5考察考察 当当 时，时， 为无穷大量；为无穷大量；( )xf xx 1 11 11x 当当 时，时， 为无穷小量；为无穷小量； ( )xf xx 11111 11x采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配件：根据给水设计图配置好PP管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无

50、污物管及配件，用管件在管材垂直角切断管材，边剪边旋转，以保证切口面的圆度，保持熔接部位干净无污物六、小结六、小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义; 定理定理.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.采用采用PP管及配件：根据给水设计图配置好管及配