江苏省南京市2020届高三年级5月份模拟考试数学含附加题（解析版）.docx

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1、一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1设集合Mm|3m2，mZ，NR，则MN 2复数z=i1+i复平面上对应的点位于第 象限3某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4则这20名学生成绩的方差为 4执行如图所示的程序框图，输出的S值为 5抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是 6函数f（x）（x3）ex的单调递增区间是 7已知双曲线x2m-3+y2m+5=1的离心率为43，那么此双曲线的准

2、线方程为 8已知正四棱锥PABCD的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA的长为 9已知函数f（x）sin（x+6）（02），若f（23）1，则函数yf（x）的最小正周期为 10已知等差数列an满足：a18，a26若将a1，a4，a5都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则m的值为 11设函数f（x）=3sin（x+3）和g（x）sin（6-x）的图象在y轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M，N，已知O为原点，则OMON= 12设f（x）asin2x+bcos2x（a，bR），若f（x）的最大值为5，则a+b的取值范围为 13在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2，且co

3、s2B+cosB+cos（AC）1，则a+2c的最小值为 14已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(sinA，a)，n=(1，sinB)（1）当mn=2sinA时，求b的值；（2）当mn时，且cosC=12a，求tanAtanB的值16（14分）如图，四棱锥ABCDE中，AB、BC、BE两两垂直且ABBCBE，DEBC，DE2BC，F是AE的中点（1）求证：BF面ACD；（2）

4、求证：面ADE面ACD17（14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即AOB=34）现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km（1）求两站点A，B之间距离的最小值；（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？18（16分）已知点

5、M是圆C：（x+1）2+y28上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足DM=2DP，NPDM=0，动点N的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求AOB面积S的最大值19（16分）设首项为a1的正项数列an的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn+mSm+qmSn总成立（）求证：数列an是等比数列；（）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较ammahh与ak2k的大小；（）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较am1mah1h与ak2k的大小20（16分）已知函数f（x）ex+ax，g（x）ex

6、lnx（e是自然对数的底数）（1）若曲线yf（x）在x1处的切线也是抛物线y24（x1）切线，求a的值；（2）若对于任意xR，f（x）0恒成立，试确定实数a的取值范围；（3）当a1时，是否存在x0（0，+），使曲线C：yg（x）f（x）在点xx0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由选做题（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）选修4-2：矩阵与变换（10分）21（10分）设矩阵A=1221，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量选修4-

7、4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在极坐标系中，求曲线2cos关于直线=4（R）对称的曲线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23若关于x的不等式x2ax+b0的解集为（1，2），求函数f（x）（a1）x-3+（b1）4-x的最大值必做题（第22、23题，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内）24（10分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并

8、计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力25（10分）已知（x+1）na0+a1（x1）+a2（x1）+a3（x1）3+an（x1）n，（其中nN*）（1）求a0及Sn=i=1n ai；（2）试比较Sn与（n2）2n+2n2的大小，并说明理由一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1设集合Mm|3m2，mZ，NR，则MN2，1，0，1【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可【解答】解：M2，1，0，1，NR，MN2，1，0，1故答

9、案为：2，1，0，1【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2复数z=i1+i复平面上对应的点位于第一象限【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限【解答】解：复数i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i2=12+12i，复数对应的点的坐标是（12，12）复数i1+i在复平面内对应的点位于第一象限，故答案为：一【点评】本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可

10、以出现在高考题的前几个题目中3某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4则这20名学生成绩的方差为51【分析】由方差定义可得n个数与其平均数，方差间关系x12+x22+xn2=nS2+nx2，利用此关系可结合条件吧20 个数据中的前10个数，后10个数分别找出其平方和，及平均数，进而求出20名学生成绩的方差【解答】解：设x1，x2xn的方差S2=1n（x1-x）2+（x2-x）2+（xn-x）2=1nx12+x22+xn2-2x（x1+x2+xn）+nx2=1nx12+x22+xn2-nx2x12+x22+xn2=nS2+nx2，则x12+

11、x22+x102=1036+1090281360，x112+x122+x202=1016+1080264160，x1+x2+x2020=1090+108020=85S2=120x12+x22+x202-20x2=12081360+641602085251，故答案是：51【点评】本题依托平均数，方差，标准差的定义关系，考查学生的数据处理能力和计算能力，属于中低档题4执行如图所示的程序框图，输出的S值为8【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：第1次循环：k0，S1；第2次循环：S1212，k2；第3次循环：S2228，k3；此时不满足循环条件k3，输出S8故答案为：8【点评】本题主要考查

12、了程序框图的识别和判断问题，根据条件模拟运算是解题的关键5抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是12【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体，共有44种结果，满足条件的事件是xy为整数，包括当y1时，有4种结果，以此类推，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体，记所得的数字分别为x，y，共有4416种结果，满足条件的事件是xy为整数，包括当y1时，有4种结果，当y2时，有

13、2种结果，当y3时，有1种结果，当y4时，有1种结果，共有4+2+1+18种结果，根据古典概型概率公式得到P=816=12，故答案为：12【点评】本题考查古典概型，是一个与数字结合的古典概型问题，数字问题是经常出现的概率问题，并且常考常新，是一个基础题6函数f（x）（x3）ex的单调递增区间是（2，+）【分析】先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可【解答】解：f（x）（x2）ex，令f（x）0，解得：x2，f（x）在（2，+）递增，故答案为：（2，+）【点评】本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题7已知双曲线x2m-3+y2m+5=1的离心率为43，那么此双曲线的准线方程

14、为y=928【分析】利用双曲线x2m-3+y2m+5=1的离心率为43，求出a，c，再求出双曲线的准线方程【解答】解：双曲线x2m-3+y2m+5=1的离心率为43，（m3）（m+5）0，ca=43，5m3，m+5+3-mm+5=169，m=-12，a=322，c22，双曲线的准线方程为y=928故答案为：y=928【点评】本题考查双曲线的准线方程，考查离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题8已知正四棱锥PABCD的体积为43，底面边长为2，则侧棱PA的长为3【分析】设正方形ABCD的中心为点O，则由题意可得OA=2，再根据 1322PO=43，求得棱锥的高PO的值，可得PA=PO2+

15、OA2 的值【解答】解：设正方形ABCD的中心为点O，则由底面边长为2可得OA=2再根据正四棱锥PABCD的体积为 1322PO=43，求得棱锥的高PO1，故PA=PO2+OA2=1+2=3，故答案为：3【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，勾股定理的应用，属于基础题9已知函数f（x）sin（x+6）（02），若f（23）1，则函数yf（x）的最小正周期为4【分析】由条件求得=12，f（x）sin（12x+6），再根据函数yAsin（x+）的周期为 ，得出结论【解答】解：由于f（x）sin（x+6）（02），f（23）sin（23+6）1，23+6=2k+2 kz，即3k+12，=12，f（x）

16、sin（12x+6），故函数f（x）的最小正周期为 212=4，故答案为：4【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角，函数yAsin（x+）的周期性，利用了函数yAsin（x+）的周期为 ，属于基础题10已知等差数列an满足：a18，a26若将a1，a4，a5都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则m的值为1【分析】由题意可得公差da2a12，从而ana1+（n1）d2n10，设所加的这个数为x，根据 (a4+x)2=（a1+x）（a5+x），解出x的值【解答】解：已知等差数列an中，a18，a26，公差da2a12，ana1+（n1）d2n10将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的

17、三个数依次成等比数列，设所加的这个数为x，则有 (a4+x)2=（a1+x）（a5+x），即 （2+x）2（8+x）（0+x），解得 x1故答案为1【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，求等差数列的通项公式，求得 an2n10，是解题的关键，属于中档题11设函数f（x）=3sin（x+3）和g（x）sin（6-x）的图象在y轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M，N，已知O为原点，则OMON=-89【分析】令f（x）g（x），根据题意，通过三角函数的辅助角公式，计算可得M、N点坐标，再利用数量积的坐标运算即得结果【解答】解：根据题意，令f（x）g（x），即f（x）g（x）0，则3sin（x+3

18、）sin（6-x）=3sin（x+3）cos（x+3）=2sin(x+3-6) =2sin(x+6)=0，所以x+6=k，其中kZ，化简，得x=k-16，kZ，所以M（-16，32），N（56，-32），则OMON=（-16，32）（56，-32）=-1656+32（-32）=-89【点评】本题考查三角函数的辅助角公式，数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题12设f（x）asin2x+bcos2x（a，bR），若f（x）的最大值为5，则a+b的取值范围为-10，10【分析】由条件利用辅助角公式、正弦函数的最值求得a2+b25，再利用基本不等式求得 （a+b）210，从而求得a+b的取值范围

19、【解答】解：f（x）asin2x+bcos2x=a2+b2sin（2x+）（a，bR），若f（x）的最大值为a2+b2=5，a2+b25，（a+b）2a2+b2+2ab2（ a2+b2 ）10，-10a+b10，故a+b的取值范围为-10，10，故答案为：-10，10【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题13在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2，且cos2B+cosB+cos（AC）1，则a+2c的最小值为42【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，结合正弦定理以及基本不等式求解即可【解答】解：由cos2B+cosB+cos（A

20、C）112sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC112sin2BcosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC1sinAsinCsin2B，由正弦定理得到acb2，而a+2c22ac=2b2，由b2，可得(a+2c)min=42故答案为：42【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力14已知正实数x，y满足x+2x+3y+4y=10，则xy的取值范围为1，83【分析】设xym可得x=my，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y210my+m2+4m0，由0可得m的不等式，解不等式可得【解答】解：设

21、xym，则x=my，x+2x+3y+4y=10，my+2ym+3y+4y=10，整理得（2+3m）y210my+m2+4m0，x，y是正实数，0，即100m24（2+3m）（m2+4m）0，整理得m（3m8）（m1）0，解得1m83，或m0（舍去）xy的取值范围是1，83故答案为：1，83【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及换元的思想和一元二次方程根的存在性，属中档题二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（14分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(sinA，a)，n=(1，sinB)（

22、1）当mn=2sinA时，求b的值；（2）当mn时，且cosC=12a，求tanAtanB的值【分析】（1）由题意得mn=sinA+asinB=2sinA，即asinA=1sinB，由正弦定理有：asinA=bsinB，联立即可得解b的值（2）由平行条件得asinAsinB，由cosC=12a，则可得cosAcosB=12a，联立即可得解【解答】解：（1）由题意得：mn=sinA+asinB=2sinA，（2分）即得asinA=1sinB，在三角形中由正弦定理有：asinA=bsinB，（4分）由以上两式可知：b1（6分）（2）由平行条件得asinAsinB，（8分）cosC=-cos(A+B

23、)=sinAsinB-cosAcosB=12a，（10分）则可得到：cosAcosB=12a，（12分）tanAtanB=sinAsinBcosAcosB=2（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，平面向量数量积的坐标运算，两角和的余弦函数公式的综合应用，考查了计算计算能力和转化思想，属于中档题16（14分）如图，四棱锥ABCDE中，AB、BC、BE两两垂直且ABBCBE，DEBC，DE2BC，F是AE的中点（1）求证：BF面ACD；（2）求证：面ADE面ACD【分析】（1）取AD的中点M，连接CM、MF，推导出四边形BCMF为平行四边形，从而CMBF，由此能证明BF面ACD（2）作DE中点

24、N，连接CN，推导出CMAD，BFAE，CMAE，由此能证明面ADE面ACD【解答】证明：（1）取AD的中点M，连接CM、MFF、M分别为AE、AD中点，DE=2MF，又DE=2BC，FM=BC，四边形BCMF为平行四边形，CMBF，又BF面ACD，CM面ACD，BF面ACD（6分）（2）作DE中点N，连接CN，DE=2BC，N为DE中点N，DNBC，又AB、BC、BE两两垂直，且ABBCBE，ACCD，M为AD中点，CMAD，又F是AE的中点，且ABBE，BFAE，CMBF，CMAE，又ADAEA，AE、AD面ADE，CM面ADE，CM面ACD，面ADE面ACD（14分）【点评】本题考查线面

25、平行、面面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养17（14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即AOB=34）现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km（1）求两站点A，B之间距离的最小值；（2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区

26、（不包括临界状态）？【分析】（1）过点O作OEAB于点E，设AOE，利用三角函数的知识求得AB的最小值；（2）以O为原点建立平面直角坐标系，求出圆C的方程，利用圆心到直线AB的距离，列方程求出OA的取值范围【解答】解：（1）过点O作OEAB于点E，则OE10，设AOE，则42，所以BOE=34-，所以ABAE+BE10tan+1+10tan（34-）=52coscos(34-)；解得coscos（34-）=12sin（2-4）-24；所以当=38时，AB取得最小值为20（2+1）；（2）以O为原点建立平面直角坐标系，如图所示；则圆C的方程为（x+30）2+y225，设直线AB的方程为ykx+t

27、，（k0，t0）；|t|1+k2=10，|-30k+t|1+k25，解得t20k或t60k（舍），OA20，又当ABON时，OA102，所以102OA20；综上知，当102OA20时，即设计出入口A离市中心O的距离在102km到20km之间时，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）【点评】本题主要考查了三角函数模型在解决实际问题中的综合应用问题，也考查了计算能力和转化思想，是中档题18（16分）已知点M是圆C：（x+1）2+y28上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足DM=2DP，NPDM=0，动点N的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）若AB

28、是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求AOB面积S的最大值【分析】（）由已知得NP为DM的垂直平分线，|ND|NM|，|CN|+|ND|=222，由此能求了轨迹E的方程（）法一：设直线AB的方程为ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出AOB面积S的最大值（）法二：设直线AB的方程为ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出AOB面积S的最大值【解答】（）解：

29、因为DM=2DP，NPDM=0，所以NP为DM的垂直平分线，所以|ND|NM|，又因为|CN|+|NM|=22，所以|CN|+|ND|=222（4分）所以动点N的轨迹是以点C（1，0），D（1，0）为焦点的长轴为22的椭圆所以轨迹E的方程为x22+y2=1（7分）（）解法一：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220（9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），又16k2m24（1+2k2）（2m22）0，所以x1+x2=-

30、4km1+2k2，x1x2=2(m2-1)1+2k2（10分）因为|AB|2，所以(1+k2)(x2-x1)2=2，即(1+k2)(x2+x1)2-4x1x2=4所以(1+k2)(-4km1+2k2)2-8(m2-1)1+2k2=4，即11+k2=2(1-m2)，因为1+k21，所以12m21 （12分）又点O到直线AB的距离h=|m|1+k2，因为S=12|AB|h=h，所以S2h22m2（1m2）=-2(m2-12)2+12（14分）所以0S212，即S的最大值为22（15分）（）解法二：因为线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x垂直，故可设直线AB

31、的方程为ykx+m，由y=kx+mx22+y2=1，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m220设A（x1，y1），B（x2，y2），又16k2m24（1+2k2）（2m22）0，所以x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2(m2-1)1+2k2（10分）因为|AB|2，所以(1+k2)(x2-x1)2=2因为(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=4，所以(1+k2)(-4km1+2k2)2-8(m2-1)1+2k2=4，所以m2=2k2+12(1+k2)，（12分）又点O到直线AB的距离h=|m|1+k2，所以S=12|AB|h=h所以S2h2=m21+k2=2k2+1

32、2(1+k2)2=11+k2-12(1+k2)2设t=11+k2，则S2=-12t2+t(0t1)，（14分）所以0S212，即S的最大值为22 （15分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三有形面积的最大值的求法，解题时要注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用19（16分）设首项为a1的正项数列an的前n项和为Sn，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，Sn+mSm+qmSn总成立（）求证：数列an是等比数列；（）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较ammahh与ak2k的大小；（）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较am1mah1h与ak2k的大小【

33、分析】（）令nm1，得a2qa1，令m1，得Sn+1S1+qSn（1），从而Sn+2S1+qSn+1两式相减即可得出an+2qan+1，进而可判断出数列an是等比数列（）根据m，k，h成等差数列，可知m+h2k，进而可判定m2+h212(m+h)2=2k2，进而根据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种情况判断（）正整数m，k，h成等比数列，则mhk2，判断出1m+1h21mh=2k，进而根据等差根据等比数列的通项公式分a1和q大于、等于和小于1三种情况判断【解答】（）证：因为对任意正整数n，m，Sn+mSm+qmSn总成立，令nm1，得S2S1+qS1，则a2qa1令m1，得Sn+1S

34、1+qSn（1），从而Sn+2S1+qSn+1（2），（2）（1）得an+2qan+1，（n1）综上得an+1qan（n1），所以数列an是等比数列（）正整数m，k，h成等差数列，则m+h2k，所以m2+h212(m+h)2=2k2，则ammahh=a1mqm2-ma1hqh2-h=a12kqm2+h2-m-h当q1时，ammahha12kak2k当q1时，ammahh=a12kqm2+h2-m-ha12kq2k2-2k=(a1qk-1)2k=ak2k当0q1时，ammahh=a12kqm2+h2-m-ha12kq2k2-2k=(a1qk-1)2k=ak2k（）正整数m，k，h成等比数列，则m

35、hk2，则1m+1h21mh=2k，所以am1mah1h=(a1qm-1)1m(a1qh-1)1h=a11m+1hq2-1m-1h=q2(a1q)1m+1h，ak2k=q2(a1q)2k当a1q，即a1q=1时，am1mah1h=ak2k=q2=ak2k当a1q，即a1q1时，am1mah1h=q2(a1q)1m+1hq2(a1q)2k=ak2k当a1q，即a1q1时，am1mah1h=q2(a1q)1m+1hq2(a1q)2k=ak2k【点评】本题主要考查了等比关系的确定和等比数列的性质等比数列常与不等式一块考查，应引起重视20（16分）已知函数f（x）ex+ax，g（x）exlnx（e是自

36、然对数的底数）（1）若曲线yf（x）在x1处的切线也是抛物线y24（x1）切线，求a的值；（2）若对于任意xR，f（x）0恒成立，试确定实数a的取值范围；（3）当a1时，是否存在x0（0，+），使曲线C：yg（x）f（x）在点xx0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x0的个数；若不存在，请说明理由【分析】（1）求出f（x）的导函数，把c1代入导函数中求出的导函数值即为切线方程的斜率，把x1代入f（x）求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切线方程与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据直线与抛物线相切，得到方程的根的判别式等于0，列出关于a

37、的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）求出f（x）的导函数，分a大于0，a0和a小于0三种情况考虑，当a大于0时，导函数大于0，即函数为增函数，利用极限的思想得到函数恒大于0不成立；当a0时，得到函数恒大于0，满足题意；当a小于0时，令导函数等于0，求出x的值，由x的值分区间讨论导函数的正负，得到函数的单调区间，进而得到f（x）的最小值，让最小值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意的a的取值范围；（3）把a1代入到（2）中求出的f（x）的最小值中，确定出f（x）的最小值，设h（x）g（x）f（x），把g（x）和f（x）的解析式代入确定出h（x

38、），求出h（x）的导函数，假如存在x0（0，+），使曲线C：yg（x）f（x）在点xx0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，令h（x）导函数等于f（x）的最小值，得到lnx+1x-1=0，设（x）等于等式的右边，求出（x）的导函数，利用导函数的正负确定出（x）的最小值为（1）等于0，得到方程有唯一的解，且唯一的解为f（x）的最小值【解答】解：（1）f（x）ex+a，把x1代入得：f（1）e+a，把x1代入f（x）得：f（1）e+a，所以切点坐标为（1，e+a），则在x1处的切线为y（e+a）（e+a）（x1）即：y（e+a）x，与y24（x1）联立，消去得（e+a）2x24x+40，由0

39、知，a1e或a1e；（4分）（2）f（x）ex+a，当a0时，f（x）0，f（x）在R上单调递增，且当x时，ex0，ax，f（x），故f（x）0不恒成立，所以a0不合题意；（6分）当a0时，f（x）ex0对xR恒成立，所以a0符合题意；当a0时令f（x）ex+a0，得xln（a），当x（，ln（a）时，f（x）0，当x（ln（a），+）时，f（x）0，故f（x）在（，ln（a）上是单调递减，在（ln（a），+）上是单调递增，所以f（x）minf（ln（a）a+aln（a）0，解得ae，又a0，a（e，0），综上：a（e，0（10分）（3）当a1时，由（2）知f（x）minf（ln（a）a+al

40、n（a）1，设h（x）g（x）f（x）exlnxex+x，则h(x)=exlnx+ex1x-ex+1=ex(lnx+1x-1)+1，假设存在实数x0（0，+），使曲线C：yg（x）f（x）在点xx0处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等，x0即为方程的解，（13分）令h（x）1得：ex(lnx+1x-1)=0，因为ex0，所以lnx+1x-1=0令(x)=lnx+1x-1，则(x)=1x-1x2=x-1x2，当0x1时（x）0，当x1时（x）0，所以(x)=lnx+1x-1在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，（x）（1）0，故方程ex(lnx+1x-1)=0有唯一解为1，所以存在

41、符合条件的x0，且仅有一个x01（16分）【点评】此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负确定函数的单调区间，会利用导数研究函数的极值，掌握导数在最大值、最小值问题中的应用，是一道中档题选做题（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）选修4-2：矩阵与变换（10分）21（10分）设矩阵A=1221，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量【分析】由矩阵A，求得丨A丨及A*，A1=1丨A丨A*，求得A1，由特征多项式f（）0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量【解答】解

42、：丨A丨=1221=143，A*=1-2-21，A的逆矩阵为A1=1丨A丨A*=-132323-13，则特征多项式为f（）（+13）2-49=2+23-13，令f（）0，解得：11，2=13，设特征向量为xy，则-132323-13xy=-xy，可知特征值11，对应的一个特征向量为1-1，同理可得特征值2=13，对应的一个特征向量为11（10分）【点评】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在极坐标系中，求曲线2cos关于直线=4（R）对称的曲线的极坐标方程【分析】解法一：将极坐标系下的方程转化为直角坐标方

43、程，进一步运算过后再将计算结果表示成极坐标方程解法二：在极坐标下，设曲线2cos上任意一点为（，），其关于直线=4对称点为（，），则=2k+2-，再代入到2cos计算即可【解答】解法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线2cos的直角坐标方程为（x1）2+y21，且圆心C为（1，0）直线=4的直角坐标方程为yx，因为圆心C（1，0）关于yx的对称点为（0，1），所以圆心C关于yx的对称曲线为x2+（y1）21，所以曲线2cos关于直线=4（R）对称的曲线的极坐标方程为2sin解法二：设曲线2cos上任意一点为（，），其关于直线=4对称点为（，）则=2k+2-，将（，），代入（，），得=2cos(2-)，即