人教A版 必修四 第二单元 平面向量平面向量的数量积及平面向量的应用学案（无答案）.doc

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1、 平面向量的数量积及平面向量的应用一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；l 了解平面向量的数量积与向量投影的关系；l 掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；l 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；l 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；l 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题重点难点：l 重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角l 难点：用向量的方法解决几何、物理等问题学习策略：l 学习本专题内容，需要复习平面向量基本定理、平面向

2、量的坐标表示、平面向量的坐标运算；学习中注意向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别与联系；平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用特别对不同的解题方法进行比较，从中体会向量方法的优越性所在二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）平面向量基本定理如果是同一平面内两个 的向量，那么对于这个平面内任一向量， 一对 ，使 ，称 为

3、的线性组合 （1）其中叫做表示这一平面内所有向量的 ；（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的 ，并且这种分解是 的这说明如果且，那么 （3）当基底是两个互相 的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础（二）向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为 坐标，即若A(x，y)，则=( ， )（三）平面向量的坐标运算运 算坐标语言加法与减法记=(x1，y1)，=(x2，y2)=( ， )，=( ， )实数与向量的乘积记=(x，y)，则=( ， )（四）平面向量平行（共线）的坐标表示设非零向量，则(x1，y1)=(x

4、2，y2)，即，或 =0知识要点预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。知识点一： 平面向量的数量积（一）平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量 叫与的数量积，记作，即有= 并规定与任何向量的数量积为 （二）一向量在另一向量方向上的投影： 叫做向量在方向上的投影要点诠释：（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别两个向量的数量积是一个 ，不是向量，符号由 的符号所决定两个向量的数量积称为 积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“

5、”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出因为其中有可能为0（2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为 值；当为钝角时投影为 值；当为直角时投影为 ；当=0时投影为 ；当=180时投影为 知识点二：向量数量积的性质设与为两个非零向量，是与同向的单位向量（1）= = （2） （3）当与同向时， ；当与反向时， 特别的 或 （4）（5）知识点三：向量数量积的运算律（一）交换律：（二）数乘结合律：（三）分配律： 要点诠释：（1）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c但是；（2）在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是显然

6、，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线知识点四：向量数量积的坐标表示（一）已知两个非零向量，（二）设，则或（三）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。类型一：数量积的运算例1已知下列命题：； ；其中正确命题序号是 思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律解析：例2已知，若（1）； （2） ；（3） 的夹角为30，分别求解析：举一反三：【变式1】已知，求解析：总结升华：类

7、型二：模的问题例3已知向量满足，且的夹角为60，求解析： 总结升华：举一反三：【变式1】已知的夹角为， ，则 等于（ ）A5 B4 C3 D1解析：总结升华：类型三：夹角问题例4（1）已知，求向量与向量的夹角（2）已知，夹角为，则 解析：总结升华：例5已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角解析：举一反三：【变式1】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角解析：总结升华：【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角解析：类型四：综合应用问题例6已知向量（1）若 ；（2）求的最大值 解析：例7设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，如图

8、所示，求证：思路点拨：由向量的数量积的定义可知：两向量、的数量积（其中是、的夹角），它可以看成与在的方向上的投影之积，因此要证明等式可转化成：，而对该等式我们采用向量方法不难得证解析： 举一反三：【变式1】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：思路点拨：如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证解析： 三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。（一）向量在几何中的应用：（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件（3）求夹角问题，利用（4）求线段的长度，可以利用或（二）向量在物理中的应用：（1）向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；（2）向量在速度分解与合成中的作用10