2020年中考数学培优 专题讲义第9讲 最值问题之将军饮马问题.doc

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1、第10讲 最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得PAPB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得PAPB的值最小解析：点A作关于l的对称点A，连接BA，与直线l的交点即为点P，此时PAPB的最小值即为线段BA的长度【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得APNBPN(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，PAPB最小？思维转化：将线

2、段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求APQ周长的最小值解析：点A作关于ON 和OM的对称点A1、A2，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为APQ周长的最小值基本结论：A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长A1OA22MON四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段ABAB的长度和【模型拓展4】问题：求ABBCCD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A，点D关于OM的对称点D，连接AD，最小值即为线段AD的长度(作点A和点D的对称

3、点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AMMNNB的最小值模型其中MN为定值，故只需求AMNB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A，连接AB，线段AB的长度即为AMNB的最小值直线l上有一长度不变线段MN移动，求AMMNNB最小值的模型将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MNA2B 【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PAPC的最小值为解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP

4、，过D作DNOA于N，则此时PAPC的值最小，DPPA，PAPCPDPCCD，B(3，)，AB，OA3，tanAOB，AOB30，OB2AB2，由三角形面积公式得：OAABOBAM，AM，AD23，AMB90，B60，BAM30，BAO90，OAM60，DNOA，NDA30，ANAD，由勾股定理得：DN，C(，0)，CN31，在RtDNC中，由勾股定理得：DC，即PAPC的最小值是【思考】若把题中条件点“C的坐标为(，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时PAPC最小值又是多少呢？解答：PAPCPCPDCDDN，PAPC的最小值为例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5

5、，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米答案：(1)(2)(3)(4)例题3、如图，在五边形ABCDE中，BAE120，BE90，ABBC1，AEDE2，在BC、DE上分别找一

6、点M、N(1)当AMN的周长最小时，AMNANM；(2)求AMN的周长最小值 解：作A关于BC和ED的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交ED于N，则AA即为AMN的周长最小值作EA延长线的垂线，垂足为H，BAE120，AAAAAA60，AAAAAM，AAAEAN，CAN120AAAAAA60，也就是说AMNANM18060120.过点A作EA延长线的垂线，垂足为H，ABBC1，AEDE2，AA2BA2，AA2AE4，则RtAHA中，EAB120，HAA60，AHHA，AAH30，AHAA1，AH，AH145，AA2，例题4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE1，长为的线段

7、MN在AC上运动(1)求四边形BMNE周长最小值；(2)当四边形BMNE的周长最小时，则tanMBC的值为解：作EFAC且EF，连结DF交AC于M，在AC上截取MN，延长DF交BC于P，作FQBC于Q，作出点E关于AC的对称点E，则CECE1，将MN平移至EF处，则四边形MNEF为平行四边形，当BMENBMFMBF时，四边形BMNE的周长最小，由FEQACB45，可求得FQEQ1，DPCFPQ，DCPFQP，PFQPDC，解得：PQ，PC，由对称性可求得tanMBCtanPDC例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且OAEOBA如图，将AEO沿x轴向右

8、平移得到AEO，连接AB、BE当ABBE取得最小值时，求点E的坐标【提示】将AEO向右平移转化为AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离例题6、如图，已知正比例函数ykx(k0)的图像与x轴相交所成的锐角为70，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数ykx(k0)的图像上的两个动点，则AMMPPN的最小值为解：如图所示，直线OC、y轴关于直线ykx对称，直线OD、直线ykx关于y轴对称，点A是点A关于直线ykx的对称点作AEOD垂

9、足为E，交y轴于点P，交直线ykx于M，作PN直线ykx垂足为N，PNPE，AMAM，AMPMPNAMPMPEAE最小(垂线段最短)，在RTAEO中，AEO90，OA4，AOE3AOM60，OEOA2，AE2AMMPPN的最小值为2【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为2、在菱形ABCD中，对角线AC6，BD8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PEPF的最小值是3、如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BEDE的最小值为4、如图，钝角

10、三角形ABC的面积为9，最长边AB6，BD平分ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CMMN的最小值为5、如图，在ABC中，AM平分BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，(1)若AC4，SABC6，则BDDE的最小值为(2)若BAC30，AB8，则BDDE的最小值为(3)若AB17，BC10，CA21，则BDDE的最小值为6、如图，在ABC中，ABBC4，SABC4，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PKQK的最小值为7、如图，AB是O的直径，AB8，点M在O上，MAB20，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PMPN的最小值为8、如图，在锐角ABC中，AB

11、4，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，)，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CEDEDB的最小值是11、如图，点A(a，1)、B(1，b)都在双曲线y(x0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是12、如图，点P是AOB内任意一点，OP5

12、cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则AOB的度数是13、如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是14、如图，在RtABC中，ACB90，点D是AB边的中点，过D作DEBC于点E(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得APPD最小，在下图中画出点P；(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；15、在矩形ABCD中，AB6，BC8，G为边AD的中点(1)如图1，若E为AB上的一个动点，当CGE的周长最小时，求AE的长(2)如图2，

13、若E、F为边AB上的两个动点，且EF4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图(1)蜘蛛在顶点A处，苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线AGC和往墙面BBCC爬行的最近路线AHC，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm的OM与DC相切，圆心M到边CC的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在OM的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线若PQ与OM相切，试求PQ的长度的范围17.如图，抛物线交y

14、轴于点B，点A为x轴上的一点，OA=2，过点A作直线MNAB交抛物线与M、N两点.（1）求直线AB的解析式；（2）将线段AB沿y轴负方向平移t个单位长度，得到线段，求取最小值时实数t的值. 参考答案1.解：连接BD，点B与D关于AC对称，PDPB，PDPEPBPEBE最小正方形ABCD的面积为12，AB2，又ABE是等边三角形，BEAB2，故所求最小值为22.解：四边形ABCD是菱形，对角线AC6，BD8，AB5，作E关于AC的对称点E，作EFBC于F交AC于P，连接PE，则EF即为PEPF的最小值，ACBDADEF，EF，PEPF的最小值为.3.解：作B关于AC的对称点B，连接BB、BD，交

15、AC于E，此时BEEDBEEDBD，根据两点之间线段最短可知BD就是BEED的最小值，B、B关于AC的对称，AC、BB互相垂直平分，四边形ABCB是平行四边形，三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，ADBC，AD，BDCD1，BB2AD2，作BGBC的延长线于G，BGAD，在RtBBG中，BG3，DGBGBD312，在RtBDG中，BD故BEED的最小值为4.解：过点C作CEAB于点E，交BD于点M，过点M作MNBC于N，BD平分ABC，MEAB于点E，MNBC于N，MNME，CECMMECMMN是最小值三角形ABC的面积为9，AB6，6CE9，CE3即CMMN的最小值为35.提示：作点E关

16、于AM的对称点E，BHAC于H，易知BDDE的最小值即为BH的长.答案：(1)3；(2)4；(3)86.解：如图，过A作AHBC交CB的延长线于H，ABCB4，SABC4，AH2，cosHAB，HAB30，ABH60，ABC120，BACC30，作点P关于直线AC的对称点P，过P作PQBC于Q交AC于K，则PQ 的长度PKQK的最小值，PAKBAC30，HAP90，HHAPPQH90，四边形APQH是矩形，PQAH2，即PKQK的最小值为27.解：作点N关于AB的对称点N，连接OM、ON、ON、MN，则MN与AB的交点即为PMPN的最小时的点，PMPN的最小值MN，MAB20，MOB2MAB2

17、2040，N是弧MB的中点，BONMOB4020，由对称性，NOBBON20，MONMOBNOB402060，MON是等边三角形，MNOMOBAB4，PMPN的最小值为4，8.解：如图，作BHAC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MNAB，垂足为N，则BMMN为所求的最小值AD是BAC的平分线，MHMN，BH是点B到直线AC的最短距离，AB4，BAC45，BHABsin4542BMMN的最小值是BMMNBMMHBH29.解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQEF于Q，作A关于EH的对称点A，连接AC交EH于P，连接AP，则APPC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，AEAE，APAP，

18、APPCAPPCAC，CQ18cm9cm，AQ12cm4cm4cm12cm，在RtAQC中，由勾股定理得：AC15cm，故答案为：1510.解：连接AC，作B关于直线OC的对称点E，连接AE，交OC于D，交OB于E，此时CEDEBD的值最小，四边形OCBA是菱形，ACOB，AOOC，即A和C关于OB对称，CEAE，DECEDEAEAD，B和E关于OC对称，DEDB，CEDEDBADDEAE，过C作CNOA于N，C(1，)，ON1，CN，由勾股定理得：OC2，即ABBCOAOC2，CON60，CBACOA60，四边形COAB是菱形，BCOA，DCBCOA60，B和E关于OC对称，BFC90，EB

19、C906030，EBA603090，CFBC1，由勾股定理得：BFEF，在RtEBA中，由勾股定理得：AE4，即CEDEDB的最小值是411.解：把点A(a，1)、B(1，b)代入y(x0)得a3，b3，则A(3，1)、B (1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(3，1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，设直线CD的解析式为ykxb，则，解得，所以直线CD的解析式为yx212.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：点P关

20、于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，PMDM，OPOD，DOAPOA；点P关于OB的对称点为C，PNCN，OPOC，COBPOB，OCOPOD，AOBCOD，PMN周长的最小值是5cm，PMPNMN5，DMCNMN5，即CD5OP，OCODCD，即OCD是等边三角形，COD60，AOB30；13.解：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为MPPQQN的最小值根据轴对称的定义可知：NOQMOB30，ONN60，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM90，在RtMON中，MN故答案为14.解：(1)作点A关于BC的对称点A，连DA交BC于点P.(2)由(1)可

21、证得PA垂直平分CD，AQCQ3PQ15.解：(1)E为AB上的一个动点，作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使CGE的周长最小；在矩形ABCD中，AB6，BC8，G为边AD的中点，AGAM4，MD12，而AECD，AEMDCM，AE：CDMA：MD，AE2；(2)E为AB上的一个动点，如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小在矩形ABCD中，AB6，BC8，G为边AD的中点，AGAM4，MD12，而CH4，DH2，而AECD，AEMDHM，AE：HDMA：MD，AE，A

22、F416.解：(1)根据“两点之间，线段最短”可知：线段AB为最近路线，如图1所示将长方体展开，使得长方形ABBA和长方形ABCD在同一平面内，如图2在RtABC中，B90，AB40，BC60，AC20将长方体展开，使得长方形ABBA和长方形BCCB在同一平面内，如图2在RtACC中，C90，AC70，CC30，AC10，往天花板ABCD爬行的最近路线AGC更近；(2)过点M作MHAB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3半径为10dm的M与DC相切，圆心M到边CC的距离为15dm，BC60dm，MH601050，HB15，AH401525，根据勾股定理可得AM，MB，50MPM与PQ相切于点Q，MQPQ，MQP90，PQ当MP50时，PQ20；当MP时，PQ55PQ长度的范围是20dmPQ55dm17.解：（1）依题意，易得B（0，4），A（2，0），则AB解析式：（2） ABMN直线MN：与抛物线联立可得：解得：M（-2，-2）将AB向负方向平移t个单位后，A1（2，-t），B1（0，4-t）则A1关于直线x=-2的对称点A2为（-6，-t）当A2、M、B1三点共线时，取最小值