等比数列求和公式及性质ppt课件.ppt

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1、北师大版高中数学必修5第一章数列等差数列等比数列定义 通项公式等差（等比）中项下标和公式2abab1nnaqaSnSn=1()2naan1(1)2nn nSnad？anan-1=d(n2)(n2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1qn-1(q0)an=amqn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq问题提出问题提出 小林和小明做小林和小明做“贷款贷款”游戏，规定：在一月（游戏，规定：在一月（30天）中小明天）中小明第一天贷给小林第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林万元，第二天贷给小林2万元万元以后每天比前以后每天比前一

2、天多贷一天多贷1万元万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二分钱，第二天还天还2分钱，第三天还分钱，第三天还4分钱分钱以后每天还的钱是前一天的以后每天还的钱是前一天的2倍，倍，試计算試计算30天后两人各得的钱数天后两人各得的钱数.设小林设小林30天得到的钱数天得到的钱数T30)465(万元23030)(130321T30（分）22221S293230设小明设小明30天得到的钱数天得到的钱数S 30引入新课302S即23293022222 .(2)30S) 1 (.222212932同学们考虑如何求出这个和？同学们考虑如何求出这个和？302S).2222

3、1 (22932303021 S1073.741万元万元分1073741823123030S这种求和的方法,就是错位相减法!301 230302SS推导公式推导公式等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式已知：已知： 等比数列等比数列 an， a1， q， n求：求：Sn解：解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + +an qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23a1qn-1=a1+a1q + + + +作作减减法法23111111nna qa qa qa qa q1(1)1nnaqSq若：q1若q=1,1nSnaSn=n a1(1-q )1-q(q=1)(q=1)na16(

4、一) 用等比定理推导71)(q(二）公式推导).1( ,1),1( ,111qqqaaqnaSnn于是).1( ,1) 1( ,11qqqaaqnaSnn时已知nqa, 1时已知naqa, 1等比数列前等比数列前n项求和公式项求和公式通项公式通项公式:an=a1qn-1等比数列的前n项和例题解解: 例例5（1） 求等比数列求等比数列 的前的前10项项的和的和.,81,41,211，10,21, 11nqa21121111010S.5121023qqaSnn1)1 (1（2）已知等比数列）已知等比数列 a an n 中，中，a a1 1=2,q=3,=2,q=3,求求S S3 3263-13-1

5、2233）（）解（S例例6 五洲电扇厂去年实现利税五洲电扇厂去年实现利税300万元，万元，计划在计划在5年中每年比上年利税增长年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第问从今年起第5年的利税是多少？这年的利税是多少？这5年年的总利税是多少？（结果精确到万元）的总利税是多少？（结果精确到万元） 1解 每年的利税组成一个首项a300，公比q1 10%的等比数列.从今年起,第5年的利税为:55561aa q300 (1 10%)300 1.1483(万元)这5年的总利润为:552a (q1)1.11S300 1.12015(万元)q 11.1 1等比数列的前n项和例题等比数列的前n项和练习11. 根

6、据下列条件，求相应的等比数列根据下列条件，求相应的等比数列 的的 nanS;6,2,3)1(1nqa;5,5.1,4.2)2(1nqa;5,21,8)3(1nqa.6,31,7.2)4(1nqa.18921)21(366 S.433)5.1(1)5.1(14.255 S.231211211855 S.40913113117.266 S等比数列的前n项和练习2-32. 求等比数列求等比数列 1，2，4，从第从第5项到第项到第10项的和项的和. ,2, 11qa解：,21,231qa解：.1521)21 (144S.102321)21 (11010S.1008151023410SS从第从第5项到第

7、项到第10项的和项的和: 3. 求等比数列求等比数列 从第从第3项到第项到第7项的和项的和. ,83,43,23.1283812112112377 S从第从第3项到第项到第7项的和项的和:.1281534912838143237S作业：P30.A组8（写在课本）9.10（写在作业本）152、求数列、求数列1，x，x2，x3，xn，的的前前n项和。项和。1、等比数列、等比数列1，2，4，8，从第从第5 5项到项到第第1010项的和为项的和为S21212121410410SS21212116465qqaS)1()1()1(22nnyxyxyx3、求和：、求和：北师大版高中数学必修5第一章数列1._

8、2._3.:4.nnnnnaaanSa定义：为等比数列通项公式：推广：前 项和公式重要结论：若是等比数列1nnaa常数11nnaa qn mma q11(1)(1)1(1)naqqqna qnnakq（2）,mnpq若mnpqaaaa则（1）n mnmaaqn mnmaqaq求（3）若数列 是等比数列，则 也是等比数列 na23243,kkkkkkkS SS SSSSkqq （4）等比数列an的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列等比数列判定方法：等比数列判定方法：（1 1）定义法：）定义法：（2 2）递推公式法：）递推公式法：（3 3）看通项法：）看通项法：（4 4）看前）看前n n项和法

9、：项和法：1nnaa常数211nnnaaannakqnnSkkq例 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意， 得 an+1=4/5an因此，数列an是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列热气球在n分时间里上升的总高度.125125)54(11251)1 (121mqqaaaaSnnnn不可能超过这个热气球上升的高度答例 做边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内做内接正三角形，然后再做新三角形的内切圆.如此下去求前n个内切圆的面积和.解

10、设第n个正三角形的内切圆的半径为rn 从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的1/2，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的1/2，故 11121)21(6321a63212163332130tan21nnnnnaarrrraaar所以的等比数列，公比为是首项为数列设前n个内切圆的面积之和为Sn，则：nnnnNaaarS411941112344114116341414112221212比数列的等，公比为首项为个内切圆面积组成一个4121rn练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是 ，公比是 ，

11、那么1aq23316181213121qaqaqa82331612qaa答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8316消消元元练习、求和练习、求和231(1)nnaaaaa 22111(2).()()()(0,1,1)nnxxxyyyxxy分析：解：（1）该数列为等比数列，记为an，其中a1=a,q=a当q=1时,Sn=na当q1时,Sn=(1)1naaa（1）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习练习: :.S.60,48S,S)2(32的值求且项和前的是等比数列已知nnnnnSna思考：求和：.nnnS2164834221为等比数列，公

12、比为，利用错位相减法求和.）设，其中为等差数列，nnnnna212 nn2121（提示：你能登上你能登上月球吗月球吗?能能?! 只要你把你手上只要你把你手上的纸对折的纸对折38次我就次我就能沿着它登上月球。能沿着它登上月球。哇哇M=1+2+4+8+2 （页）页）37列式：列式：2.2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比意公比q q1.1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及n公式的应用；公式的应用； 可以求形如的数列的和，其中可以求形如的数列的和，其中nnyx nx ny3 3. .反思推导求和公式的方法反思推导求和公式的方法错位相减法，错位相减法， 等差数列等差数列 ，为等比数列，为等比数列. 为为课堂小结：课堂小结：课本课本p31习题习题1-3 B组组2、3. 4布置作业布置作业: