第二讲、第三讲、第四讲三角形五心定理及证明ppt课件.pptx

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1、L/O/G/O三角形三角形“五心五心”定理及证明定理及证明第二讲、第三讲、第四讲初中数学初中数学三角形的三角形的“五心五心”定理定理4内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。1235外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。垂心：三条高的交点。重心：三条中线的交点。内心：三条角平分线的交点内心：三条角平分线的交点 证明：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。 由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得： OD=OF，OF=OE OD=OE AO为角BAC的平分线注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。 证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF

2、BC于点F。 由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到 两端点的距离相等），得： OA=OB，OA=OC. OB=OC 点O在线段BC的中垂线上 OF为线段BC的中垂线外心：三条中垂线的交点外心：三条中垂线的交点注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。 证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。 由角平分线定理（角平分线上一点到两边的 距离相等）得： OD=OF，OD=OE OF=OE BO为角ABC的平分线注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。旁心旁心垂心：三条高的交点垂心：三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。角BDC=角BEC=90B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。角F

3、BO=角CDE （同弦(弧)所对圆周角相等）又角ODA=角AEO=90O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等）且 角AOE=角BOF角ADE=角BOF 由可知，角OFB=角ODA=90AF为BC边上的高。重心：三条中线的交点重心：三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。D为AB的中点SACD=SBCD （S表示三角形的面积） （底相等(AD=BD),高相同(都为点C到AB的距离)） SAOD=SBODSAOC=SBOC 注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。重心：三条中线的交点重心：三条中线的交点同理可得： SBOC=SAOB 由得，

4、SAOC=SAOB又AOC与AOB底都为AO它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相等。对于AFB和AFC，底相同（为AF），高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。SAFB=SAFC又对于AFB和AFC，高相同（为点A到BC的距离）。它们底相等，即：BF=CFAF为三角形的中线。重心：三条中线的交点重心：三条中线的交点方法二：证：连AO交BC于点F，连DE交AF于点N，G，H分别为OB、OC的中点，连DG，EH。连GH交AF于点M。DE为ABC的中位线DE#1/2BC （#表示平行且等于）同理，可得：GH#1/2BCDE#GH 即：四边形DEHG为平行四边形。重心：三条中线的交点重心：三条中线的交点 易证，ODN OHM，得HM=DN DG为ABO的中位线 DGNM,即四边形DGMN为平行四边形 DN=GM HM=GM,再由三角形中位线定理得，BF=CF。 AF为三角形的中线。L/O/G/O大家加油大家加油!