《弹性力学》第五章-平面问题的复变函数法ppt课件.ppt
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1、第五章第五章 平面问题的复变函数法平面问题的复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题,所涉直角坐标及极坐标求解平面问题,所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界,例如椭圆形、双曲形、非同心圆等些边界,例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。数方法在弹性力学中的简单应用。 5-4 5-4 多连通域内应力与位移的单值条件多连通域内应力与位移的单值条件5-3 5-3 边界条件的复变函数
2、表示边界条件的复变函数表示5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示5-6 5-6 含孔口的无限大板问题含孔口的无限大板问题5-5 5-5 无限大多连体的情形无限大多连体的情形第五章第五章 平面问题的复变函数法平面问题的复变函数法 5-1 5-1 应力函数的复变函数表示应力函数的复变函数表示 在第二章中已经证明,在平面问题里,如果体力是常量,就一定存在一个应力函数,它是位置坐标的重调和函数,即04现在,引入复变数z= xiy和zxiy以代替实变数x 和y。注意i, 1i, 1yzxzyzxz 可以得到变换式)i(
3、)(zzyzzyzzyzzxzzxzzxzyxzyx2i,2i进而222222)(,)(zzyzzxzzyx2222224Pzz224令于是可将方程式04)(0224azz变换成为0)(2224P由02 P 可知,P是调和函数可由解析函数的实部得到。设f(z)为解析函数,可令) )()(21zfzfPPzz224由)()(2141412zfzfPzz)( 4)(zzf) )( )( (212zzzz令得则 将上式对 积分,得到)()( )( (21zzzzzz再对z积分,得到)(d)()()(21zgzzzzzz)(d)(zzz令)( )(zz即)()()()(21zgzzzzzz则 注意上式
4、左边的重调和函数是实函数,可见该式右边的四项一定是两两共轭,前两项已经是共轭的,后两项也应是共轭的:)()(zzg令即得有名的古萨公式 )()()()(21zzzzzz也可以写成)()(Rezzz 于是可见,在常量体力的平面问题中,应力函数总可以用复变数z的两个解析函 (z)和(z)来表示,称为K-M 函数。而求解各个具体的平面问题,可归结为适当地选择这两个解析函数,并根据边界条件决定其中的任意常数。 5-2 5-2 应力和位移的复变函数表示应力和位移的复变函数表示根据应力分量和应力函数的关系yxxyxyyx22222一一 应力分量的复变函数表示应力分量的复变函数表示 可得到应力分量的复变函数
5、表示zzxyyx242222) )()()()(21zzzzzz由)( Re4 )( )( 2zzzyx可得而由 224i2i 22222i 22zyxyxyxxyxy)( )( 2i 2zzzxyxy可得)( )( 2i 2zzzxyxy或 只要已知(z)及 (z),就可以把上述公式右边的虚部和实部分开,由虚部得出xy,由实部得出y-x。 )( Re4 )( )( 2zzzyx)( )( 2i 2zzzxyxy和就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式,把x、y 、xy三者分开用(z)和 (z)来表示,但那些公式将比较冗长,用起来很不方便。 二二 位移分量的复变函数表示位移分量的复变函
6、数表示 假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程yyxyxxuE)1 ()(xyxxyyvE)1 ()(xyyuxvE)()1 (22222)1 ( )()(2)1 ( )()( 2xzzxxzzxuE可得 )i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx由于)( )()(zzzzz并注意到 )()()()( )()( )()(zzzzzzzzzzzzx )()()()( )()( )()(izzzzzzzzzzzzy同理可得2222)1 ( )()(i2)1 ( )()( 2yzzxyzzyvE将上两式分别对x及y积分,得)()1 ( )()(i2)()1 ( )()( 221xfyzzEvy
7、fxzzEu其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式yxyuxvExy2)()1 (2 )i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx由于 )()( i)()(i )()(i )()(zzzzzzzzzzzzy )()( i)()(i )()(i )()(izzzzzzzzzzzzx )(dd)(dd)1 ( 2)(dd)1 ( )()(i 2)(dd)1 ( )()(22122212xfxyfyyxxfxyxzzxuyfyyxzzyuxvyuE从而得到xxfyyfd)(dd)(d21于是得到刚体位移 f1(y)u0y,f2(x)v 0 x故有 若不计刚体位移,则有)i)(1 ()(4)i(y
8、xzvuEzyx2i由式 )()()()(21zzzzzz)()()()( )()(2izzzzzzzzzyx得到 )()()(13)i(1zzzzvuE这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及 (z),就可以将该式右边的实部和虚部分开,从而得出u和v。将结果回代,并两边除以 得1 上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况,须将式中的E改换为 , 改换为 。)1/(2E)1/(5-3 5-3 边界条件的复变函数表示边界条件的复变函数表示 为了求得边界上各结点处的值,须要应用应力边界条件,即: YmlXmlyxyxyxyxxyxyyx22222,而代入上式,即得: YxmyxlXy
9、xmyl222222 由图可见,l=cos(N,x)=dy/ds, m=cos(N,y)=-dx/ds,于是,前式可改写为:YxsxyxsyXyxsxysy222222ddddddddYxsXysdd,dd由此得: 设A是边界上的固定点,B为任意一点,则从A到B边界上的合力,可用上式从A点到B点对s积分得到:BABABABAyxyxxysxyssYXPPiiididddii)i()(zzyzzyzzyzzxzzxzzx将式 代入,整理得:BAyxzzzzPP )()( )( ii把应力函数加上一个复常数,并不影响应力。因此,可把应力函数A处的值设为零,于是对于边界上的有 )()( )( iiy
10、xPP)()( )()i( iyxPP或这就是应力边界条件。 对于位移边界条件)()()(13)i(1zzzzvuEssvvuu,将其代入下式即得平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示)i(1)()()(13ssvuEzzzz 对于平面应变,须将式中的E改换为 , 改换为 。)1/(2E)1/( 5-4 5-4 多连通域内应力与位移的单值条件多连通域内应力与位移的单值条件 应力确定后,应力函数仍可差一个任意的线性函数,这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域,可以通过选取适当坐标系等办法,使得K-M函数完全确定;但对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值的条件
11、。 设有多连通区域,有一内边界C,设在边界C上的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数,我们设 )()ln()()()ln()(zzzBzzzzAzfkkfkkDC这里zk为内部边界内的任意一点,f和f为单值的解析函数(全纯函数),而Ak ,Bk为常数: kkkkkkBAi,i前面的函数的导数是单值的,但他们本身是多值的,当z绕周边一周时,函数值ln(zk)产生一个增量2i, 于是(z)和 (z)的增量分别是2i Ak和2iBk,这时应力主矢量按照公式)()( )( iizzzzYXBA左边将得到应力主矢量(沿整个边界),右边得到一增量:ykxkkkPPBAi)(2 这时位移按照公式)()(
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