同济版大一高数下第七章第一节微分方程的基本概念ppt课件.ppt

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1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第二十九讲2微分方程 第七章yxfy求已知, )( 积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含, 微分方程问题微分方程问题 推广 3微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 4引例引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 5引例引例2. 列车在平

2、直路上以sm20的速度行驶, 制动时获得加速度,sm4 . 02a求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一次积分, 可得14 . 0)(CtdtdstV利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202 . 02说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .2122 . 0CtCts再积分6常微分方程(未知数是一元函数)偏微分方程(未知数是多元函数)含未知函数及其导数(微分）的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导

3、数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或7,00ts200ddtts引例2220.4d sdt 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212

4、xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .8例例3 二阶微分方程034 yyy试问下列函数xxececy321. 1是否是方程的解,是通解还是特解?解解: 分别将四个函数代入方程,均 左边=右边则这四个函数均为方程的解.0, 121cceyx是方程的特解.1, 0213cceyx是方程的特解.xxececy321其中有两个任意常数是方程的通解.xcey 其中只有一个常数,则即不是方程的通解,也不是特解.xxxceyeyey. 4. 3. 239求曲线所满足的微分方程 .例例4 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 QPQx

5、yox解解: 如图所示, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX,xyyx即02 xyy曲线上的点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 设法线上的任一点为(X,Y),10内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 11(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: 例1，4 ) 2) 根据物理规律列方程( 如: 例2 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (P298,6 )(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 2. 解微分方程应用题的方法和步骤书上 例2 例4 自学12作业作业 P298 1（1）（5）口答; 2 (3); 5;