高等代数(北大第三版)第一章多项式-1.1数域ppt课件.ppt

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1、一、数域一、数域设设P是由一些复数组成的集合，其中包括是由一些复数组成的集合，其中包括数不为数不为0）仍是）仍是P中的数，则称中的数，则称P为一个为一个数域数域0与与1，如果，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除中任意两个数的和、差、积、商（除常见数域常见数域： 复数域复数域C；实数域；实数域R；有理数域；有理数域Q；（注意：自然数集注意：自然数集N及整数集及整数集Z都不是数域都不是数域）定义定义说明：说明：1 1）若数集）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集中，则说数集P对这个运算是对这个运算是封闭封闭的的2 2）数域的等价定义：如果一个包

2、含）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数在内的数集集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0 0）是封闭的，则称集是封闭的，则称集P为一个数域为一个数域是一个数域是一个数域例例1 1证明：数集证明：数集 ( 2)2 | ,Qaba bQ证：证： 000 2,110 2,( 2),x yQ又对又对 2,2,xabycd设设 则有则有 (2)() 2( 2)x yacbdadbcQ0,1( 2)Q, , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ设设20,ab于是于是也不为也不为0 02ab 或或 0,0ab矛盾）矛盾） （否则，若（否则，若

3、20,ab则则2,ab 2,aQb于是有于是有20.ab2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab 222222.22acbdadbcQabab为数域为数域( 2)Q ( ),1Q iabi a bQ i是数域是数域.类似可证类似可证Gauss数域数域例例2设设P是至少含两个数的数集，证明：若是至少含两个数的数集，证明：若P中任中任意两个数的差与商（除数意两个数的差与商（除数0）仍属于）仍属于P，则，则P为一为一一个数域一个数域有有证：由题设任取证：由题设任取,a bP 0,aaP1(0),bP bb(0),ababP,abP(0),aP bb所以，所以，P是一个数域是一个数域110

4、,bbabP时时,00.babP时时,二、数域的性质定理二、数域的性质定理任意数域任意数域P都包括有理数域都包括有理数域Q即，有理数域为最小数域即，有理数域为最小数域证明：证明： 设设P为任意一个数域由定义可知，为任意一个数域由定义可知，于是有于是有01.PP， ,111mZmP 进而进而 有有,mm nZPn 而任意一个有理数可表成两个整数的商，而任意一个有理数可表成两个整数的商，.QP0.mmPnn设设P为非空数集，若为非空数集，若则称则称P为一个数环为一个数环附附:,a bPabPa bP 例如，整数集例如，整数集Z 就作成一个数环就作成一个数环数环数环练习练习121|,PnnZ22 |( 2).PnnZZ判断数集判断数集 是否为数域？为什么是否为数域？为什么?12,P P 作业作业S是数域吗？是数域吗？证明：集合是一个数环证明：集合是一个数环,2nmSm nZ1若若 为数域，证明：为数域，证明： 也为数域也为数域12,P P12PP