高等代数§1.8-复系数与实系数多项式的因式分解ppt课件.ppt

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1、一、复系数多项式一、复系数多项式1、代数基本定理、代数基本定理1 定理定理1 每个次数每个次数 的复系数多项式在复数域的复系数多项式在复数域中有一根中有一根. .推论推论1 若若 则存在则存在 ( ) ,f xx ( ( )1,f x ,xx 使得使得|( ).xf x 即即, ,每个次数每个次数 的复系数多项式在复数域上的复系数多项式在复数域上1 必必有一次因式有一次因式. .推论推论2 复数域上不可约多项式只有一次多项式复数域上不可约多项式只有一次多项式. .即即 若若 则则 可约可约. .( ) ,f xx ( ( )1,f x( )f x2、复系数多项式因式分解定理、复系数多项式因式分

2、解定理定理定理2 若若 则则 在在( ) ,f xx ( ( )1,f x( )f x复数域上可唯一分解成一次因式的乘积复数域上可唯一分解成一次因式的乘积. .推论推论3 若若 则则 在在( ) ,f xx ( ( )1,f x( )f x上具有标准分解式上具有标准分解式 1212( )() ()()srrrsf xa xxx12,.sr rr ,其中其中 是不同的复数，是不同的复数， 12,s 推论推论4 4 每个每个 次复系数多项式恰有次复系数多项式恰有 个根个根( (重重nn根按重数计算根按重数计算).).3 3、韦达定理、韦达定理定理定理3 3 设设1110( )nnnnf xa xa

3、xa xa 有有 个复根个复根 , ,则则n12,n 11(1),nniinaa 121221(2)niiiinnaa 12121( )( 1)kkkn kiiiiiinnaka 012( )( 1)nnnana 二、实系数多项式二、实系数多项式命题命题1 1 若若 是实系数多项式是实系数多项式 的复根的复根, ,则则 ( )f x 的共轭复数的共轭复数 也是也是 的根的根. . ( )f x110( )0nnnnfaaa 两边取共轭有两边取共轭有 也是为也是为 复根复根 ( )f x1100nnnnaaa 证：证：110( ),nnnnif xa xaxaa 设设若若 为为 的根，则的根，则

4、 ( )f x即即, ,110( )0nnnnfaaa 命题命题2 2 实系数不可约多项式只能是一次多项式实系数不可约多项式只能是一次多项式和某些二次多项式和某些二次多项式. .证证: : 设设 是实系数不可约多项式是实系数不可约多项式. .( )p x若若 下证下证 即可即可. .( ( )1,p x( ( )2p x由代数基本定理由代数基本定理, , 存在复根存在复根 ( )p x 则则 也是也是 的根的根, ,即即 ( )p x|( ),|( ).xp xxp x注意到注意到(,)1xx( (否则否则, , ,则则 在在 上上 ( )p x 存在一次因式存在一次因式, ,这与这与 实不可

5、约相矛盾实不可约相矛盾.).)( )p x所以所以, ,()()|( ).xxp x又又 实不可约且实不可约且 ()() ,xxx ( )p x所以所以 是二次多项式是二次多项式. .( )()()p xc xx实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理 ，若，若 , ,则则 可唯一可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 ( ) f xx ( ( )1f x( )f x定理定理4 (4 (实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理) )12121211( )() ()() ()skkkknsf xaxcxcxcxp xq1211,srrc

6、 ccpp qq 其中其中11, ,sskk ll 不可约多项式不可约多项式. . 2()rkrrxp xq( ) ,f xx ( )f x推论推论5 5 设设 则则 在在 上具有标准分解式上具有标准分解式 且且 ，即，即 为为 上的上的240,1,2iipqir2iixp xq 例例 求求 在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式. . 1nx 1)在复数范围内在复数范围内 有有n个复根，个复根，1nx 解：解：211,n 22cossin,1,2,kkkiknnn 211(1)()()()nnxxxxx 22cossin,inn 这里这里2)在实数域范围内在实数域范围内,kn k 22cos1,kkkkkn , 1, 2,kn当当n为奇数时为奇数时 2111(1)()nnnxxxx111122222()nnnnxx2221(1)(2 cos1)2 cos1nxxxxxnn 当当n为偶数时为偶数时 2111(1)(1)()nnnxxxxx222222222()nnnnxx2222(1)(1)(2 cos1)2 cos1nxxxxxxnn