第14章结构动力计算续论ppt课件.ppt

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1、第14章 结构动力计算绪论14-1 多自由度体系的自由振动14-2 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵14-3 多自由度体系的强迫振动14-4 无限自由度体系的自由振动14-5 无限自由度体系的自由振动的常微分方 程求解器解法14-6 近似法求频率14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率14-8 用求解器求解自振频率和振型14-9 小结14-1 多自由度体系的自由振动1. 刚度法刚度法1111112112221122221122000nnnnmnnnnnnm yk yk yk ym yk yk yk ym yk yk yk y0My+ Ky =12nmmm，M111212122212nnnnn

2、nkkkkkkkkkK振动方程为振动方程为14-1 多自由度体系自由振动()0KM YsintyY0KM设振动方程解的形式为设振动方程解的形式为将上式代入振动方程，得将上式代入振动方程，得若得到非零解，则若得到非零解，则2111212212222120nnnnnnnnnkmkkkkmkkkkm展开形式为展开形式为（a）14-1 多自由度体系自由振动( )T12()iiiniYYYY2( )()0iiKM Y解行列式，得到解行列式，得到n个体系的自振频率个体系的自振频率12,n令令将将( )Yii，代入式（代入式（a），得），得由此可求出第由此可求出第 i 振型振型（b）式（式（b）是一组齐次方

3、程，只能确定主振型的形状，但不）是一组齐次方程，只能确定主振型的形状，但不能位移地确定它的振幅。能位移地确定它的振幅。14-1 多自由度体系自由振动振型的标准化振型的标准化规定某个元素的值，如第一个元素等于规定某个元素的值，如第一个元素等于1，或者，或者 最大的一个元素等于最大的一个元素等于1规定主振型满足下式规定主振型满足下式( )T( )1iiYYM14-1 多自由度体系自由振动 例例14-114-1 试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形忽略不计，层间刚度系数和质量如图所示。变形忽略不计，层间刚度系数和质量如图所示。解解 （1）求自振频率）求自振

4、频率14-1 多自由度体系自由振动205058315033k ，K220010001mM22025058315033kKM刚度矩阵和质量矩阵分别为刚度矩阵和质量矩阵分别为频率方程为频率方程为15mk14-1 多自由度体系自由振动展开，得展开，得222422252250用试算法求得方程的三个根为用试算法求得方程的三个根为1231.2936.68013.0272221230.086 20.04530.8685kkkmmm，因此，三个自振频率为因此，三个自振频率为230.29360.667 30.9319kkkmmm，进一步求得进一步求得14-1 多自由度体系自由振动（2）求振型）求振型令令Y311

5、，解得，解得11、将将代入振型方程，得代入振型方程，得1121213117.4145056.707315031.707YkKM YYY11(1)11320.1630.5691YYYY14-1 多自由度体系自由振动令令Y321，解得，解得22、将将代入振型方程，得代入振型方程，得122222326.6405051.320315033.680YkKM YYY12(2)22320.9241.2271YYYY 14-1 多自由度体系自由振动令令Y331，解得，解得33、将将代入振型方程，得代入振型方程，得132323336.0545055.0273150310.027YkKM YYY13(3)2333

6、2.7603.3421YYYY 14-1 多自由度体系自由振动14-1 多自由度体系自由振动刚度法振动方程为刚度法振动方程为2()0KM Y2()0I M Y1 K由由得得令令21，得，得0MI()0MI Y故频率方程为故频率方程为2 柔度法柔度法14-1 多自由度体系自由振动111122121122221122()()0()nnnnnnnnnmmmmmmmmm展开为展开为相应的振型方程为相应的振型方程为( )()0iiMI Y14-1 多自由度体系自由振动例例 142 试用柔度法重做例试用柔度法重做例141。解解 （1）求自振频率）求自振频率由各层的刚度系数得到各层柔度系数为由各层的刚度系数

7、得到各层柔度系数为12123311133155kkkkkk，14-1 多自由度体系自由振动312233491121312122324414-1 多自由度体系自由振动111144149柔度矩阵为柔度矩阵为2112440249MIm21mm频率方程为频率方程为14-1 多自由度体系自由振动展开，得展开，得32154230012311.6012.2461.151，解得解得因此，三个自振频率为因此，三个自振频率为230.29360.667 30.9319kkkmmm，（2）求主振型）求主振型将求得的将求得的i分别代入振型方程，得到三个振型。分别代入振型方程，得到三个振型。任选体系的两个振型任选体系的两

8、个振型( )T12( )T12()()kkknklllnlYYYYYYYY12nmmmM体系的质量矩阵为体系的质量矩阵为( )T( )0lkYMY则，第一个正交关系为则，第一个正交关系为14-2 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1 1 主振型的正交性主振型的正交性14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵另一种证明方法另一种证明方法令振型方程中的令振型方程中的i分别等于分别等于k、l，得，得( )2( )( )2( )abKYMYKYMYkkklll（ ）（ ）将（将（a）式两边分别左乘）式两边分别左乘Y（l）T、（b）式两边分别左乘）式两边分别左乘Y（k）T，得，得( )T( )2

9、( )T( )( )T( )2( )T( )cdYKYYMYYKYYMYlklkkklkll（ ）（ ）考虑考虑KT=K，MT=M，将（，将（d）式两边转置，得）式两边转置，得14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵22T( )()0MYlkklY（）( )T( )0lkYMY( )T( )2( )T( )eYKYYMYlklkl（ ）式（式（c）-式（式（d），得），得kl若若，得，得T( )0MYlkY（）第一个正交关系第一个正交关系将第一个正交关系代入（将第一个正交关系代入（c），得），得对刚度也正交对刚度也正交对于对于k=l，定义，定义T( )MYkkkYM（ ）第第k振型的广义

10、质量振型的广义质量T( )YkkkYKK（ ）第第k振型的广义刚度振型的广义刚度14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵以以Y（k）T前乘下式前乘下式( )2( )KYMYkkk2kkkKKkkkKM( )T( )2( )T( )kkkkkYKYYMY得得即即由此得由此得由广义刚度和质量求自振频率由广义刚度和质量求自振频率14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵主振型正交关系的应用主振型正交关系的应用判断主振型的形状特点判断主振型的形状特点第二振型分为两个区，各居结构的两侧，只有这样才能满足第二振型分为两个区，各居结构的两侧，只有这样才能满足正交条件；正交条件；第三振型分为三区，交

11、替位于结构的不同侧。这样才能符合第三振型分为三区，交替位于结构的不同侧。这样才能符合与第一、第二主振型都彼此正交的条件。与第一、第二主振型都彼此正交的条件。14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵确定位移展开公式中的系数确定位移展开公式中的系数(1)(2)( )( )121nniniiyYYYY( )T( )T( )1njjiiiYMyYMY( )T( )T( )jjijjjYMyYMYM( )TjjjYMyM任意一个位移向量都可按主振型展开任意一个位移向量都可按主振型展开用用Y（j）TM前乘上式两边前乘上式两边由正交性，得由正交性，得由此求得系数为由此求得系数为14-2多自由度体系主振

12、型的正交性和主振型矩阵205058315033k ，K 例例 143 验算例验算例141中所求得的中所求得的主振型的正交性，求出每个主振型相应主振型的正交性，求出每个主振型相应的广义质量和广义刚度，并求频率的广义质量和广义刚度，并求频率 解解 由由 例例141 得知刚度矩阵和质量矩阵分别为得知刚度矩阵和质量矩阵分别为220010001mM三个主振型分别为三个主振型分别为(1)0.1630.5691Y，(2)0.9241.2271Y ，(3)2.7603.3421Y 14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（1）验证对质量矩阵的正交性）验证对质量矩阵的正交性(1)T(2)2200.1630

13、.5691010001mYMY0.163 2 ( 0.294)0.569 1 ( 1.227) 1 1 1(1 0.999 4)0.0060mmm 同理同理(1)T(3)(2)T(3)0.00200.000 20mm YMYYMY14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（2）验证对刚度矩阵的正交性）验证对刚度矩阵的正交性(1)T(2)20-500.9240.1630.5691-58-31.227150-331(6.681 6.676)015YKYkk(1)T(3)(2)T(3)(24.7524.77)015(34.072 034.072 2)015YKYYKYkk同理同理14-2多自由度

14、体系主振型的正交性和主振型矩阵（3）求广义质量）求广义质量(1)T(1)12000.1630.1630.56910100.56900111.377MYMYmm(2)T(2)2(3)T(3)34.21327.404mmMYMYMYMY同理同理14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（4）求广义刚度）求广义刚度同理同理(1)T(1)120-500.1630.1630.569 1-58-30.569150-3311.78015YKYkKk(2)T(2)2(3)T(3)328.14415356.99515kKkKYKYYKY14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵（5）求频率）求频率111

15、0.2936KkMm2223330.667 30.9319KkMmKkMm14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵主振型向量组成的方阵主振型向量组成的方阵1112121222(1)(2)( )12nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY(1)T11212(2)T12222T( )T12nnnnnnnYYYYYYYYYYYYY转置矩阵为转置矩阵为2 2 主振型矩阵主振型矩阵14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵故故(1)T(2)TT(1)(2)( )( )TnnYYY MYM YYYY(1)T(2)T(1)(2)( )( )TnnYMYMYYYYM(1)T(1)(1)T(2)(1)

16、T( )(2)T(1)(2)T(2)(2)T( )( )T(1)( )T(2)( )T( )nnnnnnYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMYYMY14-2多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1T2000000nMMMY MYM12T000000nKKKY KYK同理同理由振型的正交性可知，非对角线上的由振型的正交性可知，非对角线上的元素等于零，主对角线上的元素为各元素等于零，主对角线上的元素为各振型的广义质量。所以振型的广义质量。所以 振动方程为振动方程为111111211P1222112222P21122P3( )( )( )nnnnmnnnnnnm yk yk yk yFtm

17、 yk yk ykyFtm yk ykyk yFtP( ) tMy+ KyF简谐荷载简谐荷载P1P2PPP( )sinsinFFnFFtttF若若14-3 多自由度体系的强迫振动1 n1 n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动14-3 多自由度体系的强迫振动在平稳阶段，各质点也作简谐振动，即在平稳阶段，各质点也作简谐振动，即12(t)sinsinnttYYyYY2P()KMYF20DKM代入振动方程，整理后，得代入振动方程，整理后，得令令若若D00，则则10PYF D14-3 多自由度体系的强迫振动讨论讨论00DY 故故,当荷载频率与其中任意一个自振频率相等时当

18、荷载频率与其中任意一个自振频率相等时,都可能都可能出现共振现象，因此，对出现共振现象，因此，对n个自由度体系，存在个自由度体系，存在n个共振个共振区。区。14-3 多自由度体系的强迫振动振动方程振动方程P( ) tMy+ Ky = Fy =Y将位移向量按振型分解将位移向量按振型分解代入振动方程，并前乘代入振动方程，并前乘YTTTTP( ) tY MYY KYY F令令FP= YTFP（t）广义荷载向量广义荷载向量振动方程变为振动方程变为( ) tMKF( 12 )in， ， ，2 2 多自由度体系在一般荷载下的强迫振动多自由度体系在一般荷载下的强迫振动14-3 多自由度体系的强迫振动由于由于M

19、*、K*都是对角阵，方程已经解偶，即都是对角阵，方程已经解偶，即( )( )iiiiiMtKttF( 12 )in， ， ，21( )( )iiiiittF tM 2iiiKM同理，令同理，令则则振型分解法振型分解法由杜哈梅积分，得由杜哈梅积分，得01( )( )sin()tiiiiitFtdM( )T0(0)iiiMYMy( )T0(0)iiiMYM初始条件为初始条件为14-3 多自由度体系的强迫振动代入初始条件，得代入初始条件，得0(0)1( )(0)cossin( )sin()tiiiiiiiiiitttFtdM14-3 多自由度体系的强迫振动PP110( )00FtFtt 例例 14-

20、4 已知结构的频率和振型，试求图示结构在已知结构的频率和振型，试求图示结构在突加荷载突加荷载FP1作用下的位移和弯矩。作用下的位移和弯矩。解解 （1） 主振型矩阵主振型矩阵1111Y（2）建立坐标变化关系）建立坐标变化关系11121111YY14-3 多自由度体系的强迫振动（3）求广义质量）求广义质量(1)T(1)1(2)T(2)21011 120111011 12011MmmMmm YMYYMY（4）求广义荷载）求广义荷载P1(1)T1PP1P1(2)T2PP1( )( )( )1 1( )0( )( )( )11( )0FtF ttFtFtF ttFtYFYF14-3 多自由度体系的强迫振

21、动（5）求正则坐标）求正则坐标1p11011p1101p1121p12p122202221( )( )sin()1sin()2(1 cos)21( )( )sin()(1 cos)2ttttFtdMFtdmFtmFtFtdtMm14-3 多自由度体系的强迫振动（6）求质点位移）求质点位移1122P11122212P11221212P11221( )( )( )(1cos)()(1cos)2(1cos)0.067(1cos)2( )( )( )(1cos)0.067(1cos)2y tttFttmFttmytttFttm14-3 多自由度体系的强迫振动质点质点1的位移时程曲线的位移时程曲线P11

22、11121( )( )(1cos)2FytttmP111221( )(1cos)0.067(1cos)2Fy tttm实线：实线：虚线：虚线：14-3 多自由度体系的强迫振动（7）求弯矩）求弯矩振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为 P11P11P112P12P2212coscos20coscos2FF tFtmy tFttFF tFtmyttt 12P1112211 cos1 cos3363F tF t lF llMttt截面截面1的弯矩为的弯矩为14-3 多自由度体系的强迫振动截面截面1弯矩时程曲线弯矩时程曲线 P11P112coscos2FF tFt

23、t P111P11cos2FFtFt实线：实线：虚线：虚线：只考虑第一振型只考虑第一振型14-3 多自由度体系的强迫振动 （8）讨论）讨论 由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值，由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值，因此不能简单地把两分量的最大值相加。因此不能简单地把两分量的最大值相加。第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要小的多。小的多。 阶次愈高的振型分量的影响愈小，通常可以计算前阶次愈高的振型分量的影响愈小，通常可以计算前23个个低阶振型的影响，就可以得到满意的结果。低阶振型的影响，就可以得到满意的结果。 按无限自由度体系

24、计算可以了解近似计算方法的应用按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。范围和精确程度。将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，是不完整的。是不完整的。 对某种类型的结构，直接按无限自由度体系计算也有方便对某种类型的结构，直接按无限自由度体系计算也有方便之处。之处。14-4 无限自由度体系的自由振动 在无限自由度体系的动力计算中，时间和位置坐标都是独在无限自由度体系的动力计算中，时间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。立变量。振动方程是偏微分方程。14-4 无限自由度体系的自由振动等截面梁弯曲时的静力平衡方程为等

25、截面梁弯曲时的静力平衡方程为44ddyEIqx22yqmt 在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为42420yyEImxt14-4 无限自由度体系的自由振动用分离变量法求解，令用分离变量法求解，令 y x tY xT t， IV2YxT tEIm Y xT t 代入振动方程，并整理得代入振动方程，并整理得左边是左边是x的函数，右边是的函数，右边是t的函数。因此，两边都与的函数。因此，两边都与x、t无关。无关。故得两个常微分方程故得两个常微分方程 IV40YxY x 20T tT t14

26、-4 无限自由度体系的自由振动42 mEI2 EIm两个方程的解分别为两个方程的解分别为 sinT tat siny x tY xt， 1234coshsinhcossinY xCxCxCxCx则，振动方程的解为则，振动方程的解为C1C4由边界条件确定由边界条件确定14-4 无限自由度体系的自由振动例例 14-5 试求等截面简支梁的自振频率和主振型。试求等截面简支梁的自振频率和主振型。 0000YY，130CC 24sinhsinY xCxCx 00Y lYl，2424sinhsin0sinhsin0ClClClCl右边：右边：振幅曲线简化为振幅曲线简化为解：边界条件引入振幅曲线解：边界条件引

27、入振幅曲线左边：左边：得：得：令系数行列式令系数行列式=0sinhsin0sinhsinllllsin0l得得1 2nnnl，故故14-4 无限自由度体系的自由振动 44sinsin1,2,nYxCxn xCln2221 2nnlmn，这样就得到了无限多个这样就得到了无限多个自振频率和对应的振型自振频率和对应的振型曲线曲线14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法 等截面两弯曲时的自等截面两弯曲时的自由振动偏微分方程为由振动偏微分方程为424201 2nyyEImxtn，n=1：表示下段结果；：表示下段结果；n=2：表示上段结果。：表示上段结果。令令23232200YYxxdddd

28、42401 2nYEImYxndd， i ty x tY x e，代入振动方程，得代入振动方程，得边界条件边界条件顶部（顶部（x=0）：弯矩）：弯矩=0、剪力、剪力=014-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法中部（中部（x=H2）：水平位移、）：水平位移、转角、弯矩、剪力都连续转角、弯矩、剪力都连续 1212222212333312YYYYxxYYEIEIxxYYEIEIxxdddddddddddd底部（底部（x=H）：水平位移）：水平位移=0、转角转角=0 1100YYxdd14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法将特征值问题转化为标准的非线性将特征值问题转化为标

29、准的非线性ODE问题问题首先，利用区域映射技巧作坐标变换首先，利用区域映射技巧作坐标变换22210 xxHHHxxHHH，于是有于是有 2221d10dddddddd1dxHHxxxHHH，14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法这个变化将两段区间影射这个变化将两段区间影射为标准的单位区间为标准的单位区间0，1微分方程变为微分方程变为 41 201nnnmHYYEIn， ，边界条件变为边界条件变为顶部（顶部（x=0，=0）：自由）：自由2200YY，中部（中部（x=H2，=1）：连续）：连续 122112222112332112 YYHYHYHEIYHEIYHEIYHEIY底部（

30、底部（x=H，=0）：固定）：固定 1100YY微分方程已变成常微分方程微分方程已变成常微分方程组特征值问题组特征值问题14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法利用平凡的利用平凡的ODE技巧和技巧和等价的等价的ODE技巧将其转技巧将其转化为标准的非线性化为标准的非线性ODE问题问题.建议平凡的建议平凡的ODE，即，即0 201d1HmYxH212011d1nnnHmYH取振型归一化条件为取振型归一化条件为分段考虑并利用坐标分段考虑并利用坐标变换，有变换，有利用等价利用等价ODE技巧将该积技巧将该积分转化为标准的分转化为标准的ODE问题问题. 2211010011 nnnRHmYH

31、RR，这样，就形成了一个标准的非线性这样，就形成了一个标准的非线性常微分方程组，可直接利用标准的常微分方程组，可直接利用标准的ODE求解器的非线性功能求解。求解器的非线性功能求解。14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法利用利用COLSYS求解的计算步骤如下：求解的计算步骤如下：设要求解前设要求解前N个特征值个特征值（1）设初始解）设初始解 12nYn（， ），及（一般设为零）（2）对第）对第k（k=1，2，MN振型求正交化的初始解振型求正交化的初始解 11kkiinnniYYY21011inmYYdH其中其中14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法 kninYY（

32、3 3）以以及及 为为初初始始解解，用用COLSYSCOLSYS求求解解式式（14-2914-29）、（14-3014-30）、（14-314-3）和和（14-3214-32），得得到到（4）用）用COLSYS求解如下的一个一阶线性求解如下的一个一阶线性ODE问题问题 211,0100nknUH mYYHU ， 1kU然后，求出然后，求出（5）回到第（）回到第（2）步作第）步作第k+1步求解。步求解。14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法例例 14-6 图示变截面柱，计算数据如下：图示变截面柱，计算数据如下：1（下）段：（下）段：2（上）段：（上）段：其中其中s为一比例系数。计

33、算为一比例系数。计算s=1.0, 0.5, 0.1三种情况。三种情况。41111846.0598440 /HmImmt m，21212118HHmIsImsm，4212.6 10 MPaEEE解：前解：前5 5个自振频率在下表中给出，个自振频率在下表中给出，相应的振型如图所示。相应的振型如图所示。14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法 is1.00.50.11234514.84493.028260.482510.443843.78616.85694.856259.862510.264843.83719.21897.537258.939510.003843.906例例14-6的自

34、振频率的自振频率14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法计算结果表明：计算结果表明： （1 1）当上下段的质量比和刚度比变小（即当上下段的质量比和刚度比变小（即s s变小）时，变小）时，基本频率变大；但高阶频率不一定如此。基本频率变大；但高阶频率不一定如此。 （2 2）在三种情况中，在三种情况中，s s=0.1=0.1时的振型在顶部位移很大时的振型在顶部位移很大（注意上下部的位移比），通常这种现象称为鞭梢效应；当（注意上下部的位移比），通常这种现象称为鞭梢效应；当s s更小

35、时，鞭梢效应将更严重。更小时，鞭梢效应将更严重。 一个无阻尼的弹性体系自由振动时，在任一时刻一个无阻尼的弹性体系自由振动时，在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）保持不变。的总能量（应变能与动能之和）保持不变。14-6 近似法求自振频率1 1 能量法求第一频率能量法求第一频率瑞利（瑞利（RayleighRayleigh）法）法理论基础：能量守恒原理理论基础：能量守恒原理 例例 具有分布质量的等截面梁，自由振动时，位移具有分布质量的等截面梁，自由振动时，位移可表示为可表示为 siny x tY xt，梁的弯曲应变能为梁的弯曲应变能为 22220011dsind22llyVEIxtEI Yxxx1

36、4-6 近似法求自振频率 2cosxy x tY xt ，位移表示式对时间微分，得速度表达式为位移表示式对时间微分，得速度表达式为最大值为最大值为 2max01d2lVEI Yxx 22220011dcosd22llyTmxtm Y xxt 22max01d2lTm Y xx最大值为最大值为梁的动能为梁的动能为14-6 近似法求自振频率maxmaxTVsin()0t位移和应变能为零，体系的总能量为位移和应变能为零，体系的总能量为Tmaxcos()0t速度和动能为零，体系的总能量为速度和动能为零，体系的总能量为Vmax由能量守恒原理，可得由能量守恒原理，可得由此得到计算频率的公式由此得到计算频率

37、的公式 22max02200d1dd2lllEI YxxVm Y xxm Y xx14-6 近似法求自振频率若梁上还有集中质量若梁上还有集中质量mi，计算公式为，计算公式为 220220ddlliiiEI Yxxm Y xxmY 如果如果Y（x）是第）是第i振型，则得到的就是第振型，则得到的就是第i频率的精确解频率的精确解取某个静荷载下的位移曲线作为取某个静荷载下的位移曲线作为Y（x）。）。这时，应变能可用荷载作的功来代替，即这时，应变能可用荷载作的功来代替，即 01d2lVq x Y xx14-6 近似法求自振频率频率计算公式为：频率计算公式为： 20220ddlliiiq x Y xxm

38、Y xxmY取结构自重的变形曲线作为取结构自重的变形曲线作为Y（x）。）。 02220ddliiiliiimgY xxm gYmYxxmY14-6 近似法求自振频率例例 14-7 试求等截面简支梁的第一频率试求等截面简支梁的第一频率解解 （1）将抛物线作为）将抛物线作为Y（x）。）。 24aY xx lxl222222max40164d215lmaTxlxxma ll22max4306432d2lEIaEIaVxll 28aYxl 24212010.95EIEImllm，14-6 近似法求自振频率（2）将均布荷载作用下的位移曲线作为）将均布荷载作用下的位移曲线作为Y（x）。）。 334224q

39、Y xl xlxxEI 2 5202290d12031d24630llq lqY xxEIqmYxxmlEI29.87EIlm14-6 近似法求自振频率（3）将正弦曲线作为）将正弦曲线作为Y（x）。）。 sinxY xal244224230222420sind2sind2llxEIaEIaxEIlllma lmlxmaxl2229.8696EIEIlmlm14-6 近似法求自振频率（4）讨论。）讨论。 正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线求得的结果

40、具有很高的精度。求得的结果具有很高的精度。14-6 近似法求自振频率例例 14-8 试求图试求图14-15所示楔形悬臂梁的自振频率。设梁所示楔形悬臂梁的自振频率。设梁的截面宽度的截面宽度b=1，截面高度为直线变化：，截面高度为直线变化： 0 h xh xl解解30112h xIl单位长度质量单位长度质量0h xml截面惯性矩截面惯性矩14-6 近似法求自振频率设位移形状函数为设位移形状函数为 21xY xal代入频率计算公式，得代入频率计算公式，得3202320240512230Eh aEhlh lal00221.58152hhEEll021.534hEl精确解为精确解为误差为误差为3%14-

41、6 近似法求自振频率理论基础：哈密顿（理论基础：哈密顿（W.R.Hamilton)原理原理在所有可能的运动状态中在所有可能的运动状态中,精确解使精确解使20VT驻值得哈密顿泛函得哈密顿泛函 222p1dd22EEIYxxmYxx驻值Y(x)是满足边界条件的任意可能位移函数是满足边界条件的任意可能位移函数2.能量法求最初几个频率瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法14-6 近似法求自振频率瑞利瑞利-里兹（里兹（Rayleigh-Ritz）法的具体步骤）法的具体步骤:(1)将体系的自由度折减为将体系的自由度折减为n个自由度个自由度,位移函数表示为位移函数表示为 1niiiY xax ix:n

42、个可能的位移函数个可能的位移函数;a:待定系数。待定系数。（2）将位移函数代入哈密顿泛函，得）将位移函数代入哈密顿泛函，得222p111dd22nniiiiiiEEIaxmax令令ddijijijijkEIxmmx ，14-6 近似法求自振频率得得2p1112nnijijijijEkma ap01 2iEina， ，应用驻值条件应用驻值条件得得2101 2nijijjjkm ain， ，写成矩阵形式写成矩阵形式 20km a 令系数行列式为零，即令系数行列式为零，即20km 可求得最初几个自振频率的近似值。可求得最初几个自振频率的近似值。14-6 近似法求自振频率 例例 14-9 试求等截面悬

43、臂梁的最初几个频率。试求等截面悬臂梁的最初几个频率。设可能位移为设可能位移为231121kkkYaaaxl解解其中其中（1）第一次近似）第一次近似2111Yaa得得111134,5EImlkml驻值条件为驻值条件为213405EImlal令令23405EImll得得1214.472EIlm14-6 近似法求自振频率（2）第二次近似解）第二次近似解1122Yaa3114656,6121167EImllkm得得242424244656061267mlmlEIEImlmlEIEI令令则，第一、二频率的近似值则，第一、二频率的近似值1213.533EIlm(误差为误差为0.48%）22134.81EI

44、lm(误差为误差为58%）这里第一频率的精度已这里第一频率的精度已大为提高。大为提高。14-6 近似法求自振频率 例例 14-10 试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。解解3 集中质量法14-6 近似法求自振频率129.800.7%EIml12229.8638.20.1%3.2%EIEIlmlm，1222329.86539.20.05%0.7% ,84.64.8%EIEIlmlmEIlm，1232229.8739.4888.83EIEIEIlmlmlm，14-6 近似法求自振频率 例例 14-11 试求框架的最低频率。试求框架的最低频率。解解3392

45、EIkl32391242.21kEImlmlEIlm读者可自行验证，对称振读者可自行验证，对称振型的频率大于反对称振型型的频率大于反对称振型的频率的频率14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率1 单元的泛函将刚架分成有限个单元，任一单元的哈将刚架分成有限个单元，任一单元的哈密顿泛函为密顿泛函为 222p122eEEIYx dxmYx dxppeEE刚架的泛函刚架的泛函根据刚架泛函为驻值的条件，求根据刚架泛函为驻值的条件，求的非零解，得到刚架频率的非零解，得到刚架频率可用单元的结点位移可用单元的结点位移表示表示单元的结点位移幅值为单元的结点位移幅值为T1122evv14-7 矩阵位移法求刚架的自振频

46、率 23122233241 3212321xxxllxxxxllxxxllxxxll 杆件的位移幅值函数可表示为杆件的位移幅值函数可表示为 T1234xxxxx N TeY xx N形状函数列阵形状函数列阵14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率T2p12eeeeeEkmT0dleEIx kN N其中其中T0dlemxmNN单元的刚度矩阵单元的刚度矩阵单元的质量矩阵单元的质量矩阵22322636332326363332ellllllEIlllllllk2222156225413224133541315622420133224ellllllmlllllllm0dlijijmmx0dlijijkEIx

47、 14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率对单元泛函叠加，得对单元泛函叠加，得T2PP12eeeeeeeEEkmT2P12EKM 将将EP改用刚架的结点位移幅值改用刚架的结点位移幅值来表示。来表示。2 刚架的泛函14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率20KM 20KM应用驻值条件，得应用驻值条件，得频率方程为频率方程为3 驻值条件和频率方程14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率1111312156420EIkmmll，频率方程为频率方程为23121560420EImll12122.736EILm12122.373EILm精确解为精确解为误差为误差为1.6% 例例14-12 试求梁的自振频率。试求梁的自

48、振频率。解解 （1）对称振型）对称振型取半边结构作为一个单元，取半边结构作为一个单元，只有一个待定的结点位移。只有一个待定的结点位移。14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率将半边结构分为两个单元将半边结构分为两个单元待定的结点位移幅值为待定的结点位移幅值为 T223 驻值条件为驻值条件为22222331206312054020430813042063654131560EImllllllll 14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率令系数行列式为零，求得三个频率及其误差如下：令系数行列式为零，求得三个频率及其误差如下：123252122.40(0.135%)1123.48(2%)1396.38(29%

49、)EILmEILmEILm14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率（2）反对称振型）反对称振型取半边结构，分成两个单元，得另外三个频率取半边结构，分成两个单元，得另外三个频率224262162.24(0.9%)1233.62(17%)1622.50(49%)EILmEILmEILm14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率例例 14-13 试用矩阵位移法从做例试用矩阵位移法从做例14-11解解T123 总刚度矩阵及总质量矩阵总刚度矩阵及总质量矩阵222232222123378611112362112618210326111826llllEImllllllllllllllM 待定的结点位移幅值为待定的结点

50、位移幅值为14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率驻值条件为驻值条件为2222324440210EImllll 对称振动时，得对称振动时，得20KM 求得求得12126-393-30-3 118-80ll （）（）（）（）216.179EIlm反对称振动时，得反对称振动时，得其中其中42420mlEI14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率6-393-3+11-3+118-8ll（）（）（） （）频率方程为频率方程为求得求得12222.3036.179EIEIlmlm，按从大到小的顺序重新排列按从大到小的顺序重新排列1232222.3036.17920.71EIEIEIlmlmlm，14-8 用求解器