天津理工大学大学物理机械振动ppt课件.ppt

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1、1康志康志康志泰泰泰印印印2 物体或物体的一物体或物体的一部分，在平衡位置附部分，在平衡位置附近来回地作周期性运近来回地作周期性运动，叫做机械振动，动，叫做机械振动，简称振动。简称振动。振动现象是多种多样的，它在自然界中是广泛存在的。振动现象是多种多样的，它在自然界中是广泛存在的。机械振动机械振动摆的运动、心脏的跳动、气缸中活塞的运动等摆的运动、心脏的跳动、气缸中活塞的运动等简谐振动简谐振动最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动3用激光时间平均法得到的用激光时间平均法得到的小提琴全息振动模式图小提琴全息振动模式图

2、4纸锥扬声器的振动模式纸锥扬声器的振动模式5mmm平衡位置平衡位置 设物体在位置零设物体在位置零处时，没被拉长也未处时，没被拉长也未被压缩，这时物体在被压缩，这时物体在水平方向上不受力的水平方向上不受力的作用，此位置就叫做作用，此位置就叫做平衡位置平衡位置。ff弹簧振子弹簧振子一轻弹簧一端固定，另一端系一物体，放在光一轻弹簧一端固定，另一端系一物体，放在光滑的水平桌面上。将物体稍微移动后，物体就滑的水平桌面上。将物体稍微移动后，物体就在弹性力的作用下来回自由振动。在弹性力的作用下来回自由振动。平衡位置平衡位置一一 弹簧振子的谐振动弹簧振子的谐振动6 以此为坐标原点，水平直线为以此为坐标原点，水

3、平直线为x轴，并设向右为正。当物轴，并设向右为正。当物体相对于平衡位置有一位移体相对于平衡位置有一位移x时，无论是在平衡位置的左方还时，无论是在平衡位置的左方还是右方，物体都将受到一个弹性力的作用，此时弹簧被伸长或是右方，物体都将受到一个弹性力的作用，此时弹簧被伸长或压缩。根据虎克定律，物体所受到的弹性力与位移成正比，且压缩。根据虎克定律，物体所受到的弹性力与位移成正比，且永远指向平衡位置，因此有永远指向平衡位置，因此有kxf 负号表示力和负号表示力和位移的方向相反，位移的方向相反，即弹性力的方向永即弹性力的方向永远指向坐标原点。远指向坐标原点。弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数7kxf位移为零，受

4、力为零位移为零，受力为零，所以，所以加加速度为零速度为零，但此时，但此时速度最大速度最大。 由于作谐振动的物由于作谐振动的物体所受到的弹性力永远体所受到的弹性力永远指向平衡位置，所以它指向平衡位置，所以它的运动总是一种不断重的运动总是一种不断重复着的周期性运动。复着的周期性运动。物体在左右两个端点物体在左右两个端点位移最大位移最大，因此所，因此所受力的数值受力的数值最大最大，加速度亦最大加速度亦最大(f=ma)。但由于物体静止，其但由于物体静止，其速度为零速度为零；物体在物体在原点处原点处8以弹簧振子为例，由于以弹簧振子为例，由于kxf即即kxmaf知知xmka令令mk2则则xdtxda222

5、或或0222xdtxd二二 谐振动的运动方程与基本特征谐振动的运动方程与基本特征90222xdtxd 对于其它形式的简谐振动，例如对于其它形式的简谐振动，例如单摆单摆，其方程形式与此，其方程形式与此相同，只不过是变量位移相同，只不过是变量位移x为其它物理量而已。为其它物理量而已。此方程的解用余弦函数来表示为此方程的解用余弦函数来表示为)cos(tAx 式中式中A和和 是两个积分常数。此式和上式一样都可称是两个积分常数。此式和上式一样都可称为为谐振动的运动方程谐振动的运动方程。弹簧振子所作谐振动的微分方程式弹簧振子所作谐振动的微分方程式10物理意义物理意义设设 =0，上式可写成，上式可写成tAx

6、cos随着时间的推移，随着时间的推移，m的位移的位移x在数值在数值A到到-A之间作往复周之间作往复周期性的变化，即振动。期性的变化，即振动。)cos(tAxA-AxtpP223225011A-AxTtpP2232250还可看出，当还可看出，当 t=0 时时 AtAxcos当当 t=2 / 时时AAAx2cos2cos（P点）点）（P点）点）这正是作谐振动的物体往复运动了一次这正是作谐振动的物体往复运动了一次振动物体离开平衡位置的最大位移振动物体离开平衡位置的最大位移振幅振幅A12A-AxTtpP2232250物体往复运动一次所需的时间物体往复运动一次所需的时间2T频率频率21T2振动的振动的圆

7、频率圆频率周期周期13谐振动的基本特征谐振动的基本特征 并不是所有的振动都是并不是所有的振动都是简谐振动简谐振动，只有满足于一定条件，只有满足于一定条件的振动才是简谐振动。的振动才是简谐振动。谐振动的微分方程谐振动的微分方程0222xdtxd它是由下式得到的它是由下式得到的kxf此方程的解此方程的解)cos(tAx 物体所受的力或物体的加速度与位移成正比而方向相反物体所受的力或物体的加速度与位移成正比而方向相反是谐振动的基本特征是谐振动的基本特征。任何一个物体的运动只要具有这个特。任何一个物体的运动只要具有这个特征即满足于上述方程，则必遵循征即满足于上述方程，则必遵循x=Acos( t+ )这

8、一运动方程这一运动方程而作简谐振动。而作简谐振动。14由三角学知由三角学知)2sin()cos(tt令令2则有则有) sin()cos(tt此时有此时有) sin(tAx此式与此式与)cos(tAx等效等效 上述两式都是微分方程的解，也就都可以作为简谐振动上述两式都是微分方程的解，也就都可以作为简谐振动的运动方程。为了初学的便利，一般采用余弦形式。的运动方程。为了初学的便利，一般采用余弦形式。0222xdtxd)cos(tAx15谐振动的速度和加速度谐振动的速度和加速度已知简谐振动的位移已知简谐振动的位移)cos(tAx则物体的运动速度则物体的运动速度)sin(tAdtdxv加速度加速度)co

9、s(222tAdtxddtdva 物体作简谐振动时，不但它的位移随时间作周期性变物体作简谐振动时，不但它的位移随时间作周期性变化，它的速度和加速度也随时间作周期性变化。化，它的速度和加速度也随时间作周期性变化。16设有一长度等于设有一长度等于A的矢量的矢量MA0三三 参考圆（旋转矢量）谐振动的位相参考圆（旋转矢量）谐振动的位相 在图示平面内绕原点以角在图示平面内绕原点以角速度速度 逆时针旋转（逆时针旋转（ 与圆频率与圆频率等值）。矢径端点等值）。矢径端点M在空间的在空间的轨迹是一圆。轨迹是一圆。M在在0 x轴上的投轴上的投影影P点就在点就在0 x轴上作往复运动。轴上作往复运动。M点点t=0时刻

10、在位置时刻在位置M0矢径矢径A与与 0 x 轴的夹角是轴的夹角是 pM0MxyAx17 在以后任一时刻在以后任一时刻t，M点的位置矢径与点的位置矢径与0 x轴的夹角为（轴的夹角为（ t+ ）。）。考察考察M点在点在0 x轴上的投轴上的投影点影点P的运动，易看出在任一时刻的运动，易看出在任一时刻t，A在在0 x轴轴上的投影是：上的投影是：)cos(tAxpM0MxytAx18)cos(tAx 此结果正说明此结果正说明P点点在在0 x轴上作谐振动。反轴上作谐振动。反过来说，任何一个谐振过来说，任何一个谐振动都可以想象为某一相动都可以想象为某一相应参考圆上应参考圆上M点的投影，点的投影，M点就叫点就

11、叫参考点参考点。谐振动的运动方程谐振动的运动方程19)cos(tAx数值上等于它所对应的参考圆的半径数值上等于它所对应的参考圆的半径 当然振动中并不存在当然振动中并不存在角速度问题，但联系参考角速度问题，但联系参考圆来理解圆来理解 是很方便的。是很方便的。振幅矢量振幅矢量A谐振动的谐振动的周期周期M点绕圆周运动一周所需的时间（即点绕圆周运动一周所需的时间（即P点点往复运动一次所需的时间）往复运动一次所需的时间）圆频率圆频率 M点的角速度点的角速度pM0MxytAx20现在已知现在已知运动方程运动方程)cos(tAx速度速度)sin(tAv加速度加速度)cos(2tAa 都包含有（都包含有（ t

12、+ ）项，括号中的整体具有角度量纲（弧度）项，括号中的整体具有角度量纲（弧度）称为称为相位相位或或周相周相。在振动过程中，相位（。在振动过程中，相位（ t+ ）随时间变化，）随时间变化，当相位变化当相位变化2 时，作振动的质点就完成一次全振动。当振幅时，作振动的质点就完成一次全振动。当振幅A为已知时，任一时刻的相位可完全决定这一时刻的位置和速度。为已知时，任一时刻的相位可完全决定这一时刻的位置和速度。初相初相 t = 0时的相位时的相位它决定开始计时时的位置和速度它决定开始计时时的位置和速度21pM0MxytAx相位与初相位相位与初相位22 当位移为零时，加速度也为零，但速度的数值最大；而当位

13、移为零时，加速度也为零，但速度的数值最大；而当加速度的数值最大时，位移的数值也最大，但加速度与位当加速度的数值最大时，位移的数值也最大，但加速度与位移的方向相反，此时速度等于零。移的方向相反，此时速度等于零。Ttx、 、ax a 2A AAo-A- A- 2A谐振动的谐振动的x、v、a与与t 的关系图的关系图三者的周期相同，但在同一时刻三者的相位不同。三者的周期相同，但在同一时刻三者的相位不同。23前面曾令前面曾令mk2周期周期kmT22频率频率mkT211T与与 称为固有周期和固有频率。称为固有周期和固有频率。 其它振动系统例如单摆，振动周期与频率也是由振动系其它振动系统例如单摆，振动周期与

14、频率也是由振动系统本身力学性质决定，与振幅及初相无关。统本身力学性质决定，与振幅及初相无关。 振子的周期（频振子的周期（频率）是由振动系率）是由振动系统本身力学性质统本身力学性质决定，而与振幅决定，而与振幅及初相位无关。及初相位无关。四四 弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定xA024振幅及初相的确定振幅及初相的确定已知已知)cos(tAx)sin(tAvA和和 可由振动初始条件来确定可由振动初始条件来确定cos0Ax 将两式平方，有将两式平方，有222202220sincosAvAx相加得到相加得到220202vxAsin0Av若若 t = 0，x = x0，

15、v = v0，则，则25将两式平方，有将两式平方，有222202220sincosAvAx相加得到相加得到220202vxA即即22020vxA及及00 xvtg 上述结果表明，如果已知初位移上述结果表明，如果已知初位移x0和初速度和初速度v0，就能由上，就能由上式求出谐振动的振幅和初位相。式求出谐振动的振幅和初位相。26 起始时，小球在振动正方向的端点，起始时，小球在振动正方向的端点，即即t=0时，时，x=A，则，则 cos =1 =0。小球从小球从正的最大位移开始运动时，初相正的最大位移开始运动时，初相 =0，运，运动方程的形式为动方程的形式为tAxcos 利用旋转矢量法，据起始条利用旋转

16、矢量法，据起始条件可立即看出矢径件可立即看出矢径A在在0A位置，位置，即矢径与即矢径与X轴之间的夹角为零，轴之间的夹角为零，所以初位相为零。所以初位相为零。初相位也可用参考圆法确定初相位也可用参考圆法确定假定弹簧下挂一小球作谐振动，其方程为假定弹簧下挂一小球作谐振动，其方程为)cos(tAxxA00A =027用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 28起始时，小球在振动负方向的端点起始时，小球在振动负方向的端点当当 t = 0时，时，x = A，此时，此时 v = 0 cosAA1cos)cos(tAx)cos(tAx0Ax0 x=-A29起始时在平衡位置向负方向运动起始

17、时在平衡位置向负方向运动当当 t = 0时，时，x = 0，此时，此时 sinAv0cos2小球沿小球沿x轴负方向运动，所以轴负方向运动，所以 v 0，则，则0sin取取2或或23)2cos(tAx)cos(tAx)sin(tAvx0v0 x23A32起始时过起始时过x=A/2向向x正方向运动正方向运动当当 t = 0时，时，x = A/2，此时，此时 cos2AA21cos3sinAv小球沿小球沿x轴正方向运动，所以轴正方向运动，所以 v 0，则，则0sin取取3或或35)3cos(tAx方程方程)cos(tAx)sin(tAvx0vA/20 xA3A/233振动曲线振动曲线 起始时小球在振

18、动正方向的端点起始时小球在振动正方向的端点0tx0AA/20A=034tx0AA/2 起始时小球在振动正方向的端点起始时小球在振动正方向的端点0起始时小球在振动负方向的端点起始时小球在振动负方向的端点振动曲线振动曲线0 x=A35tx0AA/2 起始时小球在振动正方向的端点起始时小球在振动正方向的端点0起始时小球在振动负方向的端点起始时小球在振动负方向的端点起始时在平衡位置向负方向运动起始时在平衡位置向负方向运动2振动曲线振动曲线0 x236tx0AA/2 起始时小球在振动正方向的端点起始时小球在振动正方向的端点0起始时小球在振动负方向的端点起始时小球在振动负方向的端点起始时在平衡位置向负方向

19、运动起始时在平衡位置向负方向运动2起始时在平衡位置向正方向运动起始时在平衡位置向正方向运动2振动曲线振动曲线0 x23A37tx0AA/2 起始时小球在振动正方向的端点起始时小球在振动正方向的端点0起始时小球在振动负方向的端点起始时小球在振动负方向的端点起始时在平衡位置向负方向运动起始时在平衡位置向负方向运动2起始时在平衡位置向正方向运动起始时在平衡位置向正方向运动2起始时过起始时过x=A/2向向x正方向运动（正方向运动（红虚线红虚线）3振动曲线振动曲线0 xA3A/238tx0AA/2 起始时小球在振动正方向的端点起始时小球在振动正方向的端点0起始时小球在振动负方向的端点起始时小球在振动负方

20、向的端点起始时在平衡位置向负方向运动起始时在平衡位置向负方向运动2起始时在平衡位置向正方向运动起始时在平衡位置向正方向运动2起始时过起始时过x=A/2向向x正方向运动（正方向运动（红虚线红虚线）3(6)起始时过起始时过x=A/2向向x负方向运动（黑虚线）负方向运动（黑虚线）3振动曲线振动曲线39kxfk为弹簧的倔强系数，负号表为弹簧的倔强系数，负号表示力和位移的方向相反，即弹示力和位移的方向相反，即弹性力的方向永远指向原点。性力的方向永远指向原点。 物体在左右两个端点位移物体在左右两个端点位移最大，因此所受力的数值最大，最大，因此所受力的数值最大，加速度亦最大。但由于物体静加速度亦最大。但由于

21、物体静止，其速度为零；但在其原点止，其速度为零；但在其原点处，位移为零，受力为零，所处，位移为零，受力为零，所以加速度为零，但此时速度最以加速度为零，但此时速度最大。大。虎克定律虎克定律mmm平衡位置平衡位置ff40makxf运动方程运动方程0222xdtxd)cos(tAxmmm平衡位置平衡位置ffmk241设=0tAxcos图像如下图像如下A-AxTtpP2232250此图像表明，随着时间的推移，此图像表明，随着时间的推移，m的位移的位移x在数值在数值A到到-A之间作往复周期性的变化，即振动。之间作往复周期性的变化，即振动。)cos(tAxA振幅：振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移振动物

22、体离开平衡位置的最大位移周期：作谐振动的物体往复运动一次所需的时间周期：作谐振动的物体往复运动一次所需的时间T2T42A-AxTtpP2232250)cos(tAx21T2T频率频率圆频率圆频率243谐振动的速度和加速度谐振动的速度和加速度已知简谐振动的位移已知简谐振动的位移)cos(tAx则物体的运动速度则物体的运动速度)sin(tAdtdxv加速度加速度)cos(222tAdtxddtdvaTtx、 、ax a 2A AAo-A- A- 2A44)cos(tAxpM0MxytAx在任一时刻在任一时刻t，A在在0 x轴上的投影是轴上的投影是参考圆（旋转矢量）谐振动的位相参考圆（旋转矢量）谐振

23、动的位相谐振动的运动方程谐振动的运动方程4522020vxA00 xvtg 上述结果表明，如果已知初位移上述结果表明，如果已知初位移x0和初速度和初速度v0，就能由上，就能由上式求出谐振动的振幅和初位相。式求出谐振动的振幅和初位相。弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定弹簧振子的周期、振幅及初位相的确定mk2则弹簧振子的周期则弹簧振子的周期kmT22频率频率mkT211初位相也可以用参考圆法来确定初位相也可以用参考圆法来确定462.如图所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后如图所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相应松手任其振

24、动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相应为为)(2)(2)(0)(DCBAmF0 D0 x=A起始时物体在起始时物体在X轴负方向的端点轴负方向的端点475 一个质点作简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一一个质点作简谐振动，已知质点由平衡位置运动到二分之一最大位移处所需要的最短时间为最大位移处所需要的最短时间为t0，则该质点的振动周期，则该质点的振动周期T应为应为（A） 4t0 （B）12t0 （C）6t0 （D） 8t0 A/2x)22cos(tTAx平衡位置开始，平衡位置开始， = - /2，)22cos(2tTAA二分之一最大位移处二分之一最大位移处322tT0v取取36322t

25、T012tT B方程为方程为487.一简谐振动的旋转矢量图如图所示，设图中圆的半径为一简谐振动的旋转矢量图如图所示，设图中圆的半径为R，则该简谐振动的振动方程为则该简谐振动的振动方程为)42cos()()4cos()()4sin()()4cos()(tRxDtRxCtRxBtRxA0 x t /4 t=tt=04)4cos(tRx A498.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为米，时已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为)(322411cos(10)()(32247cos(10)()(67247co

26、s(10)()(322411cos(10)(SItxDSItxCSItxBSItxAx(m)t(s)01054 C-A/2-2 /3x)32cos(100t232432t67232424732503.已知简谐振动已知简谐振动x=Acos( t+ 0)的周期为的周期为T，在，在t=T/2时质点的时质点的速度为速度为_;加速度为加速度为_。)cos(0tAx0000sin)sin()22sin()sin(AATTAtAv0202cos)cos(AtAa515.一简谐振动的振动曲线如图所示，则由图可得其振幅为一简谐振动的振动曲线如图所示，则由图可得其振幅为_，其初相位，其初相位_，其周期为，其周期为

27、_，其振，其振动方程为动方程为_.x(cm)t(s)0510102cmA10-A/22 /3320, 0,2vxst)322cos(0 A2322)32125cos(1 . 0txv0，取，取 = - /2或或 =3 /223322125sT8 . 4524252221mvEk221kxEp由于由于)cos(tAx)(cos222tAx)sin(tAv)(sin2222tAv)(sin22tAmk)(2mk五五 简谐振动的能量简谐振动的能量 以弹簧振子为例，当物体处于位移为以弹簧振子为例，当物体处于位移为x的某点时，其速度的某点时，其速度为为v，具有，具有动能动能弹性势能弹性势能m0 xx53

28、弹簧振子作简谐振动时的总机械能为弹簧振子作简谐振动时的总机械能为222121kxmvEEEpk 振动过程中，振幅振动过程中，振幅A是一恒量，所以谐振动的机械能为是一恒量，所以谐振动的机械能为一恒量，即机械能守恒。一恒量，即机械能守恒。)(cos222tAx)(sin222tAmkv)(cos21)(sin212222tkAtAmkm221kA540EEkEpt221kA221kAE 能量变化与时间的关系曲线能量变化与时间的关系曲线 尽管作谐振动的物体的动能和势能分别尽管作谐振动的物体的动能和势能分别随时间作周期性变化，但谐振动的总能量保随时间作周期性变化，但谐振动的总能量保持恒定不随时间变化。

29、在运动过程中，动能持恒定不随时间变化。在运动过程中，动能和势能相互转化，而总和保持不变，即符合和势能相互转化，而总和保持不变，即符合机械能守恒与转化定律。机械能守恒与转化定律。 对于作谐振动的一对于作谐振动的一定的振动系统，振动的定的振动系统，振动的总能量与振幅的平方成总能量与振幅的平方成正比，这个规律具有普正比，这个规律具有普遍意义。对其它形式的遍意义。对其它形式的振动及波动也适用。振动及波动也适用。55 考虑两简谐振动，其频率相同，但相位不同。其振动考虑两简谐振动，其频率相同，但相位不同。其振动方程为方程为)cos(111tAx)cos(222tAx 显然在同一时刻显然在同一时刻t，它们的

30、相位不同，因此它们在同一时刻，它们的相位不同，因此它们在同一时刻的运动状态亦不同，即一个比一个超前或落后一些。这种差异的运动状态亦不同，即一个比一个超前或落后一些。这种差异就可以用它们之间的相位差来描述。就可以用它们之间的相位差来描述。1212)()(tt即在同频率的条件下，它们的相位差等于它们的初相差。即在同频率的条件下，它们的相位差等于它们的初相差。七相位差七相位差560PQN(2)M(1) 1 2x 假定两振动的振幅相同，我们用假定两振动的振幅相同，我们用OM和和ON分别代表这分别代表这两个振动的旋转矢量，它们的长度相等，初角位置分别是两个振动的旋转矢量，它们的长度相等，初角位置分别是

31、1和和 2 ，并设，并设 2 1 。 由于频率相同即旋转角由于频率相同即旋转角速度相同，所以速度相同，所以ON矢量的运矢量的运动始终比动始终比OM矢量的运动超矢量的运动超前一个角度前一个角度 2 1 ，相应地，相应地端点端点N在在x轴上的投影点轴上的投影点Q及及端点端点M在在x轴上的投影点轴上的投影点P，在同一直线上作简谐振动，在同一直线上作简谐振动，它们的振幅和频率相同，但它们的振幅和频率相同，但在步调上有先后之分。在步调上有先后之分。利用参考圆法可进一步理解相位差利用参考圆法可进一步理解相位差57 用两相位来加以比较知，用两相位来加以比较知，Q点比点比P点的点的振动超前一恒定的相位差振动超

32、前一恒定的相位差 2 1 ，在振动，在振动的步调上的步调上Q点要比点要比P点超前一段时间点超前一段时间12tt2sinA1sinAA-A1(P)2(Q)xt 此两振动的位移与时间关系曲线如下图。如果把红线向左此两振动的位移与时间关系曲线如下图。如果把红线向左方沿方沿 t 轴移动轴移动 t，两曲线重迭。这表明振动，两曲线重迭。这表明振动2（Q点）取某一点）取某一x值值的时刻比振动的时刻比振动1（P点）取同一点）取同一x值的时刻提前值的时刻提前 t，也就是，也就是Q点的点的振动在时间上比振动在时间上比P点超前点超前 t，在相位上就是超前，在相位上就是超前 t = 2 1（当然也可以说振动（当然也可

33、以说振动1比振动比振动2落后相位）。落后相位）。5811222xxxxttM(1)M(1)N(2)N(2)两振动相位相差半周期，两振动相位相差半周期，反向反向。21212相位差相位差 2 1可正可负，相应地常说振动可正可负，相应地常说振动2比振动比振动1超前或落后。超前或落后。 2= 1两个振动两个振动同相同相 2 1= 59 实际问题中，常遇到一质点同时参与两个或几个振动的实际问题中，常遇到一质点同时参与两个或几个振动的情况，例如两列声波传到某处，该处的空气质点就同时参与情况，例如两列声波传到某处，该处的空气质点就同时参与这两个振动，这就需要讨论振动的合成问题。这两个振动，这就需要讨论振动的

34、合成问题。 设有物体同时参与两个频率相等，沿着同一方向例如设有物体同时参与两个频率相等，沿着同一方向例如X轴轴的谐振动，它们的振动方程分别是的谐振动，它们的振动方程分别是)cos(111tAx)cos(222tAx下面求合振动的方程下面求合振动的方程八八 两同方向同频率简谐振动的合成两同方向同频率简谐振动的合成60 xx2x1p1pp1AA2A1210 用参考圆法。振幅矢量用参考圆法。振幅矢量A1和和A2以同样的角速度以同样的角速度 绕原点绕原点0转转动，在动，在x轴上的投影轴上的投影x1和和x2分别是分别是P1和和P2点沿点沿x轴作谐振动的位移。轴作谐振动的位移。因角速度相同，因角速度相同，

35、A1和和A2在转动过程中始终保持一定的夹角在转动过程中始终保持一定的夹角 2 1 ，且它们的矢量和，且它们的矢量和A始终保持一定的大小，又以同样的角速始终保持一定的大小，又以同样的角速度度 绕原点转动。这表明合成矢量绕原点转动。这表明合成矢量A的端点在的端点在x轴上的投影点轴上的投影点P也也沿沿x轴作谐振动，轴作谐振动，A的投影的投影x就是就是P点作谐振动的位移，即点作谐振动的位移，即21xxx可知，两同方向同频率谐振可知，两同方向同频率谐振动的合成运动也是一谐振动，动的合成运动也是一谐振动，其振动方程为其振动方程为)cos(tAx6122112211coscossinsinAAAAarctg

36、xx2x1p1pp1AA2A1210)cos(212212221AAAAA 如果用三角函数的如果用三角函数的方法进行运算同样可以方法进行运算同样可以得到上述结果。得到上述结果。式中的初相式中的初相 及合成振幅及合成振幅A可从图上直接得出可从图上直接得出621 1、应用解析法、应用解析法tAAtAAtAtAxxx sinsinsin coscoscos cos cos2211221122112122112211coscoscossinsinsinAAAAAA令令tAtAtAx cos sinsin coscos)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAA

37、arctg630AA2A1xt 从上式中可以看出，合振幅从上式中可以看出，合振幅A除了与分振幅除了与分振幅A1、A2有关外，有关外，还决定于两个振动的位相差。讨论两种特殊情况。还决定于两个振动的位相差。讨论两种特殊情况。2 . 1 . 0212kk即两分振动的位相差为即两分振动的位相差为2 的整数的整数倍。这种情况叫倍。这种情况叫同位相同位相，此时，此时12coscosk212122212AAAAAAA 上式表明，此时合振上式表明，此时合振幅为最大，两个分振动的幅为最大，两个分振动的合成效果使振动加强。合成效果使振动加强。)cos(212212221AAAAA64too212k)cos()(2

38、1tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，kxx652 . 1 . 0) 12(12kk0AA2A1xt即两分振动的位相差等于即两分振动的位相差等于 的奇的奇数倍时，位相相反。数倍时，位相相反。1cos|221212221AAAAAAA 这表明此种情这表明此种情况下合振幅最小，况下合振幅最小，两分振动的合成效两分振动的合成效果使振动减弱。果使振动减弱。)cos(212212221AAAAA66xto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，k21AAA)12(12kox67AA2A1xt 特别地，若特别地

39、，若 A1 = A2，则，则 A = 0，即物体处于静止状，即物体处于静止状态。态。 一般地，若一般地，若= 2 1为上述两种特殊情况外的任为上述两种特殊情况外的任意值时，合振幅意值时，合振幅A在在A1+A2和和|A1A2|之间。之间。682 . 1 . 0212kk21AAA2 . 1 . 0) 12(12kk|21AAA合振幅最大，两分振动的合成效果使振动加强。合振幅最大，两分振动的合成效果使振动加强。合振幅最小，两分振动的合成效果使振动减弱。合振幅最小，两分振动的合成效果使振动减弱。请记住上述结果请记住上述结果位相相同位相相同位相相反位相相反69例例 一质点作简谐振动，周期为一质点作简谐

40、振动，周期为T。当它由平衡位置向。当它由平衡位置向X轴正方轴正方向运动时，由二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需向运动时，由二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为要的时间为（A） T/12 （B）T/8 （C）T/6 （D） T/4 )22cos(tTAx)22cos(21tTAA由平衡位置开始向由平衡位置开始向x轴正方向运动时，轴正方向运动时， = /2，方程为方程为二分之一最大位移处二分之一最大位移处3221tT0v取取363221tT121Tt C270最大位移最大位移)22cos(2tTAA1)22cos(2tT0222tT2122tT42Tt 612412TTTt

41、tt121Tt 717.一简谐振动的旋转矢量图如图所示，设图中圆的半径为一简谐振动的旋转矢量图如图所示，设图中圆的半径为R，则该简谐振动的振动方程为则该简谐振动的振动方程为)42cos()()4cos()()4sin()()4cos()(tRxDtRxCtRxBtRxA0 x t /4 t=tt=04)4cos(tRx A728.已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为米，时已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为米，时间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为间单位为秒，则此简谐振动的振动方程为)(322411cos(10)()(32247cos(10)()(67247cos(10)(

42、)(322411cos(10)(SItxDSItxCSItxBSItxAx(m)t(s)01054 C-A/2-2 /3x)32cos(100t232432t672324247327311.两同方向同频率的简谐振动的振动方程为两同方向同频率的简谐振动的振动方程为)(25cos(2),)(25cos(621SItxSItx则它们的合振动的振动方程应为则它们的合振动的振动方程应为)(25cos(4)()(210cos(4)()(5cos(8)()(5cos(4)(SItxDSItxCSItxBSItxA /2- /2合振幅：合振幅：6-2=4合振动的初相：合振动的初相： /2合振动方程：合振动方程

43、：)(25cos(4SItx D749.已知弹簧振子的弹簧的劲度系数为已知弹簧振子的弹簧的劲度系数为K，其振动振幅为，其振动振幅为A，则，则当振子移动到正的当振子移动到正的1/2最大位移处时的动能为最大位移处时的动能为_。势能：势能：22281)2(2121kAAkkxEp动能：动能：222838121kAkAkAEEEpk7510.已知一物体同时参与两个同方向同频率的简谐振动，这两已知一物体同时参与两个同方向同频率的简谐振动，这两个简谐振动的振动曲线如图所示，其中个简谐振动的振动曲线如图所示，其中A1A2，则该物体振动，则该物体振动的初相位的初相位_。t0 xA2A1两振动周期相同两振动周期相同 A2xA1