第三章一维定问题ppt课件.ppt

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1、第三章第三章 一维定态问题一维定态问题1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱2 2 线性谐振子线性谐振子3 3 一维势散射问题一维势散射问题123n在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题一维一维定态问题。其好处有四：定态问题。其好处有四：n（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理；n（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理；n（3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行）处理一维问题，数学简单，从

2、而能对结果进行细致讨论，量子细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；维问题中展现出来；n（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱n（一）一维运动（一）一维运动n（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱n（三）宇称（三）宇称n（四）讨论（四）讨论返回返回（一）（一） 一维运动一维运动所谓一维运所谓一维运动就是指在动就是指在某一方向上某一方向上的运动。的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z) = VV(x,y

3、,z) = V1 1(x) + V(x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z)(z)形式，则形式，则 S-S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger 方程为：方程为：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH )()()(2)

4、()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx ),(),(),(222zyxEzyxzyxV ),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 设设：)()()(),zZyYxXzyx （等等式式两两边边除除以以

5、)()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE )()()(),(zZyYxXzyx 令令：返回返回（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱n求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： n（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程n（2 2）解方程）解方程n（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解n（4 4）定归一化系数）定归一化系数 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方

6、程可简化为：简化为： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域，用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示，其上的波函数分别为其上的波函数分别为I I(x),(x),IIII(x) (x) 和和IIIIII (x) (x)。则方程为：则方程为： 2

7、 2 xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd （3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件xIeC 1 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是(-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 则则解解为为：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a 0 aV(

8、x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立；2 2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。使用标准条件使用标准条件 3 3。连续：。连续： 2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续：在边界在边界 x = -ax = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若若I I(-a) = (-a) = IIII(-a)(-a)， 则有，则有，0 = A cos(-a + )0 = A cos(-a + )与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-a + )= 0

9、A sin(-a + )= 0 矛盾，矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。, 0)sin()()( aAaaIII1 1）波函数连续：）波函数连续： .0),sin(,0IIIIIIxA . 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII 0)sin(0)sin( aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina 0sin0cosa

10、 两种情况：两种情况：1cos00sin. 则则I由（由（4 4）式）式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE 22222222222 所所以以xanAxAIIn sinsin 22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n讨论讨论 00sin00000 xAEnII ，时时：当当xakAxakAknIIk sinsin 时时：当当状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即),2,1( n于是：于是： ,2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或22228)2(anEn

11、 于是波于是波函数：函数： xanAxanAxAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(0211sin20cos. 则则II由（由（3 3）式）式0cos a ),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所所以以类似类似 I I 中关于中关于 n = n = m m 的讨论可知：的讨论可知：),2,1 ,0( n 0sin0cosa )3(0sin)cos( a 奇奇数数。的的偶偶数数mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 综合综合 I I 、II II 结果，最后得：结果，

12、最后得：对应对应 m = 2 nm = 2 n对应对应 m = 2n+1m = 2n+1 axxaAaxaEm|sin|02, 22222 第第一一激激发发态态： axxaAaxaEm|23cos|089, 33223 第第二二激激发发态态：能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。 axxaAaxaEm|2cos|08,11221 基基态态： -a 0 a1 -a 0 a|1|2 -a 0 a2 -a 0 a|2|2 -a 0 a3 -a 0 a|3 |2由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范由此可见

13、，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，围，在无限远处， = 0 = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos|12sin|2222 （取取实实数数）得得：aAaA11|2 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解S S方程的一般步骤如下：

14、方程的一般步骤如下：n一、列出各势域上的一、列出各势域上的S S方程；方程；n二、求解二、求解S S方程；方程；n三、利用波函数的标准条件（单值、有限、三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定连续）定未知数和能量本征值；未知数和能量本征值；n四、由归一化条件定出最后一个待定系数四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系（归一化系数）。数）。返回返回（三）宇称（三）宇称),(),(trtrrr （1 1）空间反射：空间矢量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： ),(),(trtr 称波函数具有称波函数具有正宇称（正宇称（或偶宇称或偶宇称）；)

15、,(),(trtr 称波函数具有称波函数具有负宇称（负宇称（或奇宇称或奇宇称）；),(),(trtr （3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，),(),(trtr 则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。返回返回（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深势阱中粒子势阱中粒子的状态的状态,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征值值为为：（2）n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。，态不存在，无意义。而而n = k, k=1,2,. xakAxakAxakAxakAk

16、nkn2cos2cos2sin2sin 可见，可见，n n取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1 1）n = 1, n = 1, 基态，基态，与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没有意义的。有意义的。aEn 822 （4 4）n n* *(x) = (x) = n n(x) (x) 即波函数是实函数。即波函数是实函数。 .|,2cos1;|,2sin1;|0)(),(/axoddnxeanaaxevennxeanaaxextxtiEtiEtiEnnnnn （5 5）定）

17、定 态态 波波 函函 数数 偶偶宇宇称称当当奇奇宇宇称称当当)()()()()()(oddnxxevennxxnnnn （3 3）波函数宇称）波函数宇称 , 3 , 2 , 1|)(2sin1|0/naxeaxanaaxtiEn 亦亦可可合合并并写写成成：例题1 一粒子在一维势场axaxxxU，0 00)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：txU与)(无关，是定态问题。其定态S方程)()()()(2222xExxUxdxdm在各区域的具体形式为 1 )()()()(2 0111222xExxUxdxdmx 2 )()(2 0 22222xExdxdmax 3 )()()()(2 3332

18、22xExxUxdxdmax由于(1)、(3)方程中，由于 )(xU，要等式成立，必须 0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 0)(2)(22222xmEdxxd令 222mEk，得 0)()(22222xkdxxd其解为 kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 )0()0(12 )()(32aa0 B0sinkaA), 3 , 2 , 1( 0sin0nnkakaA xanAxsin)(2 由归一化条件1)(2dxx得 1sin022axdxanAxanaxaAsin2)(22222mEk), 3 , 2 , 1

19、( 22222nnmaEn可见E是量子化的。 对应于 nE的归一化的定态波函数为 axaxaxxeanatxtEinn , , 0 0 ,sin2),(例题2例题2作作 业业n周世勋：周世勋：量子力学教程量子力学教程第二章第二章n2.3、 2.4、 2.8返回返回2 2 线性谐振子线性谐振子（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子（二）线性谐振子（二）线性谐振子（1 1）方程的建立）方程的建立（2 2）求解）求解（3 3）应用标准条件）应用标准条件（4 4）厄密多项式）厄密多项式（5 5）求归一化系数）求归一化系数（6 6）讨论）

20、讨论（三）实例（三）实例返回返回（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子2221xV dxdVF 因因为为量子力学中的线性谐振量子力学中的线性谐振子就是指在子就是指在该式所描述该式所描述的势场中运动的粒子的势场中运动的粒子。 kxxkxdtxd 其其中中0222在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒的粒子，受弹性力子，受弹性力F = - kxF = - kx作用，由牛作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：顿第二定律可以写出运动方程为：其解为其解为 x = Asin( t + )x = Asin( t + )。这种运动称为。这种运动称为简谐振动，简谐振动， 作这种运动的

21、粒子叫谐振子。作这种运动的粒子叫谐振子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即，即平衡位置处于势平衡位置处于势 V = 0 V = 0 点，则点，则kxdxV 所所以以0221Vkx 02221Vx 2 k因因：（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子n自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复

22、杂运动的初步近似，所以简谐振动的简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。n例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者相对距离是二者相对距离x x的函数，的函数，如图所示。在如图所示。在 x = a x = a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V V0 0 。在。在 x = a x = a 附近附近势可以展开成泰勒级数：势可以展开成泰勒级数： 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V00)(0 axxVVaV2220)(!21

23、axxVVax 20)(21axkV axxVk 22其其中中：取新坐标原点为取新坐标原点为(a, V(a, V0 0) )，则势可表示为标准谐振，则势可表示为标准谐振子势的形式：子势的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。来近似描述。221)(kxxV 返回返回（二）线性谐振子（二）线性谐振子（1 1）方程的建立）方程的建立（2 2）求解）求解（3 3）应用标准条件）应用标准条件（4 4）厄密多项式）厄密多项式（5 5）求归一化系数）求归一化系数（6 6）讨论）讨论（1 1）方程的建立）方程的建立0)(212

24、0)(2122222222222 xxEdxdxxEdxd 或或：则则方方程程可可改改写写为为：，其其中中令令： x22222222212212xdxdxpH 线性谐振子的线性谐振子的 HamiltonHamilton量：量：则则 Schrodinger 方程可写为方程可写为 ：为简单计，为简单计，引入无量纲变量引入无量纲变量代替代替x x， Exdd20)(222 其其中中此式是一变系数此式是一变系数二阶常微分方程二阶常微分方程（2 2）求解）求解0222 dd2/22/122 ecec 所所以以为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当近解，即当 时波函数时波函

25、数的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 1 1其中其中 H() H() 必须满足波函数的单值、有限、连续必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：的标准条件。即： 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； 当当时，时，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。0)1(2 HHH 2/2)()( eH将将()()表达式表达式代入方程得代入方程得关于关于 待求函数待求函数 H() H() 所满足的方程：所满足的方程：令令：渐渐近近形形式式，我我们们自自然然会会在在无无穷穷远远处处有有的的波波函函数数为为了了使使方方程程2/22220)( exdd2. H()2. H()满

26、足的方程满足的方程3.3.级数解级数解2220010)1()1(22 kkkkkkkkkkkkkkbkkbHkbHkbH 0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb kkkbH 0我们以级数形式我们以级数形式来求解。来求解。 为此令：为此令：kkkkkbHkk )2)(1(220则则：令令kkkkkb )2)(1(20 用用 k k 代替代替 kk变变成成：则则方方程程0)1(2 HHH 由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数； b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程

27、，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b0 0, b1=0. Heven();b1 0, b0=0. Hodd().kkbkkkb)2)(1(122 即：即： b bk+2k+2(k+2)(k+1)- b(k+2)(k+1)- bk k 2k + b 2k + bk k(-1) = 0(-1) = 0从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式的递推公式：0)1(2)2)(1(2 kkkkkbkbkkb 该式对任意该式对任意都成立，都成立，故故同次幂前的系数均应为零，同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则

28、通解可记为：则通解可记为：H = co Hodd + ce Heven = (co Hodd + ce Heven e) exp-2/2（3 3）应用）应用标准条件标准条件(I)=0exp-2/2|=0 = 1 Heven()|=0 = b0 Hodd()|=0 = 0 皆有限皆有限(II) 需要考虑无穷级数需要考虑无穷级数H()的收敛性的收敛性为此考察相邻为此考察相邻两项之比：两项之比：22222)2)(1(12 kkkkbbkkkkk 考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的的展开式的收敛性展开式的收敛性 )!1()!(!2!11exp222422kkkk 比较二级数可知：比较二级数可知

29、：当当时时， H()H()的渐近的渐近行为与行为与expexp2 2 相同。相同。单值性和连续性二条件自然满足，单值性和连续性二条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=0, x x=0, x 或或=0, =0, 。2222222222)1(1)!1()!()!()!1( kkkkkkkkk 相相继继两两项项之之比比：所以总波函数有如下发散行为：所以总波函数有如下发散行为：为了满足波函

30、数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H()H() 必须从某一项截断必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求变成一个多项式。换言之，要求 H()H() 从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）起项）起 以后各项的系数均为零，即以后各项的系数均为零，即 b bn n 0, b 0, bn+2n+2 = 0. = 0.0)2)(1(122 nnbnnnb 代入递推关系代入递推关系)得得：结论结论基于波函数基于波函数在无穷远处的在无穷远处的有限性条件导致了有限性条件导致了能量必须取能量必须取分立值。分立值。 expexpexpexp)()(2212212221H 212 E

31、E因因为为012,0 nbn所所以以有有：因因为为,2,1 ,0)(21 nnE 于于是是最最后后得得：（4 4）厄密多项式）厄密多项式附加有限性条件得到了附加有限性条件得到了 H()H()的的一个多项式，该多项式称为厄密一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为多项式，记为 H Hn n()()，于是总波，于是总波函数可表示为：函数可表示为：)(exp221 nnnHN 022 nnnnHHH 0)1(2 HHH expexp)1()(22 nnnnddH由上式可以看出，由上式可以看出，Hn() 的最高次幂是的最高次幂是 n 其系数是其系数是 2n。归一化系数归一化系数H Hn n() ()

32、也可写成封闭形式：也可写成封闭形式： = 2n+1 = 2n+1厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系：022)(2111 nnnnnnHHHnHddH 应应用用实实例例例：已知例：已知 H H0 0 = 1, H = 1, H1 1=2=2，则，则根据上述递推关系得出：根据上述递推关系得出：H H2 2 = 2H = 2H1 1-2nH-2nH0 0 = 4 = 42 2-2-2下面给出前几个厄密下面给出前几个厄密多项式具体表达式：多项式具体表达式：H H0 0=1 =1 H H2

33、 2=4=42 2-2-2H H4 4 = 16 = 164 4-48-482 2+12+12H H1 1=2=2H H3 3=8=83 3-12-12H H5 5=32=325 5-160-1603 3+120+120基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x)(x)的递推关系：的递推关系： )()2)(1()() 12()() 1()()()()()()2)(1()() 12()() 1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnn

34、nnnn （5 5）求归一化系数）求归一化系数 ( 分分 步步 积积 分分 )该式第一项是一个多项式与该式第一项是一个多项式与 exp-exp-2 2 的的乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零。继续分步积分到底继续分步积分到底因为因为H Hn n的最高次项的最高次项n n的系数是的系数是2 2n n，所以，所以d dn nH Hn n /d /dn n = 2 = 2n n n! n!。于是归一化系数于是归一化系数则谐振子则谐振子波函数为：波函数为： 其其中中：)(!2)(2/22xHenxnxnndxHHeNdxnnnnn)()(122 (I)(I)作变量代换，因

35、为作变量代换，因为=x=x，所以所以d= dxd= dx；(II)(II)应用应用H Hn n()()的封闭形式。的封闭形式。 deHeHnnnnnnddnddNnddnNn)() 1()() 1(21122112 deHnnnddnddNn)() 1(21121 !2 nnnN 所所以以 deHdeHnnnnnnddddnNnddnnN)()1()()1(211222 deHnddNnnnnn22)() 1( !2!2) 1(2222ndennNnNnnn （6 6）讨论）讨论3. 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所

36、以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E E0 0=1/2=1/2 0 0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。波是没有意义的，零点能是量子效应。expexp)1()(22 nnnnddH1 1。上式表明，。上式表明，H Hn n()()的最高次项是的最高次项是(2)(2)n n。所以：。所以： 当当 n=n=偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只

37、含的偶次项；的偶次项； 当当 n=n=奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2. 2. n n具有具有n n宇称宇称)(!2)(2/22xHenxnxnn 上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-exp-2 2/2/2是是的偶函数，的偶函数，所以所以n n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 H Hn n() () 决定为决定为 n n 宇称。宇称。n = 0n = 1n = 24. 4. 波函数波函数然而，量子情况与此不同然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：对于基态，其几率密度是：0 0() = |() = |0 0()|()|2

38、 2 = = = N= N0 02 2 exp- exp-2 2 分析上式可知：一方面表分析上式可知：一方面表明在明在= 0= 0处找到粒子的处找到粒子的几率最大；几率最大；另一方面，在另一方面，在|1|1处，处，即在阱外找到粒子的几率即在阱外找到粒子的几率不为零，不为零，与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在| x| 1| x| VE V0 0 情况情况 区区区区区区IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211 因为因为 E 0, E V0, 所以所以 k1 0, k2 0. 上面的方程可改写

39、为：上面的方程可改写为： xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321 解解得得：上述三个区域的上述三个区域的 SchrodingerSchrodinger方程可写为：方程可写为：定态波函数定态波函数1 1,2 2,3 3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-iEt/exp-iEt/ 即可看出：即可看出：式中第一项是沿式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波。由于在负向传播的平面波。由于在 x x a a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0C=0，于是解为，于是解为：

40、 xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321 利用波函数标准条件来定系数。利用波函数标准条件来定系数。首先，首先， 解单值、有限条件满足。解单值、有限条件满足。1. 波函数连续波函数连续综合综合整理整理记之记之BBAAx )0()0(:021 BikBikAikAikx 221121)0( )0( :0 2. 波函数导数连续波函数导数连续 001221221221221aikaikaikaikaikaikCekeBkBekAkBkBkAkCeeBBeABBA波函数意义波函数意义aikaikaikCeeBBeaaax122)()(:32 aikaikaikCeikeBik

41、Beikaaax12212232)( )( : 3. 3. 求解线性方程组求解线性方程组4. 4. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解方程组得求解方程组得: :AekkekkakkkiAAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数：透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比称为

42、透射系数D = JD = JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数R = JR = JR R/J/JI I其物理意义是其物理意义是：描述贯穿到：描述贯穿到 x a x a 的的 IIIIII区中的粒子在单位时间内流过垂区中的粒子在单位时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来。区，另一部分则被势垒反射回来。同理得反射系数：同理得反射系数：Aekkekkakkki

43、AAekkekkekkCaikaikaikaikaik221221221221222222122121)()(sin)(2)()(4 （2 2）E VE V0 0情况情况故可令：故可令： k k2 2=ik=ik3 3， 其中其中k k3 3=2(V=2(V0 0-E)/ -E)/ 1/21/2。这样把前面公式中的这样把前面公式中的 k k2 2 换成换成 ikik3 3 并注意到：并注意到： sin iksin ik3 3a = i sinh ka = i sinh k3 3a a2321322232132223212321322232123214sinh)(sinh)(4sinh)(4kk

44、akkkakkkRkkakkkkkD 即使即使 E VE V0 0，在一般情况下，透射系数，在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=2(E-V=2(E-V0 0)/ )/ 1/21/2，当，当 E E V 1a 1时时444)(431331322412321241223212321 akkkkkakekkekkkkD)(2020220233133116EVakakkkkkaeDeDeD 故故4可略可略 akakakakakeeeakee3333324122132)()(sinh, 则则：即即势势垒垒既

45、既宽宽又又高高，于于是是透射系数透射系数则变为：则变为：41,13133123 akkkkkeak时时，且且当当必必大大于于因因为为粗略估计，认为粗略估计，认为 k k1 1 k k3 3 （相当于（相当于E VE V0 0/2/2）, , 则则 D D0 0 = 4 = 4是一常数。是一常数。下面通过实例来说明透射系数下面通过实例来说明透射系数 的量级大小。的量级大小。于是：于是：20020)(16161331VEVEDkkkk 例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV, V0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2，算得算得 D 0.51。若若a=5 10

46、-8cm = 5 ，则则 D 0.024，可见，可见透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。 质子与电子质量比质子与电子质量比 p/e 1840。 对于对于a = 2 则则 D 2 10-38。可见透射系数明显的依赖于可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的了放射性元素的衰变现象。衰变现象。例例2: 2: 入射粒子换成质子。入射粒子换成质子。（2 2）任意形状的势垒）任意形状的势垒dxExVeDD)(202 则则 x x1 1 x x2 2贯穿势垒贯穿势垒V(x)

47、V(x)的的透射系数等于贯穿这些小透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即方势垒透射系数之积，即dxExVbaeDD)(202 此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。0 a bV(x)E对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。似用方势垒处理。dx返回返回（四）应用实例（四）应用实例除了大家熟悉的除了大家熟悉的衰变、隧道二极管衰变、隧道二极管是势垒穿透现象外，下面介绍两个典是势垒穿透现象外，下面介绍两个典

48、型实例。型实例。（1 1）原子钟）原子钟（2 2）场致发射（冷发射）场致发射（冷发射）（1 1）原子钟）原子钟原子钟的频率标准就是利用氨分子原子钟的频率标准就是利用氨分子( N H( N H3 3 ) ) 基态势垒贯穿的振荡频率。基态势垒贯穿的振荡频率。氨分子氨分子(NH(NH3 3) )是一个棱锥体，是一个棱锥体，N N原子在其顶点上，三个原子在其顶点上，三个 H H 原子原子在基底。如图所示：在基底。如图所示：NNHHHNNE如果如果N N原子初始在原子初始在N N处，则由于隧处，则由于隧道效应，可以穿过势垒而出现在道效应，可以穿过势垒而出现在NN点。当运动能量小于势垒高点。当运动能量小于

49、势垒高度度如图中能级如图中能级 E E 所示，则所示，则N N原子的原子的运动由两种形式组成。运动由两种形式组成。1. R-S1. R-S之间或之间或T-UT-U之间的振荡（谐振子）；之间的振荡（谐振子）；2. 2. 这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。对于NHNH3 3基态，基态，第二种振荡频率为第二种振荡频率为2.37862.3786 10 1010 10 HzHz。这就是原子钟在规定时间标。这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。（2 2）场致发射（冷发射）场致发射（冷发射）图图 （a）图图 （b）欲使金属发射电子，欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。熟知的热发射和光电效应。但是，施加一个外电场，金属中但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图电子的所感受到的电势如图(b)(b)所示。金所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。致所谓场致电子发射。返回返回