结构力学(一)第三版龙驭球第5章-虚功原理及结构的位移计算ppt课件.ppt

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1、第第5 5章章虚功原理及结构的位移计算虚功原理及结构的位移计算知识点: 结构位移的概念及类型结构位移的概念及类型 虚功原理及应用虚功原理及应用 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法图乘法 静定结构由于支座移动、温度改变引静定结构由于支座移动、温度改变引 起的位移计算起的位移计算 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理教学基本要求教学基本要求: 掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化等引起

2、的位移计算。等引起的位移计算。 熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、梁和刚架位移计算的图乘法。梁和刚架位移计算的图乘法。掌握线弹性结构的互等定理掌握线弹性结构的互等定理掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理内容及其应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移与广义荷载的概念。与广义荷载的概念。了解曲杆和拱的位移计算。了解曲杆和拱的位移计算。 虚功原理及应用重点：重点： 图乘法及应用图乘法及应用难点：难点： 虚功原理的理论解释虚功原理的理论解释 图乘法的图乘技巧图

3、乘法的图乘技巧1.1.结构的位移结构的位移xyAAFP线位移线位移角位移角位移DC 相对线位移相对线位移CDDCFP 相对角位移相对角位移 5.1 结构位移计算概述荷载作用下荷载作用下还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移? ?位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称位移：包括线位移，角位移，相对线位移、角位移等称广义位移。广义位移。引起结构位移的原因：引起结构位移的原因：荷载、温度改变荷载、温度改变 T T、支座移动支座移动 c c、制造误差制造误差 等等t 为什么要计算为什么要计算位移位移? ? 2. 2. 计算位移的目的计算位移的目的 1）刚度要求。如：）刚度要

4、求。如： 在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/6001/600 跨度；高层建筑跨度；高层建筑最大位移最大位移 1/10001/1000 高度。最大层间位移高度。最大层间位移 1/8001/800 层高。铁路层高。铁路工程技术规范规定工程技术规范规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度大挠度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度 (3) (3) 理想联结理想联结 3. 3. 本章位移计算的假定本章位移计算的假定2) 2) 超静定要求超静定要求3 3）施工要求）施工要求叠加原理适用叠加原理适用(1) (1) 线弹

5、性线弹性(2) (2) 小变形小变形线性变形体系线性变形体系 1 1）一些基本概念：）一些基本概念：广义力在自身所产生的位移上所作的功广义力在自身所产生的位移上所作的功力力力方向位移之总和力方向位移之总和功的表达式中，与广义位移对应的力功的表达式中，与广义位移对应的力广义力广义力广义位移之总和广义位移之总和广义力在对应广义位移但无关时所作的功广义力在对应广义位移但无关时所作的功W=FW=FP1P111 11 ororW=FW=FP2P22222W=FW=FP1P11212ororW=FW=FP2P22121W=FW=FP P力力F FP P功功5.2 虚功原理（理论难点） 1.刚体体系的虚功原

6、理 一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 W=PW=P P-P-广义力广义力; ; - -广义位移广义位移PFPFW例例: 1): 1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶MW MABMM) )作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶MMMMWBABA)(4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力PFPFABPBAPBPAPFFFFW)(PF1 PF2 PFW虚功虚功: 虚功虚功: AAMW虚功虚功P: P: 广义力广义力: :广义位移广义位移两种状态两

7、种状态力状态力状态位移状态位移状态FPFP /2FP /2力状态力状态位移状态位移状态q总结虚功的两种状态：总结虚功的两种状态：注意：两种状态注意：两种状态（3 3）位移状态与力状态）位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相相互独立、完全无关；但相互对应互对应（2 2）均为可能状态。即位移应满足）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件变形协调条件（变（变形与位移协调形与位移协调: :位移连续、杆件变形后不断开、位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。）；力状态应满足不重叠。）；力状态应满足平衡条件平衡条件。 （1 1）属）属同一同一体系；体系；2）刚体体系的虚功原理02120qlxqdWlxel力

8、状态力状态lq力状态力状态位移状态位移状态位移状态位移状态0210qlxlqdWlxe外力虚功外力虚功外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功内力虚功内力虚功Wi =0Wi =0 xdxxdxqlql2/2ql/2ql/2 按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系的虚功原理：的虚功原理： 在具有在具有理想约束理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满的刚体体系上，如果力状态下的力系能满足足平衡条件平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束，位移状态的刚体位移能与约束几何相容几何相容（位移位移与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠），与约束

9、相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠），则外力虚功为零。则外力虚功为零。 特别说明：特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下没有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也没有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也可以这样理解：可以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。外力虚功等于内力虚功都等于零。 或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功为零。为零。3)刚体

10、虚功原理的两种应用 既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此既然虚功原理中的平衡力系与可能的位移无关，因此不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚不仅可以把位移看作是虚设的，而且也可以把力看作是虚设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有设的，根据虚设对象的不同，刚体虚功原理主要有两种两种应应用形式。用形式。（1 1）虚功原理用于虚功原理用于实际已知的平衡实际已知的平衡力状态与虚设的协调位移状态之力状态与虚设的协调位移状态之间间虚设位移状态求已知力状态的虚设位移状态求已知力状态的未知力未知力虚位移原理虚位移原理. .建立力状态建立力状态 力状态力状态.建立虚设的位移状态建立虚

11、设的位移状态 位移状态位移状态利用虚功原理求解利用虚功原理求解 abFFFPxPPx单位位移状态单位位移状态 0PPxxFF第一种应用：xX 1单位位移法单位位移法(1)(1)把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状把上式变形即为平衡方程式，实质上是实际受力状态的平衡方程，即态的平衡方程，即0BM几点说明：几点说明：(3)(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(2)(2)所求力与虚设位移的大小无关所求力与虚设位移的大小无关, ,故可设单位位移故可设单位位移特点特点: : 用几何法来解静力平衡问题。用几何法来解静力平衡问题。刚体虚位移原理：

12、刚体虚位移原理：BPxMbFaF0已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。已知刚体的力状态，虚设位移状态求未知力。abFFPx例例 求图示多跨梁求图示多跨梁B的的支座反力、支座反力、E截面的弯矩截面的弯矩0432211PPBYFFFPPPBYFFFF2462BEACD11/23/4虚设的位移状态虚设的位移状态2a2a2aaaBEACDFP2FP力状态力状态BEACDFBYFP2FP0EM0221aFaFMPPEBEACDMEFP2FP力状态力状态BACDE1aa/2虚设位移状态虚设位移状态如右图，已知支座如右图，已知支座A A向上移向上移动一个已知位移动一个已知位移 , ,现求现求c c点点

13、竖向位移竖向位移FP位移状态位移状态力状态力状态 单位力状态单位力状态 . .利用已知的位移状态利用已知的位移状态 .建立虚设的力状态建立虚设的力状态 建立虚功方程求解建立虚功方程求解 第二种应用：(2)(2)虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态虚功原理用于实际的协调位移状态与虚设的平衡力状态之间之间虚设力状态求已知位移状态下的位移虚设力状态求已知位移状态下的位移虚力原理虚力原理几点说明：几点说明：(1)(1)所建立的虚功方程所建立的虚功方程, ,实质上是几何方程，是把几何问题转实质上是几何方程，是把几何问题转化为平衡问题。化为平衡问题。特点特点: : 是用静力平衡法来解几何问题。

14、是用静力平衡法来解几何问题。(2)(2)因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故因求出的位移与所设力的大小无关，为了计算的方便，故 可设单位广义力可设单位广义力 P=1P=1，称为：称为：单位荷载法单位荷载法(3)(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。刚体的虚力原理刚体的虚力原理已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移已知刚体的位移状态，虚设力状态求未知位移例题例题（1）C点的竖向位移点的竖向位移c（2）杆）杆CD的转角的转角l3l 23lABCDABCD13132ABCD1l 21l2l 23已知位移已知位移Ac求求:cAc

15、03111AccAcc31 02112AclAcl 21 所得正号表明位所得正号表明位移方向与假设的单移方向与假设的单位力方向一致。位力方向一致。求解步求解步骤骤（1 1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3 3）解方程得）解方程得kRkcF定出方向。定出方向。（2 2）建立虚功方程）建立虚功方程01kRkcF2.变形体的虚功原理 根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总结得出变形体的虚功原理：结得出变形体的虚功原理： 在具有在具有理想约束的变形体系理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡

16、上，若力状态的力系满足平衡条件（条件（整体平衡、局部平衡整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协），位移状态下的位移满足变形协调条件（调条件（包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠，与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠，约束和位移是相对应的约束和位移是相对应的），则外力在位移上所作的虚功恒等于），则外力在位移上所作的虚功恒等于各个微段的内力在相应变形上所作的内

17、虚功。即：各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：ieWW 1 1）单根变形直杆虚功方程的建立）单根变形直杆虚功方程的建立 力状态力状态位移状态位移状态整体平衡、局部平衡整体平衡、局部平衡变形协调变形协调 根据微段根据微段d dx x的三类变形，可求得微段两端截面的三种相对位移的三类变形，可求得微段两端截面的三种相对位移 ：微段微段d dx x局部变形包括三部分：局部变形包括三部分：xdd0平均剪应变：平均剪应变：轴线曲率：轴线曲率：1kxudd相对轴向位移：相对轴向位移：相对剪切位移：相对剪切位移：xdd0相对转角位移：相对转角位移：xxkddd1相对位移相对位移是描述微段变形的三个基是

18、描述微段变形的三个基本参数。本参数。dddu轴轴线线伸伸长长应应变：变：建建立立虚虚功功方方程程外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功： 微段上的内力虚功：微段上的内力虚功： 整个变形体的内力虚功为：整个变形体的内力虚功为： 单根变形直杆的虚功方程：单根变形直杆的虚功方程：xxQxNwQuNwiMkddFdFMddFdFd0BAxxQxNBAwiiMkddFdFdw0BAxxQxNxBAMkddFdFdqpu0)(0 xQxNBAxdFdFMkdP 注意注意 ： P P 为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、为广义力：包括杆端力、杆件受的均布荷载、集中荷载、约束反力等。集中荷载、约束反力等。

19、 也是广义位移，包括角位移、线也是广义位移，包括角位移、线位移等。位移等。 2 2）杆系结构虚功方程的建立）杆系结构虚功方程的建立)(0sQsNBAsdFdFMkdP变形体虚功原理的注意点：变形体虚功原理的注意点：. .虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和，反过来虚功虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和，反过来虚功方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。 .以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。虚功方程既适用于

20、一切线性、非线性、静定、超静定结构。 虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是条件。因此原理仅是必要性命题必要性命题。. .刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式 3 3）变形体虚功方程的应用）变形体虚功方程的应用虚力原理虚力原理虚位移原理虚位移原理)(0sQsNBAsdFdFMkdP 将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介将虚功原理用于实际协调位移和虚设平衡力状态间已介绍过绍过单位荷载法。单位荷载法。 下面从虚功方程入手，讨论

21、杆系结构位移计算的一般公下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为式。杆系结构虚功方程为: : 5.3 计算结构位移的一般公式 单位荷载法 )(0sQsNBAsdFdFMkdP设待求的实际广义设待求的实际广义位移为位移为, 与与对应的广义力为对应的广义力为P P。 设仅在广义力设仅在广义力P=1P=1作用下，任意横截面上与之对应的轴作用下，任意横截面上与之对应的轴力、剪力和弯矩分别为力、剪力和弯矩分别为F FN N 、 F FQ Q、和、和M M。 又设与内力又设与内力F FN N 、 F FQ Q 和和 M M 对应的微段实际变形分别对应的微段实际变形分别为为 、

22、uddd和和实际位移状态实际位移状态虚设的力状态虚设的力状态FN 、 FQ、Mdsuddd 则杆系结构虚功方程为则杆系结构虚功方程为: : 则杆系结构虚功方程改写为：则杆系结构虚功方程改写为：位移计算的一般公式位移计算的一般公式 iRisssNcFkdMdFdF 0dMdFdFCFCFCFFuNRRRKPK332211一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：2. 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定 结构；结构； 1. 1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3. 3.

23、材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；4. 4. 变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉( (压压) )变形、剪切变形；变形、剪切变形； 5. 5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。 BA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)P=1P=1P=1ABCd?BC(c)ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21ddP1dP1AB?AB(e)C(f)C左右=？P=1P=1P=1P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1P=1iissscFkdMdr

24、FdFR0QN仅在荷载作用时的位移计算一般公式仅在荷载作用时的位移计算一般公式对于由对于由线弹性直杆线弹性直杆组成的结构，有：组成的结构，有：EIMkGAkFEAFPPPPPP1 , ,Q0NspsPsPdkMdrFdF0QN5.4静定结构在荷载作用下的位移计算式中：式中：E E 弹性模量；弹性模量； G G 剪切模量；剪切模量；A A 横截面积；横截面积； I I 截面惯性矩；截面惯性矩；k k 截面形状系数。如：对矩形截面截面形状系数。如：对矩形截面k=k=6/5;6/5;圆形截面圆形截面k k=10/9=10/9。 dQQNNPsEIMMGAFFkEAFFPPP轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲公

25、式的适用范围：只适用于线弹性结构。公式的适用范围：只适用于线弹性结构。 这些公式的适这些公式的适用条件是什么用条件是什么? ?内力的正负号规定如下：内力的正负号规定如下：轴力轴力 以拉力为正；以拉力为正；NN,FFP剪力剪力 使微段顺时针转动者为正；使微段顺时针转动者为正；QQ,FFP弯矩弯矩 只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。受拉时，其乘积取为正。MMP,例例 ：求刚架：求刚架A A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态（实际位移状态）实际位移状态） 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画分别列出实际

26、状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：出内力图），如：（虚拟力状态）虚拟力状态）qxxPFQqlqlPFN荷载内力图荷载内力图xxlMx1PFQ1PFN单位内力图单位内力图x221qxPM221ql将内力方程代入公式：将内力方程代入公式：讨论：讨论：2254)(,58)(,1)(GAlkEIAlIQAyNAyMAy 轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲 GAsFFkEAsFFEIsMMPPPAydddQQNN )54581(85224GAlkEIAlIEIql 引入符号引入符号56,12,3kbhIbhA22)(252)(,)(152)(lhGElhQAyNAy 问题：问题： 的取值范围是什

27、么？的取值范围是什么？GE)1(2 EG5.00 32GE设杆件设杆件截面截面为为 b b h h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：%13. 0)()(,%2 . 0)()(MAyNAyMAyQAy 因此因此, ,对受弯细长杆件对受弯细长杆件, ,通常略去通常略去F FN N, , F FQ Q的影响。的影响。取：取： ， 有：有：101lh5.2GE5001)(,7501)(QAyNAy )500175011(854EIqlAy 即：即：几点讨论（只有荷载作用）：几点讨论（只有荷载作用）：GAsFFkEAsFFEIsMMPPPPdddQQNN 一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。一

28、般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1. 1. 对梁和刚架：对梁和刚架：EIsMMPPd 2. 2. 对桁架：对桁架： EAlFFEAsFFPPPNNNNd 3. 3. 对组合结构：对组合结构： EAlFFEIsMMPPPNNd 已知：各杆已知：各杆EA相同，相同，求：求：CVCH、ABCD1P图1NF1FPaaABCD图PNFPF2PFPFABCD1P图2NF21EAaFPCH aFEAPCV221求求DVDVFPFPFP4m3=12m3mABDC5FP8FP5/34/30000000000EAFFFFEAPPPPDV328043485355313113FPFP=1121212MxMqx

29、MP已知：已知：EI为常数。求：为常数。求：AAV、x1P1M解：解： EIqldxxqxEIdxMMEIllPAV821114020EIqldxqxEIlA61211402qlA已知位移状态已知位移状态虚设力状态虚设力状态例例 ：求曲梁：求曲梁B B点的竖向位移点的竖向位移 和水和水 平位移平位移 。( (EIEI、EAEA、GAGA已知已知) )Bx By ROBAFP解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示FPRPM sinPRFMPFP=1R sinRMyFP =1R)cos1 ( RMxlPPPByEIRFREIMMsEIMM0203)(4dd)(23EIRFPBx同理有

30、：同理有：将内力方程代入位移计算公式将内力方程代入位移计算公式, ,可得：可得：三铰拱的分析同此类似，但一般要考虑轴力对位三铰拱的分析同此类似，但一般要考虑轴力对位移的贡献，也即移的贡献，也即EAsFFEIsMMPPPddNN 已有基础：已有基础：1. 1. 静定结构的内力计算；静定结构的内力计算；2. 2. 杆件结构在荷载作用下的位移计算公式杆件结构在荷载作用下的位移计算公式, ,即即: :GAsFFkEAsFFEIsMMPKPdddQQNN5.5 图乘法及其应用 这这一节主要内容：一节主要内容：2. 2. 几种常见图形的面积和形心位置；几种常见图形的面积和形心位置；3. 3. 图乘法注意事

31、项；图乘法注意事项；4. 4. 应用举例。应用举例。1. 1. 图乘法；图乘法； 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下, ,不方便不方便. . 下面介绍梁和下面介绍梁和刚架在荷刚架在荷载作用下计算位移的图乘法载作用下计算位移的图乘法. .EIsMMPKPd刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：sEIMMPpkdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan( (对于等截面杆对于等截面杆) )( (对于直杆对于直杆) ) xMMEIPd1)tan( xM 图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为: :EIycpk图乘法是图乘法是Veresh

32、aginVereshagin于于19251925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的学生。的学生。1.图乘法的推证(a+l)/3(b+l)/3=hlhl/2/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线=2=2hlhl/3/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hlhl/3/3二次抛物线二次抛物线=2=2hlhl/3/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线=hlhl/4/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn n次抛物线次抛物线=hlhl/(n+1)/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点2.几种常见图形的面积和形心的

33、位置：顶点指曲线切线与顶点指曲线切线与杆轴重合或平行杆轴重合或平行图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么? ?1) 1) 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1 1）等截面直杆，）等截面直杆，EIEI为常数；为常数；（2 2）两个）两个M M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3 3） 应取自直线图中。应取自直线图中。cy2)2)若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。cycy4) 4) 图乘时注意应用图乘技巧图乘时注意应用图乘技巧3.公式应用注意事项：3)3)表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。EIy

34、cpk复杂图形，可分解为简单图形图乘复杂图形，可分解为简单图形图乘. .a a）直线形乘直线形直线形乘直线形l/3l/3l/312y1y2bcadbdacl226dc323bl2dc332al2 各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。基线同侧乘积取正，否则取负。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）32649yydxMMP2211abdclS = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 33

35、2364（3）9（2）32649（4）2369labdch+bah232dchl226bcadbdaclSb) b) 非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形c) c) 阶梯形截面杆阶梯形截面杆jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111dql2/2MPFP=1lqABEIqlllqlEIB843231142例：求梁例：求梁B B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4lMFPFPaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。FPaFPaMP3a/4MEIaFaFaaaaFEIPPaaP24232222232213432a/2a/2aFaaEIP343211？F

36、P=1FPl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C C点的挠度。点的挠度。MPFPll/2Ml/6l6EIFPl123=FPlEIC212=DEIFPl4853FPl65llEIyC222105Pl/6？取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。CFP=1例例: : 设设 EIEI 为常数，求为常数，求 Cy 2l2l解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图B BA Aq q281qlPM图图)(38452)485()81232(142EIqllqllEICy 对吗？对吗？C CA AB BF FP P=1=1M图图4l例例 试求图

37、所示结构试求图所示结构C C 点的竖向位移点的竖向位移 。 yC解解 （1 1）作实际状态的）作实际状态的PM8ql28ql2（2 2）建立虚拟状态，并作）建立虚拟状态，并作 图。图。M（3 3）进行图形相乘，求）进行图形相乘，求C C点竖向位移点竖向位移 。 yC1l/2 cCEIyy )( 128 4)832( 232)821( 83)2831( 14222EIqlllqlllqlllqlEI8ql28ql21l/21 y12 y23y34kN4kN.m 2kN/m12kN.m4m4mEIAB求求B B5kN12844MPkN.m1MkN.m5 . 04181425 . 082645 .

38、0125 . 082641EIB33125 . 014432 MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求求B B点的竖向位移。点的竖向位移。EIql256174lllqlEI25 .023232212lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122EIqlllqlEIB843231142ylqlEIB283312102Lq？ql2/8l/2？ql2/32y0FP=1例例: : 图示变截面杆图示变截面杆AB AB 段的弯曲刚度为段的弯曲刚度为4 4EIEI，BCBC段的弯曲刚段的弯曲刚度为度为EIEI，试求试求C C点点 的竖向位移的竖

39、向位移 。yCCy解解 绘出实际状态及虚拟状态的绘出实际状态及虚拟状态的 、 图。图。PMMy1y2y3y4y572481624816220MP图图 CEIycy )421)(4432() 432)(20421(1EI)248)(4432() 431832)(72421() 831432)(20421(41 EI)( 31088EIqllEIB1ql2/83ql2/2MPlM求求B点竖向位移。点竖向位移。EIqllqllllqlEIBV24112832322321142275. 04432EI320例例: : 已知已知 EIEI 为常数，求为常数，求 。Cy ABCq2l2l解：作荷载内力图和

40、单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图解法一、解法一、Aq2QqlF 82qlM A82ql82ql42ql)(38417)2438231()34221()482(14222EIqllqlllqlllqllEICy A22ql82qlBCPM图图qABC2l2l解法二、解法二、A12lM图图A82ql22ql322ql)(38417)432232()68221()32221(14222EIqllqlllqlllqllEICy 22ql82ql例例:C求求C截面竖向位移截面竖向位移MP)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)

41、4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIB16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1PF32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lqM例例: : 已知已知 EI EI 为常数，求刚架为常数，求刚架A A点的竖向位移点的竖向位移 ，并绘，并绘 出刚架的变形曲线。出刚架的变形曲线。Ay FP解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图在在 图求面积，在图求面积，在 图取竖标，有：图取竖标，有：MPM)(16423212213PPPEIlFlFl

42、lEIlFllEIEIycAy M图图EI2EIPM图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：注意反弯点的利用。如：PM图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP已知已知 EIEI 为常数，求为常数，求A A、B B两点相对水平位移两点相对水平位移ABAlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycAB解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图已知已知 EIEI 为常数，求铰为常数，

43、求铰C C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql11M=1M=1M图图)(64121883231832211radEIEIBA解：解：已知：各杆已知：各杆EI=EI=常数，求常数，求A A、B B两点之间的相对转角。两点之间的相对转角。328MP图图(kNm)8m8m1kNmABCDAlFPBlFPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY图示结构图示结构 EIEI 为常数

44、，求为常数，求ABAB两点两点(1)(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2),(2)相对水平位移相对水平位移,(3),(3)相对转角相对转角 。iMMP11lFPl11lliM0EIycABX0EIycAB对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.1111iM作变形草图作变形草图F FP PF FP PlFP1 11 111绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：凹凸方向，注意反弯点的利用。如：例例: : 已知：已知： E E、I

45、 I、A A为常数，求为常数，求 。Cy A AB BC CF FP P2l2la aD D解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图EAaFEIlFaFEAllFlEIsEAFFsEIMMlaPPCy4482211432)4221(2ddP3PPP00NN 请对计算结果请对计算结果进行适当讨论！进行适当讨论！A AB BC CF FP P2la aD D4PlFPM2PNFFP2lA AB BC C1 12la aD D4lM21NF2l)121(4833PAlaIEIlFCy 讨论讨论: :如果如果B B支座处为刚度支座处为刚度k k的弹簧，该如何计算？的弹簧，该如何

46、计算？4PlFPM2PPFFB 4lMABC2lk21 BF2lFP=1ABCFP2lk2l显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为: kF2P因此，弹簧对位移的贡献为因此，弹簧对位移的贡献为: kFkFFB42PP 由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为: kFFsEIMMkkPPdF FN N和弹簧的位移方向相同为正，反之为负和弹簧的位移方向相同为正，反之为负解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(434)2)(2(14322113EAlFEIlFlFEAlllFEIEAlFFEIyPPP

47、PNNcBPi求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD ABllEAEICDPFPFEIlMPlFPlFP11iMll解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(421212)2322212223122142(13kFEIlFkFllFlllFlllFlllFlEIEIyPPPPPPPcB求求A A点竖向位移点竖向位移,EI=,EI=常数常数 。1/2iMMPlFP2/ lFP2/PFl ll lPFl lA Ak k1k两个悬臂刚架，在悬臂端插入一个长度为两个悬臂刚架，在悬臂端插入一个长度为e e的垫块，问需的垫块，问需要多大的两个力。要多大的两个力。a图M

48、1PF1PFaa解：解：3321aFEIeP323aEIeFP已知位移求荷载已知位移求荷载其它其它eEIaFPFP图PMPaPaFPFPiRiQuNcFdMdFdF 一般公式一般公式5.6 5.6 静定结构由于温度变化、支座位静定结构由于温度变化、支座位 移引起的位移计算移引起的位移计算 1.1.由于温度改变引起的位移计算由于温度改变引起的位移计算荷载位移公式荷载位移公式ppupdMdFdFQN温度位移公式温度位移公式ttuttdMdFdFQN为了推导公式的方便，特作一下假设：为了推导公式的方便，特作一下假设： 1 1）温）温 度沿杆长不变度沿杆长不变 2 2）温度沿杆截面高度）温度沿杆截面高

49、度h h为直线变化为直线变化 3 3）温度变化的前、后杆截面仍保持平面）温度变化的前、后杆截面仍保持平面 4 4）以杆轴线处的变形代表整个杆件的变形。）以杆轴线处的变形代表整个杆件的变形。 图示结构，设外侧温度升高图示结构，设外侧温度升高 ，内侧温度升高，内侧温度升高 ，求，求K K点的竖向位移点的竖向位移 。tk2t1t杆轴温度杆轴温度 : :0t12ttthththtthhtt211212110)(线线膨膨胀胀系系数数 td对称截面对称截面2120tttt 上、下边缘的温差上、下边缘的温差 为：为：stutdd0线线膨膨胀胀系系数数 另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，微段轴向伸长和另外，

50、温度变化时，杆件不引起剪应变，微段轴向伸长和截面转角为：截面转角为：hsttddtdFNFNtdFP=1MtttutkMFFdddQN对等截面直杆对等截面直杆MFhttN0NF将温度引起的变形代入公式，可得将温度引起的变形代入公式，可得: 沿杆长温度不变沿杆长温度不变hsMtsFtddN0hstMstFdd0N上式中的正、负号：原则：上式中的正、负号：原则：变形一致为正，反之为负。变形一致为正，反之为负。 1 1由由温度引起温度引起的的弯曲变形弯曲变形与由与由单位力引起的弯曲变形单位力引起的弯曲变形一一致，取致，取“正正”号。即号。即 和和 使杆件的同一边产生拉伸变使杆件的同一边产生拉伸变形，