人教A版高中数学选修4-4 坐标系学案（无答案）.doc

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1、 坐标系一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！目标认知：l 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；l 掌握极坐标系的概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；l 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；l 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，体

2、会它们的区别重点：l 理解极坐标的概念；会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，曲线的极坐标方程与极坐标方程的互化l 会根据所给条件建立直线和圆的极坐标方程，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程难点：l 理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；l 求直线和圆的极坐标方程学习策略：l 善于利用极坐标的几何意义，熟练运用互化公式；l 理解并记住极坐标系、柱坐标系、球坐标系的构成，有利于正确应用公式进行转化二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识要点预习和课堂学习认

3、真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。知识点一：平面直角坐标系中的伸缩变换设点P是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P对应点，称为平面直角坐标系中 变换注意：分清新旧坐标，是坐标变换后的点的坐标，P是坐标变换前的点的坐标知识点二：极坐标（一）极坐标系的概念在平面内取一定点，叫作 ，从点引一条射线，叫作 ，选定一个长度单位、一个角度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个平面极坐标系，简称为 注意：建立极坐标的四要素：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 四者缺一不可（二）极坐标系内一点的极坐标

4、对于平面内任意一点，到极点的距离称为 ，记为 ；以为始边、为终边的角度称为点的 ，记为 有序实数对 就叫做点的极坐标，记作 注意：（1）一般地，不特别加以说明时，表示非负数，可以取任意实数；（2）极点的坐标为，即极点的极径 ，极角可以取 ；即极点有 个极坐标（3）对于给定的和，可以在平面内确定 的点，反过来，对于给定的平面内的一点，也可以写出它的极坐标，但与直角坐标不同的是，平面内一点的极坐标可以有 种表示方法即平面上一点的极坐标是不唯一的，有无数种表示方法，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是 的对应（4）坐标不唯一是由 引起的角与()的 是相同的，点与点()所表示的是 点点的位置这样确定：

5、作射线，使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点即点与点()所表示的是 点综上，()均表示 点（5）如果我们规定，那么除极点外，平面内的点可以用唯一的极坐标来表示，这时极坐标与平面内的点之间就是 关系知识点三：极坐标与直角坐标的互化（一）平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件（1）极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；（2）极坐标系中的极轴与直角坐标系中的轴正半轴重合；（3）两种坐标系中长度单位相同（二）互化公式如图，符合上述三条件的点的极坐标为，直角坐标为，则（1）极坐标化直角坐标： ；（2）直角坐标化极坐标： 这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系知识点四：简单曲

6、线的极坐标方程在极坐标系中，如果平面内的一条曲线上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线上，那么方程=0叫做这条曲线的 方程（一）直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线的极坐标方程为： （2）过垂直于极轴的直线的极坐标方程为： （3）过平行于极轴的直线的极坐标方程为： （4）过垂直于极轴的直线的极坐标方程为： （5）过平行于极轴的直线的极坐标方程为： （6）过且倾斜角为的直线的极坐标方程为： （7）过与极轴所成角为的直线的极坐标方程为： （二）圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程为： （2）过极点，以为圆心的圆的极坐标方程为： （3）过极

7、点，以为圆心的圆的极坐标方程为： （4）过极点，以为圆心的圆的极坐标方程为： （5）过极点，以为圆心的圆的极坐标方程为： （6）以为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为： 知识点五：柱坐标系（一）柱坐标的定义：设P是空间直角坐标系的任意一点，它在平面上的射影为Q，用(，)表示点在平面上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组()表示，这样我们建立了空间的点与有序数组之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做 ；有序数组叫做点P的 ，记作 ，其中，（二）变换公式空间点与柱坐标之间的变换公式：知识点六：球坐标系（一）球坐标系的定义：设P是空间直角坐标的任意一点，连接OP，记|OP|=r，OP与Oz

8、轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过最小正角为，这样P的位置就可以用有序数组()表示，这样空间的点与有序数组()之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标叫做 （或空间极坐标系），有序数组()叫做点P的球坐标，记作 ，其中，球坐标中的角成为被测点P()的 角，称为 角（二）变换公式：空间点与柱坐标之间的变换公式：经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。类型一：平面直角坐标系伸缩变换例1在平面直角坐标系中，求方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形解：总结升华

9、： 举一反三：【变式1】在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线变成曲线【变式2】在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是y=cosx，现在平移坐标系，把原点移到，则在坐标系中，曲线C的方程是（ ）Ay=sinx+By=sinx+ Cy=sinxDy=sinx类型二：点的极坐标和直角坐标的互化例2将下列点的极坐标化成直角坐标（1）； （2） 解：总结升华： 举一反三：【变式1】将点的极坐标化为直角坐标【变式2】将点的极坐标化为直角坐标【变式3】判断下列极坐标所表示的点在第几象限（1）；（2）例3将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在之间的极坐标（1）；（2）解：总结升华： 举一

10、反三：【变式1】把点P的直角坐标(4,-4)化成极径为正，极角在之间的极坐标【变式2】将点的直角坐标(3,4)化为极径为正，极角在之间的极坐标类型三：直线的极坐标方程例4求下列直线的极坐标方程：（1）过平行于极轴的直线；（2）过且和极轴正方向成的直线解：总结升华： 举一反三：【变式1】在极坐标方程中，过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_ 【变式2】求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直类型四：圆的极坐标方程例5在极坐标系中，半径为1的圆的圆心坐标为（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆的平行于极轴的切线方程解：总结升华： 举一反三：【变式1

11、】在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为（ ）AB CD 【变式2】以极坐标系中点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ）A=2cos(-)B=2sin(-) C=2cos(-1)D=2sin(-1)【变式3】在极坐标方程中，与圆=4sin相切的一条直线的方程是（ ）Asin=2Bcos=2 Ccos= 4Dcos=- 4类型五：直角坐标方程与极坐标方程的互化例6化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线（1）； （2）；（3）； （4）总结升华： 举一反三：【变式】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线（1）； （2），其中；（3） （4）例7将直角坐标方程化

12、为极坐标方程解：总结升华： 举一反三：【变式1】将直角坐标方程化为极坐标方程【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程 例8O1和O2的极坐标方程分别为，（1）把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解：总结升华： 举一反三：【变式1】圆锥曲线的准线方程是（ ）AB CD 【变式2】以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,)，(1,)，长轴长是4，则此椭圆的直角坐标方程是 【变式3】把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位若曲线的极坐标方程是，则它的直角

13、坐标方程是 类型六：已知曲线的极坐标方程，判断曲线类型例9判断极坐标方程所表示的曲线类型解：总结升华： 举一反三：【变式1】极坐标方程4sin2=3表示的曲线是（ ）A二条射线B二条相交直线C圆D抛物线 【变式2】极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是（ ）A直线B圆C双曲线D抛物线 【变式3】极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是（ ）A两条相交直线B圆C椭圆 D双曲线类型七：求距离例10在极坐标系中，直线的方程为，求点(2,)到直线的距离解：总结升华： 举一反三：【变式1】在极坐标系中，点M(4,)到直线：的距离d= 【变式2】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是 例11极坐

14、标系中，求两圆和的圆心距解：总结升华： 举一反三：【变式1】极坐标方程分别是和的两个圆的圆心距是（ ）A2 B C1 D【变式2】在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线= 4cos于A、B两点，则|AB|= 类型八：求三角形面积例12在极坐标系中，O是极点，设点A(4,)，B(5,)，求OAB的面积解：总结升华： 举一反三：【变式1】在极坐标系中，若，求ABO的面积（O为极点）【变式2】在极坐标系中，则AOB的面积是 类型九：柱坐标系与球坐标系例12设点M的直角坐标为（1，4），则它的柱坐标为 解：总结升华： 举一反三：【变式】已知点P的球坐标为（4，），求它的直角坐标三、总结

15、与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学（一）极坐标系内点与其极坐标之间的对应关系（二）直角坐标系内点和曲线与极坐标内点和曲线的区别（三）极坐标与直角坐标的互化公式 （四）求曲线的极坐标方程的步骤：（五）几种特殊情况下直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为的直线：（2）过垂直于极轴的直线：（3）过平行于极轴的直线：（4）过垂直于极轴的直线： （5）过平行于极轴的直线： （六）几种特殊情况下圆的极坐标方程：（1）以极点为圆心，为半径的圆：（2）过极点，以为圆心的圆： （3）过极点，以为圆心的圆： （4）过极点，以为圆心的圆： （5）过极点，以为圆心的圆：16