微积分导数的概念及运算法则ppt课件.ppt

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1、12 第二章 导数与微分第1节 导数概念3导数产生的背景导数产生的背景导数定义导数定义求导举例求导举例导数的几何意义导数的几何意义 导数概念可导与连续的关系可导与连续的关系4一.导数产生的背景 1. 物理背景 2. 几何背景5 变速直线运动物体作匀速直线运动时, 有,，时间路程速度TSV 即这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.由于匀速运动.VV 物体的速度是不变的，因此1.物理背景6 由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度 V 不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?如图SS(t0)S(t0+t)0

2、ttSttStSV)()(00在 t0, t0+t 这段时间内物体的平均速度为.)(0tSVtV t越小，近似值就越接近精确值V(t0).V(t0)=?tStVt00lim)(ttSttSt)()(lim0007 PTPQPLQPL的极限位置割线时趋向点沿曲线点处点切线为在点曲线 平面曲线上切线的概念LPQT割线PQ切线PT切点2. 几何背景 平面曲线的切线问题 8沿曲线趋近于点 A 时的极限位置.平面曲线 y = f (x) 的切线：曲线在点 A(x0, y0) 处的切线 AT 为过曲线上点 A 的任意一条割线 AA 当点 A(x0+x, y0+ y)Oxy)(xfy AABxyT切线方程:

3、 , )(00 xxkyytank tanlim0 x其中, . lim0 xyx9(1) 建立一个函数关系 y = f (x) xI .(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3) 求 x 0 的极限：;)()(00 xxfxxfxy .)()(limlim0000 xxfxxfxyxx10设函数 f (x) 在 U(x0) 有定义, 且 x0+x U(x0).则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在,| 0ayxx，axxfd)(d0 . dd0axyxx如果极限存在, 点 x0 处的导数. 记为，a

4、xf)(01. 导数的定义二.导数的概念xyxxfxxfxx 0000lim)()(lim11xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(;)()(lim)( 0000 xxxfxfxfxx如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则12xxfxxfx)()(lim000存在，则称f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称 f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别，不可导若)( )()(lim000 xxfxxfx. )(0为无穷大的导数在也称xxf 若13设函数 f (x) 在 x0 , x0+ ) 内有定义, 若则称

5、 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为2.左、右导数axxfxxfxyxx)()(limlim0000.)(0axfaxxfxxfxyxx )()(limlim0000且且则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为axf)(0axf)(0axfxf)()(00设函数 f (x) 在 (x0- ,x0, 内有定义, 若143. 导函数xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00若 x(a, b), 函数 f (x) 皆可导, 则说 f (x) 在(a, b) 内可导. 这时 f (x) 是关于 x 的一个新函数,称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数

6、. 通常我们仍称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：导数：即记为).(xf .d)(d, dd,xxfxyyf的导数还可记为15函数在点 x0 I 处的导数:0)()(0 xxxfxf)( , )(bfaf若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 存在,则称 f (x )在 a, b 上可导, f (x) 称为 f (x) 在 a, b 上的导函数, 简称为导数. 先求导、后代值.164. 求函数的导数可知由xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00求导数可分为如下几步：1.写出函数的增量y2. 算比值xxfxxfxfx)()(lim)(03.求极限17 , 0)(

7、,则设在某极限过程中x)()(sinxx )()(tanxx )()(1ln(xx )(1)(xex )(1)(1 (xnxn2 )(1)(1 xx ln)(1)(axax 2)()(cos12xx )(1)(1 mxxm)0( )(1)(1 (rxrxr18例例1 1.(. 1常数）Cy ) 1, 0(. 4.(. 3aaayznxyxn）xyxycos.sin. 2.1, 0(ln. 5）aaxyxey .求下列函数的导数xxfxxfxfx)()(lim)(0,1, 0(log）aaxya.0(）axya19或重要极限xxxxxyxxsin)sin(limlim00 xxxxx2sin2c

8、os2lim02coslim0 xxxxysinxcos和差化积等价无穷小 cos)(sin xxxxsin)cos(（仿照正弦函数的推导方法）xxfxxfxfx)()(lim)(020 xaaaxxxxx0lim)(xaxaxxlnlim0 xaaxxx1lim0aaxln ln)( aaaxx )( xxee ln)(1)(axax21 )(log xa)(ax.1)(ln,ln1)(logxxaxxa特别(x) = x1xxxxaaxlog)(loglim0 xaxxxln)1ln(lim0 xxxax0limln1axln1xxxxxxxxaaxaax 1)1(lim)(lim00 )

9、()(1ln(xx )(1)(1 (xrxr10limaaxaxxxxax220C1)(nnnxxxxcos)(sinxx1)(lnaaaxxln)(xxsin)cos(xxee )(总总 结结1)(aaaxxaxxaln1)(log235. 导数的几何意义)(tan0 xfk此时, 切线方程为:)(000 xxxfyy函数 f (x) 在点 x0 的导数 f ( x0) 就是对应的平面曲线 y = f (x) 在点 (x0, y0) 处的切线的斜率 k :5. 导数的几何意义24切线平行于x 轴：0)(0 xf曲线 y = f (x) 在点 x0 处的切线可能平行于x 轴、垂直于 x 轴、或

10、不存在, 所反映出的导数值是：切线垂直于x 轴：)(0 xf（曲线为连续曲线）在点 x0 处无切线：f (x0) 不存在.25 y O x x0 y = c f (x0) = 0 y O x f (x0) = x0 O xyx0 y O x x0f (x0)不存在f (x0)不存在26在任意一点 x 处, 有xxk2)(2在点(1, 1) 处 故所求切线方程为：22110 xxxkk求曲线 y = x2上任意一点处切线的斜率, 并求在点 (1, 1) 处的切线方程.即 y = 2x 1.y 1= 2(x 1) , 例例2 2解27三 可导与连续的关系设 f (x) 在点 x0 可导, 即有于是

11、0000)()(limlim)(0 xxxfxfxyxfxxx)0( 0 x 故 xxxfy )(00lim0 yx . )( , 0处连续在点就是说xxf只是必要条件！无穷小 )(0 xfxy28y = | x | 在点 x = 0 连续, 但不可导.xxfx|0|0|lim)0(0 xxfx|0|0|lim)0(0故 f (0) 不存在.y = | x |Oxy1|lim0 xxx1|lim0 xxx . 0 | , 0 |lim 00处连续在点故但xxyyxxx例例3 3解29在点 x = 0 处的连续性和可导性.,1|1sin | x01sinlim0 xxnx00 xy又 当 nN

12、时, 函数在在点 x = 0 处连续.)( 0 , 0 0 , 1sin Znxxxxyn讨论)(Zn例例4 4解30当 n =1 时,xxyxx limlim00不存在,故 n =1 时, 函数在 x = 0 处不可导.当 n 1 时,xxyxx limlim00故 n 1时, 函数在 x = 0 处可导. 其导数为 . 00 xyxx1sinlim001sinlim10 xxnxxx1sinxxn1sin 0 , 0 0 , 1sin xxxxyn31 f (x) 在 x = 0 处可导,从而 f (x) =1 + bx, x0e x, x 0f (0) = 1 f (x) 在 x = 0

13、 处连续, f (0) = a . . 1 , 1lim)(lim 00aexfxxx故又解设a + bx, x 0求 a, b 之值.e x, x 0y =在 x = 0 可导,32由可导性：故 b = 1, 此时函数为f (x) =1 x , x 0e x, x 0 xexfxfxxx1lim)0()0(lim00bxxbxfxfxx1)1 (lim)0()0(lim001lim0 xxx . 1 , 1baf (x) =1 + bx, x0e x, x 0f (0) = 133P46 习题2-1一、1，334 第二章 导数与微分第2节 求导法则和基本公式35定理定理并并且且可可导导处处也

14、也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则36推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf37例例1 1.

15、sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 38例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得39例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(s

16、ec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得.tansec)(secxxx 40例例5 5).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 41,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设

17、设42注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.43例例 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和解解44一一 、 填填 空空 题题 ：1 1、 设设xxysin ， 则则y = = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 设设xeayxx23 ， 则则dxdy= =_ _ _ _

18、_ _ _ _ _ _ _. .3 3、 设设)13(2 xxeyx, ,则则0 xdxdy= = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 设设1sectan2 xxy, ,则则y = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .5 5、 设设553)(2xxxfy , ,则则)0(f = =_ _ _ _ _ _ _ _ _. .6 6、 曲曲 线线xysin2 在在0 x处处 的的 切切 线线轴轴与与 x正正 向向 的的夹夹 角角 为为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题)cos2sin(xxxx 22ln3xeaaxx 2 )tansec2(secxxx 2534 45