东北大学流体力学与传热学ppt课件.ppt

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1、工程流体力学与传热学信息学院次英第七章第七章 非稳态导热非稳态导热 7.1 7.1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念1 1、定义、定义 物体的温度随时间而变化的导热过程物体的温度随时间而变化的导热过程2 2、分类、分类1) 周期性非稳态导热：周期性非稳态导热：2) 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐物体的温度随时间的推移逐渐 趋于恒定值趋于恒定值物体的温度随时间而作周期性变化物体的温度随时间而作周期性变化 例如：建筑物一昼夜的温度变化，电冰箱的间断冷却，例如：建筑物一昼夜的温度变化，电冰箱的间断冷却， 回转式空气预热器回转式空气预

2、热器 例如：工件的淬火，铸件的冷却，热动力设备起停时的例如：工件的淬火，铸件的冷却，热动力设备起停时的 部件的温度变化部件的温度变化),(zyxft 设一平壁，初值温度设一平壁，初值温度 t 0 ，令其左侧的表面温度，令其左侧的表面温度突然升高到突然升高到 t 1，并保持不变，而右侧仍与温度为并保持不变，而右侧仍与温度为t 0 的空气接触。的空气接触。3 3、非稳态导热温度变化过程（定性）、非稳态导热温度变化过程（定性）平壁内温度场的变化过程：平壁内温度场的变化过程： 紧靠平壁左侧的区域温度首先上升，其余紧靠平壁左侧的区域温度首先上升，其余 部分仍保持原来的部分仍保持原来的 温度，经过某一时刻

3、，温度，经过某一时刻， 壁内温度分布如图中曲线壁内温度分布如图中曲线 HBD； 随着时间的推移，温度变化涉及的范围逐渐扩随着时间的推移，温度变化涉及的范围逐渐扩大，平壁内自左向右，温度变化一层一层地传大，平壁内自左向右，温度变化一层一层地传播到平壁的右侧表面。到某一时间后，右侧表播到平壁的右侧表面。到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高面温度也逐渐升高 图中曲线图中曲线 HCD 、HD 在一定时间之后，右侧表面的温度也逐渐升高在一定时间之后，右侧表面的温度也逐渐升高 曲线曲线HE 、 HF 最后，经过足够长的时间，壁内温度分布将变最后，经过足够长的时间，壁内温度分布将变成一条直线成一条直线HG

4、。 （若（若 =const ，则，则 HG 是直线）。是直线）。 非稳态导热过程结束，进入稳态导热过程非稳态导热过程结束，进入稳态导热过程a 非正规状况阶段非正规状况阶段（右侧面不参与换热）（右侧面不参与换热） 上述非稳态导热过程中，存在着两个不同阶段：上述非稳态导热过程中，存在着两个不同阶段：b 正规状况阶段正规状况阶段（右侧面参与换热）（右侧面参与换热） 温度变化从边界面逐渐深入到物体内部，各点温度随时间的温度变化从边界面逐渐深入到物体内部，各点温度随时间的变化率各不相同变化率各不相同温度分布主要受初始温度分布控制温度分布主要受初始温度分布控制特点：特点：温度分布主要取决于边界条件及物性温

5、度分布主要取决于边界条件及物性特点：特点：物体内各点温度随时间的变化率具有一定的规律物体内各点温度随时间的变化率具有一定的规律非稳态导热过程总会经历：非稳态导热过程总会经历：4 4、特点、特点 非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等热流量不相等 原因：原因：在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量平壁在升温过程所平壁在升温过程所积聚的能量积聚的能量正规状况阶段正规状况阶段非稳态导热非正规状况阶段（起始阶段）非稳态导热非正规状况阶段（起始阶段）新的稳态新的

6、稳态7.2 非稳态导热的数学模型非稳态导热的数学模型 1 1 、数学模型、数学模型 假定物体的热物理特性参数均为常数假定物体的热物理特性参数均为常数初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：（第三类边界条件比较常见）（第三类边界条件比较常见）),() 0 ,(zyxfzyxt )()(fwwtthnt 说明：说明：n n是换热表面的外法线，是换热表面的外法线，h h，t tf f是已知的。是已知的。cztytxtct 2222222 2 、物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题、物体处于恒温介质中的第三类边界条件问题 设厚为设厚为 的平板，初始温度为的平板，初始温度为t0，表面传热系数，表面传热

7、系数h，导热系数，导热系数，将其，将其突然至于温度为突然至于温度为 的流体中冷却。的流体中冷却。 2 t根据平板导热热阻根据平板导热热阻 和表面对流传热热阻和表面对流传热热阻 相对大小的不同，相对大小的不同， h11) h12)相相当当与与 h13) h1温度场变化分三种情况温度场变化分三种情况毕渥数毕渥数 hhBi 1毕渥数的物理意义毕渥数的物理意义其大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律其大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律3、非稳态导热要解决的问题、非稳态导热要解决的问题p 不同时刻各点的温度分布不同时刻各点的温度分布 如：热应力如：热应力p 达到稳定后某时刻所需的

8、时间达到稳定后某时刻所需的时间 如：淬火过程如：淬火过程p 传热量传热量 应用较少应用较少tiBiB00Bi1223121201010000tt 0tt 0tt 7.3 零维问题的分析法零维问题的分析法集中参数法集中参数法 1 1、集中参数法定义、集中参数法定义 忽略物体内部导热热阻，认为物体温度均匀一致，此时，忽略物体内部导热热阻，认为物体温度均匀一致，此时， ，温度分布只与时间有关，即温度分布只与时间有关，即 ，与空间位置无关。，与空间位置无关。0iB)( ft 忽略物体内部导热热阻的简化分析方法忽略物体内部导热热阻的简化分析方法2 2、集中参数法温度场的分析解、集中参数法温度场的分析解假

9、设：有一任意形状的固体，其体积为假设：有一任意形状的固体，其体积为V， 表面积为表面积为A，并具有均匀的初始温度，并具有均匀的初始温度 t0 。 在初始时刻，突然将其置于温度恒为在初始时刻，突然将其置于温度恒为 的的 流体中，设流体中，设 固体与流体间的表面传固体与流体间的表面传 热系数热系数 h，固体的物性参数均保持常数。，固体的物性参数均保持常数。 t tt0试根据集中参数法确定物体温度随时间的依变关系试根据集中参数法确定物体温度随时间的依变关系cztytxtct 222222cddt ttAhV解：解： 建立非稳态导热数学模型建立非稳态导热数学模型方法一、方法一、 根据非稳态、有内热源的

10、导热微分方程根据非稳态、有内热源的导热微分方程根据假设，物体内部热阻很小，忽略不计。根据假设，物体内部热阻很小，忽略不计。物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是时间的一元函数，仅是时间的一元函数，与空间无关与空间无关其中其中应看成是广义热源，而且发生热交换的边界不是计算边界应看成是广义热源，而且发生热交换的边界不是计算边界（零维问题，无几何边界），因而界面上交换的热量应折算称整（零维问题，无几何边界），因而界面上交换的热量应折算称整个物体的体积热源个物体的体积热源 物体被冷却，故物体被冷却，故应为负值应为负值 tt0)( tthAddtcV 瞬时时刻

11、导热微分方程瞬时时刻导热微分方程方法二、方法二、 根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程物体与环境的对流散热量物体内能的减少量物体与环境的对流散热量物体内能的减少量)( tthAddtcV ddtVctthA tt ddVchA cVhAetttt 00 物体物体温度随时间的依变关系温度随时间的依变关系引入过余温度引入过余温度则有则有00)0( tt控制方程初始条件对上述数学描写分析求解，得：对上述数学描写分析求解，得： AV则其中的指数可变化如下：则其中的指数可变化如下：式中的式中的 具有长度的量纲，并定义具有长度的量纲，并定义 为为 特征长度特征长度A

12、Vlc 02222FBilahllchlcVAAhVcVhAcccc 2claFo 傅里叶数傅里叶数(0FoBicVhAee 采用采用集中集中参数法分析时，物体内的过余温度随时间成参数法分析时，物体内的过余温度随时间成指数曲线关系指数曲线关系变化，而且开始变化较快，随后逐渐变慢。变化，而且开始变化较快，随后逐渐变慢。 指数函数中的指数函数中的 具有与具有与 相同的量纲，称相同的量纲，称 为时间常数，用为时间常数，用 表示表示cVhA 1hAcV c 1) 当时间当时间 时，物体的过余温度将到了初始过余温度的时，物体的过余温度将到了初始过余温度的36.82)c )(0)( VchAhAettdd

13、tVc )()(cVhAcVhAeVcttdetthAdt 100003 3、热量计算、热量计算导热物体的瞬时热流量为：导热物体的瞬时热流量为： 0时刻之间所交换的总热量为：时刻之间所交换的总热量为：4. 4. 集中参数法适用条件集中参数法适用条件对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件，对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件，则物体中各点过余温度的差别小于则物体中各点过余温度的差别小于5% MhBAVi1 . 0)( 一温度计的水银泡呈圆柱状一温度计的水银泡呈圆柱状, 长长20mm, 内径为内径为4mm, 初始温度为初始温度为 t0,今将其插入到温度较高的储

14、气罐中测量气体温度。设水银泡同气体间今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度。设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数的对流换热表面传热系数 h=11.63W/(m2.K), 水银泡一层薄玻璃的作水银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计。水银的物性参数如下用可忽略不计。水银的物性参数如下:试计算试计算 1) 此条件下温度计的时间常数此条件下温度计的时间常数; 2) 插入插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几?例例7-17-1KmW36.10313110mgkKkgJkc138. 0讨论：讨论：由此可见，当用水银温度计测量流体温度时，必须在被测流

15、体中放由此可见，当用水银温度计测量流体温度时，必须在被测流体中放置足够长的时间，以使温度计与流体之间基本达到热平衡。置足够长的时间，以使温度计与流体之间基本达到热平衡。稳态过程稳态过程可以允许可以允许非稳态过程非稳态过程水银温度计的热容量过大时，无法跟上流体温度的变化，水银温度计的热容量过大时，无法跟上流体温度的变化，响应特性很差，需采用时响应特性很差，需采用时间常数很小的感温元件，间常数很小的感温元件，如：直径很小的热电偶如：直径很小的热电偶 物理意义物理意义FoBi ,hlhl1Bi物体表面对流换热热阻物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻物体内部导热热阻FoFo越大，热扰动就能越深入地传播

16、到物体内部，因而，物体各点的越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点的温度就越接近周围介质的温度。温度就越接近周围介质的温度。allao22F面积上所需的时间面积上所需的时间 l l 边界热扰动扩散到边界热扰动扩散到换热时间换热时间2 2BiBi越小，意味着内热阻越小或外热阻越大。越小，意味着内热阻越小或外热阻越大。 Bi 0 Bi 0，集中参数法，集中参数法 边界条件的简化（导热问题归纳三类边界条件的简化（导热问题归纳三类A 、B、C） 导热物体内部热阻的简化处理导热物体内部热阻的简化处理 （集中参数法）（集中参数法） 导热物体形状的简化导热物体形状的简化 （从实物形状中抽象简

17、化出了无限大平板，无限长圆柱等概念）（从实物形状中抽象简化出了无限大平板，无限长圆柱等概念）3) 建立数学方程，求得通解，与定解条件（初始，边界条件）建立数学方程，求得通解，与定解条件（初始，边界条件）特解特解数学方法（建立数学模型）数学方法（建立数学模型） 求解传热问题求解传热问题1) 常对实际问题适当简化常对实际问题适当简化 建立数学模型建立数学模型 求解求解a.精确解精确解 b.近似解近似解 c.数值解数值解简化涉及：简化涉及：2) 坐标系的选择坐标系的选择不同形状选用相应坐标系不同形状选用相应坐标系7.4 典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解 所谓一维：所谓一维

18、：对对 平平 板板， 温度仅沿温度仅沿厚度方向变化厚度方向变化对对圆柱与球圆柱与球，温度仅沿，温度仅沿半径方向变化半径方向变化1 1、无限大平板的分析解、无限大平板的分析解 求：在非稳态过程中板内的温度分布求：在非稳态过程中板内的温度分布 2厚度为厚度为 的无限大平板，初始温度为的无限大平板，初始温度为 初始初始时间将它放置于温度为时间将它放置于温度为 的流体中，而且的流体中，而且 ，流体与板面间的表面传热系数，流体与板面间的表面传热系数h为一为一常数。常数。0t t tt0已知：已知：初始条件：初始条件：导热微分方程：导热微分方程：假设：平板两边对称换热，板内温度分布必以其中心截面为对称面，

19、假设：平板两边对称换热，板内温度分布必以其中心截面为对称面， 只要研究厚为只要研究厚为 的半块平板的情况即可的半块平板的情况即可 边界条件：边界条件：)0,0(22 xxtaddt0,0tt xtthxtxxt),(0, 0引入过余温度引入过余温度 tt 方程化为：方程化为：)0,0(22 xxadd tt00,0 xhxxx,0,0边界条件边界条件a边界条件边界条件b把有两个变量的偏微分方程的解表示成两个函数的乘积，每一个函把有两个变量的偏微分方程的解表示成两个函数的乘积，每一个函数各与一个变量有关，从而将偏微分方程化为两个常微分方程。数各与一个变量有关，从而将偏微分方程化为两个常微分方程。

20、变量分离法主要思路：变量分离法主要思路：设：设：)()()( TxXx ddTX 于是于是2222dxXdTx 222211dxXdXddTTdxXdTddTX 只为只为的函数的函数只为只为x x的函数的函数上式要成立只能等于常数，设为上式要成立只能等于常数，设为D DDddTT 1积分得：积分得： DeCT1 D的取值：若的取值：若D0， T将随着时间的增大而急剧增大，并趋于无限大将随着时间的增大而急剧增大，并趋于无限大 若若D0,T等于常数，意味着温度将不随时间而变化等于常数，意味着温度将不随时间而变化不可能常数常数D只能为负值。设：只能为负值。设：2 D 21 eCT)sin()cos(

21、32xCxCX )sin()cos(2xBxAe 于是得出：于是得出：3121CCBCCA 用初始条件和边界条件确定用初始条件和边界条件确定A、B、00)0cos()0sin(220 BeBBAexx 边界条件边界条件a0, 0 xx )cos(2xAe 边界条件边界条件b xhx,)cos()sin(22xAhehxAex ixBhctgxAhexAe )()cos()sin(22iBctg )(特征方程特征方程特征方程的解就是特征方程的解就是 交点所对应的交点所对应的的数值的数值iByctgy 21)()(1 ctgy 是以是以为周期的函数，故为周期的函数，故解有无穷多个解有无穷多个1 1

22、， 2 n 称称为特征值为特征值iBy 2当当 时，直线时，直线 与横坐与横坐标重合，特征值标重合，特征值1 1/2,/2,2 = 3/2 n = (2n-1)/2 iB当当 时，直线时，直线 与纵坐与纵坐标重合，特征值标重合，特征值1 10,0,2 = n = (n-1)0iBiBy 2在给定在给定Bi准则的条件下，对应于每一个特征值，温度分布的特解为：准则的条件下，对应于每一个特征值，温度分布的特解为： 22221)cos(),(.)cos(),()cos(),(222111nexAxexAxexAxnnn 当常数当常数A1，A2An为任何值时，各个特解都满足导热微分方程和边界条件；为任何

23、值时，各个特解都满足导热微分方程和边界条件；但是上述特解中的任何一个都与初始时刻的实际温度值不等。但是上述特解中的任何一个都与初始时刻的实际温度值不等。需用初始条件确定需用初始条件确定Ai该导热问题的通解为各个特解的线性叠加：该导热问题的通解为各个特解的线性叠加：导热微分方程和边界条件导热微分方程和边界条件都是线性的都是线性的 温度和温度的各阶导数项的系数都与温度无关温度和温度的各阶导数项的系数都与温度无关 12)cos(),(nnnnexAx 常数常数An由初始条件确定由初始条件确定00, 0 tt 12)cos(),(nnnnexAx 1)cos()0(nnnxA 上式两端同乘上式两端同乘

24、 ，并在，并在0，范围内对范围内对x积分积分)cos(xm 100)cos()cos()cos()0(nmnnmxxAx 020)()(cos)(0)cos()cos(nmdxxnmdxxxnmn所以：所以： 0002021)2()2cos(1(211)()cos()0()(cos)cos()0(nnnnnnnnnxdxxdxdxxdxxA)cos()sin()sin(2)0(21)2sin(2(211)sin()0(00 nnnnnnnnnxxx 102)cos()sin()cos()sin(2),(nnnnnnnexx 平壁内任意瞬间的温度分布平壁内任意瞬间的温度分布此处此处n n为特征值

25、为特征值令令 nn 110222cossin)cos(sin2cossin)cos(sin2),(nFnnnnnnnnnnnonnexexx 因此因此 是是F0，Bi和和 函数，即函数，即0),( x x),(),(0 xBFfxio 2 2、非稳态导热的正规状况、非稳态导热的正规状况1) Bi数一定，数一定， 的值随的值随n的增加而迅速增加的增加而迅速增加n 2) 反映时间影响部分反映时间影响部分 随随Fo的增加而迅速衰减的增加而迅速衰减onFe2 数值计算表明：当数值计算表明：当Fo0.2时，略去无穷级数第二项及以后各项所得时，略去无穷级数第二项及以后各项所得 的计算结果与按完整计算结果的

26、的计算结果与按完整计算结果的偏差偏差0.2时，取其级数首项即可时，取其级数首项即可),()cos(cossinsin2),(11111021 xBiFofxexOF a 给出给出 随随Fo及及Bi变化的曲线（此时，变化的曲线（此时， ）0 m0 xb 根据根据 确定确定 之值之值)cos(),(), 0(),(1 xxxm m c 于是，平板中任一点的温度为于是，平板中任一点的温度为mm 00 解的应用范围解的应用范围 书中的诺谟图及拟合函数仅使用恒温介质的第三类边界条件或书中的诺谟图及拟合函数仅使用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热或冷却过程，且第一类边界条件的加热或冷却过程，且

27、Fo0.2Fo0.2一块厚一块厚100mm的钢板放入温度为的钢板放入温度为1000 的炉中加热，钢板的炉中加热，钢板一面受热，另一面可近似地认为是绝热的，钢板的初始温度一面受热，另一面可近似地认为是绝热的，钢板的初始温度 t0=20，求：钢板受热表面的温度达到求：钢板受热表面的温度达到500 时所需要的时间，时所需要的时间， 并计算此时剖面上的最大温差并计算此时剖面上的最大温差取加热过程中的平均对流换热系数取加热过程中的平均对流换热系数h h174W/(m174W/(m2 2k)k)钢板钢板34.8 W/(34.8 W/(mkmk) ) 0.5550.5551010-5-5 m m2 2/s/s例例7-2谢 谢 同 学