有限元第三章杆系结构单元分析ppt课件.ppt

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1、3-1引言所谓杆件杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。为方便起见，本书都称之为杆单元。杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常见的一类结构。本章以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。 建筑物简化为杆件的建模过程杆系结构杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元。成杆元和梁元。 梁梁拱拱框架框架桁架桁架第一步，对结构物进行离散化，划分为有限个单元。第二步，对各结点和单元进行编码。第

2、三步，建立整体坐标系和各单元的局部坐标系。第四步，对已知参数进行准备和整理。第五步，对结点位移进行编码，注意前处理法与后处理法的区别。第六步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。3-1-1 关于离散化问题 第七步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。 第八步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。 第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、图示出所需的位移及应力。 第四章 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求

3、节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。单元两端点号差最小。 有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并且拒不坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同局部坐标。并且拒不坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。类型单元刚度矩阵相同。XYPxy 大家要熟悉知道大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号单元编号，节点编号，位移编号，以及，以及整体整体坐标坐

4、标和和局部坐标局部坐标。局部坐标整体坐标12345612345图2.1 弯曲杆件系统图2.2 截面连续变化杆件系统3123(0 0 0)(0 0 1)(2 3 4)4 (5 6 7)6 (11 12 13)5 (8 9 10)65421(1 2 3)2 (4 5 6)(7 8 9)4 (10 11 12)6 (16 17 18)5 (13 14 15)31365421图3.2单元位移编码前处理法后处理法结点编号位移编号单元编号3-1-2杆系结构虚位移原理及虚功方程 设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移原理虚功方程，则整个杆系结构

5、的虚功方程可由对各杆求和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向量）：l局部坐标单元杆端力矩阵 e123456FFFFFFFFF2( 3-1) l 局部坐标单元杆端虚位移矩阵 11TT ( 3-2) , , ,E I A l1F2F3F4F5F6F122F1Fx12yuvxkkx（a）杆端力及正向规定 （d）单元虚位移及正向规定 112x2345612（b）杆端虚位移及正向规定 图3-3 平面杆件单元 12( )q xPniP1Py( )m x( )p x（c）单元荷载及正向规定 l单元上分布均布荷载矩阵 q= p(x) q(x) m(x

6、)l单元上局部坐标下任意截面的虚位移矩阵 ( 3-3) d vuvuvdx ( 3-4) u， ， 的正负号规定如图3-3(d)所示，分别为轴向、横向虚位移和转角虚位移。 （3-5）u、 在单元局部坐标任意截面虚位移为 的情况下，单元虚位移所产生的微段 的虚变形为：d udx22dvkdx虚线应变 虚曲率 （3-6）dx若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 ，( )( )u xv x、则由材料力学可得与位移对应的截面内力为 uNdFEAdx22d vMEIdx （3-7） （3-8） 式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。 在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元

7、，则单元的虚功方程为 外力总虚功 e01()nleTeTepiiiWFFxxv dxqd（3-9a） 其中piF为单元上所受的横向集中力（规定沿坐标正向为正）。总虚变形功 e0keiWWMdxlN变FeeeeiWWW变 （3-9b） （3-9c）式（3-9a）中()ixx为单位脉冲函数（unit impulse function）,如图3-4所示。由图可见，若有函数f(x)，则积分i00f(x) (x-x )( ) 0( )( ) 0( )iiiilxxlixxdxf xdxf xdxf xdxf x (3-10) 如图3-4()id xxixdxx趋于O1面积为01()nlpiiiFxxvd

8、x根据式（3-10），则式（3-9a）中可写作011()( )nnlpiipiiiiFxxvdxFv x对于整个杆系结构来说，显然总虚变形功iWW变等于各单元总虚变形功的和，也即 eiWWW变变 (3-11) 而整个结构的外力功应该是 lee011( )nnTjpiipdiiWWdxFv xFjqde结点荷载总虚功 （3-12） 基于上述说明，则杆系结构虚位移原理的虚功方程为 e0011leNinnlTjpiipdjijWWWFM k dxWdxFv xFq变变 （3-13） 3-1-3 杆系结构总势能表达式 有关符号同上所述，由材料力学可知e单元的应变能eV在只考虑轴向和弯曲变形时为 222

9、222001122lled vd uVEIdxEAdxdxdx （3-14） 单元外力的总势能 为*epE *0leTeTeppiiiEdxv x q dFF （3-15） 式中 11,TTduudxd为单元杆端位移矩阵。因此单元的总势能表达式为 222e*200011122nllleeTeTepppiiid vduEVEEIdxEAdxdxnF v xdxdxq dF （3-16） 对于整个结构还要考虑结点的总外力势能。为此，由图3-5任一节点的受力情况可见，整个结构的结点总外力势能为 *,12jTeiekpdipijkEFFF结点 （3-17） 1F2FixFiyFiMTipdixiiFF

10、MFipd12iFFF总结点力 图3-5 结点受力示意图 由此可得结构的总势能为 *p,22,20001122epplllTTpiipd jjijEEEd vduEIdxEAdxdxF v xdxdxq dF结点（3-18） 累加时所出现的切割面内力总功互相抵消，因此在式（3-18）中不再出现。 3-2局部坐标系中的杆单元分析3-2-1拉压杆单元,jjF u图3-6拉压杆单元示意图设杆单元长度为 ，横截面面积为 ，单元材料的弹性模量为 ，在局部坐标系中杆端荷载分别为 和 ，杆端位移分别为 和 ，单元上的轴向分布荷载为 。 lAEiFjFiuju( )q x,iiF ueyx( )q xx 单元

11、位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即： 由位移的边界条件：可得系数 、 为： 这样，任意截面的位移 为：用矩阵表示为： u( )u xabx(0)iuu( )ju luabiaujiuubl( )(1)ijxxu xuulliiijjijjuuN uN uNNuNe1ixNl jxNl （3-19b） （3-19c） （3-19a） 其中1ijNN （3-20） 进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，有： 这里为应变矩阵。由虎克定律，其应力为： 11ijdudBBdxdxll eeeeNB11ll BEEeB （3-22） （3-21

12、） 求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚度矩阵,设杆端i、j分别产生虚位移 、 ，则由此引起的杆轴任意截面的虚位移为：对应的虚应变为：根据虚位移原理虚功方程，有： 将上式整理得： iujuTiiuuuNN e B e000( )lTdllTTWq xdxWAdxEAdx外变FN BB eeeee00( )TllTTTdq xdxEA dxeeeeFNBB （3-23） （3-24） 式中 ：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设： 则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为： 这里 为局部坐标系下的单元刚度矩阵， 为局部坐标系下等效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载 中可以包含集中荷载。根

13、据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为： TdijFFFe0( )lTEq xdxFNe0lTEA dxkBBedEFFk eeeekeeEF( )q x1111EAlke （3-26b） （3-25a） （3-25b） （3-26a） 例：例： 一维拉杆一维拉杆 图示阶梯形直杆，各段长度均为，横截面积分别为3A，2A，A，材料重度为，弹性模量E。求结点位移和各段杆中内力。离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。单元刚度矩阵： 2111113) 1 (lAEk1 23211112)2(lAEk2 3431111)3(lAEk3 41111lEAke等效结点荷载：按静力等效原则，有:1123)1(

14、lAF1122)2(lAF112)3(lAF对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:FK设结点1的约束反力为F1，则有: 整体结构平衡方程lAlAlAlAFuuuulEA21)2122()2223(2311001122002233003314321划去节点1所对应的第1行、行1列 。解得结点位移Eluuu21351101320252432EluEluElu24232281981587单元应力单元应变EAN单元应变：luuijElluuElluuElluu234)3(223)2(212)1(21873-2-2扭转杆单元m (x)MiMjyxijji图2.4 扭转杆单元示意图设扭转杆单元的长度为

15、 ，截面惯性矩为 ，剪切模量为 ，杆端扭矩分别为 、 ，杆端扭转角分别为 、 ，单元上的分布荷载集度为 ，则任意截面的扭转角为： lIGiMjMij( )m x(1)ijxxll Ne （3-27） y式中： 为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学可知，截面扭矩为：式中： 我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能用泛函表示为： TijedMGIGIdxBe11ddxll NB00001()( )21( )2llTTpdllTTTddMdxm xdxdxGI dxm xdx eeeeeeFBBNF这里 为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分

16、，可得： 或者写为： 设： 可得扭转杆单元的单元刚度方程为： 可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同样，由上式可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为： TdijMMFe0p 00( )llTTTdGI dxm xdxBBNFee00()( )llTTdGI dxm xdxBBNFee0lTGI dxkBBe0( )lTEm xdxFNedEFFk eeee1111GIlke （3-28） （3-29b） （3-29a） 3-2-3只计弯曲的杆单元q (x)MiMjFyiFyjvivjyxm (x)ijji设杆单元的长度为 ，截面惯性矩为 ，弹性模量为 ，杆端剪力为 、 ，

17、杆端弯矩分别为 、 ，杆端横向位移为 、 ，杆端扭转角分别为 、 ，在单元上分布有荷载集度为 的竖向分布荷载和集度为 的分布力偶。则结点位移矩阵和结点荷载矩阵分别为：lIEyiFyjFiMjMivjvij( )q x( )m x取挠曲线方程为 的三次多项式，即单元上任意一点的挠度为： 根据单元的位移边界条件： 时： ， 时： ，TiijjvveTdyiiyjjFMFMFex23vabxcxdx0 x ivvidvdxxljvvjdvdx222323212312121ijiijjiijjavbvcvvlllldvvllll 可以得到式中的待定系数：将系数a、b、c、d代入式，并将挠曲线方程用矩阵

18、形式表示为： 式中 为形函数矩阵，其中： 为平面弯曲单元的形函数。 2322323210000100323112121iijjvvxxxvllllllll Ne1234NNNNN231232222332323423212(1)32xxNllxxNxllxxNllxxNll （3-30） （3-31） 根据式（3-30）确定的单元位移场，可得单元上某一点得曲率为：截面的弯矩为：这里：为平面弯曲杆单元的应变矩阵。 根据虚位移原理有： 2222d vddxdxNBeeTTMEIEIEIBBee222322326124661226dxxxxdxllllllll NB000( )( )llTdlTTdW

19、q xdxm xdxWdxEI dx外变NNFBBeeee （3-34） （3-36） （3-35） 则平面弯曲杆单元的单元刚度方程为： 其中的单元刚度矩阵可由式（3-37）求得为： 00( )( )llEdq xdxm xdxdxNFNe0lTEI dxkBBedEFFk eeee2232212612664621261266264llllllEIlllllllke记：（3-38）（3-37）（3-39a）（3-39b）荷载分布QiMiQjMjql/2ql2/12ql/2- ql2/123ql/20ql2/307ql/20- ql2/20ql/45ql2/96ql/4- 5ql2/96ijqq

20、ijqij几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力例： 变截面梁 有一变截面梁，一端固定，另一端铰支。梁长为2l，固支端的截面尽寸为b1.6h，铰支端的截面尺寸为bh。梁上作用均布载荷p0。求梁端的约束反力。xy离散化 将梁划分成2个单元，3个结点。每个单元 长度为,截面取平均截面。0)1 ()1 (04. 345. 1IIhbA0)2()2(52. 115. 1IIhbA单元刚度矩阵jilllllllllllllEIk2222346612266122661226612ij324661226612266124661252. 1222230)2(lllllllllllllEIk214

21、661226612266124661204. 3222230)1(lllllllllllllEIk 1 2 2 3 对号入座，组合整体刚度矩阵 321233633633624363661226612266124661204. 32222222230lllllllllllllllllllllllllEIK 1 2 3 荷载等效结点力向量2112/2/12/2/200200)1 (lplplplpFd3212/2/12/2/200200)1(lplplplpFd约束反力向量TBAAeRMRF000 1 2 312/2/012/2/12/2/012/2/00020002002000200lplpRl

22、plpMlpRlplplplplpRMRFFFBAABAAde总荷载向量 引入边界条件 0, 0, 0311vv将整体平衡方程中对应的1、2、5行和总刚中1、2、5列删去 ，得 12/02363331804. 3200322222230lplpvlllllllllEI解方程组，得结点位移值0303030204020889. 0003420388. 0EIlpEIlPEIlpv将结点位移值代入整体平衡方程，可得约束反力lpRlpMlpRBAA02000708,583. 0,29. 13-2-4平面一般杆单元第一种方法：MiMjFxiFyiFxjFyjuiviujvjyxji杆单元的长度为 ，截面

23、面积为 ，截面惯性矩为 ，弹性模量为 ，单元的 、 端各有三个力为 、 、 和 、 、 ,其对应的位移为 、 、 和 、 、 ，建立如图2.7所示的局部坐标系，各物理量的正向如图中所标。则结点位移矩阵和结点荷载矩阵分别为： lAIEijxiFyiFiMxjFyjFjMiuivijujvj TiiijjjuvuveTxiyiixjyjjFFMFFMFe设单元上没有荷载作用，首先考虑轴向力的作用，由于杆端轴力 、 只引起杆端轴向位移 、 ，根据拉压杆单元的单元刚度方程，有： xiFxjFiujuxiijEAEAFuullxjijEAEAFuull 其次，杆端弯矩 、 和杆端剪力 、 只与杆端的转角

24、位移 、 和杆端的横向位移 、 有关系，根据只计弯曲杆单元的单元刚度方程（注意，由于不考虑单元上的荷载作用，故方程式中的等效结点荷载 等于零）可得：iMjMyiFyjFijivjvEFe3232126126yiiijjEIEIEIEIFvvllll3232126126yjiijjEIEIEIEIFvvllll 226462iiijjEIEIEIEIMvvllll226264jiijjEIEIEIEIMvvllll这样，上述表达式合并在一起，写成矩阵形式如下： 323222323222000012612600646200000012612600626400ixiiyiiijxjjyjjjEAEA

25、llEIEIEIEIuFllllvFEIEIEIEIMlllluFEAEAllvFEIEIEIEIMllllEIEIEIEIllll()Eeeek FF可以将上式简写为：第二种方法：两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁第二种方法：两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元单元 （平面刚架，（平面刚架，BEAM3) ijxyijxy 2 3 5 6l 1 4F2F3F5F6lF1F4（1）单元坐标单元位移和单元力）单元坐标单元位移和单元力 单元位移单元位移 TjjjiiiTevuvu654321（a）其中，其中， ux方向（轴向）位移。方向（轴向）位移。 vy方向位移，即挠度。方向位移，即挠度。 角位移。

26、角位移。 单元力单元力 TjjjiiiTeMQNMQNFFFFFFF654321（b）其中，其中， N轴向力轴向力 Q剪力剪力 M弯矩弯矩 对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按一维一维拉压杆单元拉压杆单元和和弯剪平面梁单元弯剪平面梁单元的结果简单集合而成。的结果简单集合而成。（2）位移函数和形函数）位移函数和形函数 位移模式位移模式ijxy 2 3 5 6l 1 4（c）xaau21362543xaxaxaav 形函数形函数式中形函数式中形函数N为：为：evuNd

27、（d）653241000000NNNNNNN（e）23263325423223332321/ )(/ )23(/ )(/ )2(/ )23(/ )(lxlxNlxlxNlxxNlxlxxlNlxlxlNlxxNij其中其中, （3）应变矩阵）应变矩阵 单元弯曲应变单元弯曲应变 与节点位移与节点位移e的关系。的关系。 轴剪弯梁单元轴剪弯梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（上任一点的应变，应为该点挠度（v）引起的应变和轴向）引起的应变和轴向位移（位移（u）引起的应变之和。）引起的应变之和。eB单元应变矩阵为：单元应变矩阵为：654321BBBBBBB （f）)26()612(1)46()612(1

28、2635423321lxlyBlxlyBlBxlyBlxlyBlB，（g） (5) 等价节点力等价节点力 qy(x) （4）应力矩阵）应力矩阵 eeSBEE（h）qxxyijl（i）dxxqyTleqy)(0NFdxqNNdxxqNNNNMQNMQNxlljjjiiiy031065320000)(00（g）112)()(1lqdxqxxxxlxxijxxeqjixF一维杆弯剪梁最后得等价节点力矩阵最后得等价节点力矩阵dxqNqNqNqNqNqNMQNMQNlyyxyyxjjjiii0654321（k）荷载分布NiQiMiNjQjMj几种横向分布荷载等价节点力几种横向分布荷载等价节点力2lqy2

29、03lqy4lqy122lqy302lqy9652lqy2lqx2lqy207lqy4lqy2lqx122lqy202lqy9652lqyijqyqxqyijqxqyijqx2lqx2lqx2lqx2lqx (6) 单元坐标单元刚度矩阵单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为梁单元刚度矩阵公式为lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzzzzzzzzzzzzze460260612061200000260460612061200000222323222323（l）3-2-5有约束的单元 在结构分析中除了用上

30、述自由式单元外，还要用到一些特殊单元，这些单元的某个或某些杆件端位移是受约束或是非独立的。这类单元称为有约束单元。有约束单元。这些单元刚度方程无需另行推导，只需对自由式单元刚度方程做些处理便可得到。1、连续梁单元、连续梁单元 相对自由式单元，连续梁单元只有两个杆端位移分量 ， ，而其余四个分量均为零。将单元结点转角排成 ，则其对单元刚度方程矩阵可从自由式单元刚度矩阵（3-45）删除第1，2，4，5行和列后得出。即4224eEIEIllkEIEIll 3e6（3-47）ijE,I,A,lxy2、一端刚接一端铰结单元、一端刚接一端铰结单元 如图3-10所示，由于铰结点处 ，所以， 不再是独立的位移

31、分量，可从第六个刚度方程展开式 ， ， 表示，再将这结果代入刚度方程其他式子，整理后便可得到该单元刚度矩阵。2660F 352145xy3ij, , ,E I A l2F1F4F5Fxy3Fij, , ,E I A l杆端力杆端位移图3-10 一端刚结点一端铰结点323233000333003300000033000eEAEAllEIEIEIlllEIEIkllEAEAllEIEIll（3-48）3-2-6空间自由式杆单元1 交叉梁单元 即两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁 单元 (面外弯剪扭梁单元）ijlxyz 1 2 4 5 3 6F1F2F4F5F3F6ijlxyz 1 2 3 4 5

32、 6F1F2F3F4F5F6 xi yiwi xj yjwjMxiMyiQziMxjMyjQzj 由于结构本身是平面结构，而节点也是由于结构本身是平面结构，而节点也是3个自由个自由度，所以仍称为平面梁单元。此类单元适用于受度，所以仍称为平面梁单元。此类单元适用于受面面外荷载的平面框架外荷载的平面框架。 x、Mx截面绕扭心轴截面绕扭心轴x的扭转角和相应扭矩。的扭转角和相应扭矩。 y、My截面绕截面绕y轴的弯曲转角和相应弯矩。轴的弯曲转角和相应弯矩。 w、Q截面形心沿截面形心沿z轴的横向位移和相应横向剪力。轴的横向位移和相应横向剪力。 如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之如果截面形心和扭心不重

33、合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。这里只讨论间是相互不独立的。这里只讨论截面形心与扭心重截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形合或可以近似认为重合的情形，弯曲和扭转之间是，弯曲和扭转之间是相互独立的。相互独立的。 另外，另外，扭转仅限于纯扭转或称均匀扭转。扭转仅限于纯扭转或称均匀扭转。其特点其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比。即即lGJMxixjxj（3-50a）扭矩平衡条件扭矩平衡条件0 xjxiMM（3-50b）由此得由此得)()(xjxixjxjxixilGJMlGJM（3-50c）式中：式中：GJ为截面扭转刚度。为截面

34、扭转刚度。只需要将只需要将平面自由式单元刚度矩阵平面自由式单元刚度矩阵中的中的Iz换成换成Iy，并，并注意编号次序。同时考虑到式（注意编号次序。同时考虑到式（3-50c），即得），即得323222323222126012606406200000126012606206400000lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJkyyyyyyyyyyyyyyyye（3-50）2 空间桁架单元 在实际工程中，网架、钢结构电视塔、输变电压塔等结构都是空间桁架。同平面桁架一样空间桁架单元也只考虑轴向变形，即只承受轴力。因此局部坐标

35、下单元的杆端力与杆端位移的关系与平面桁架单元完全相同。也即 为空间桁架单元局部坐标系下的单元刚度矩阵。因为空间桁架单元每个结点有三个方向的线位移，所以 也可写成 的形式，但只有与轴向位移对应的脚标为11、44的元素为 ，脚标为14，41的元素为 ，其他均为零。或1122EAEAFllEAEAFll eeeFk 6 6EAlEAlekek（3-51a）（3-51b）MxiMyjFxiFyiFxjFyjyxziMziFziMyiMxjMzjFzjj设局部坐标系的 轴为单元的形心主轴，横截面的两个主轴分别为 轴和 轴（如图所示）。设杆横截面面积为 ，杆单元长度为 ，在 平面内抗弯刚度为 ，在 平面内

36、的抗弯刚度为 ，杆件的抗扭刚度为 。 xyzAlxzyEIx yzEIEI3 空间刚架单元空间刚架有6个位移分量和6个结点力分量，设局部坐标系下它们分别为：TiiixiyizijjjxjyjzjuvwuvweTxiyizixiyizixjyjzjxjyjzjFFFMMMFFFMMMFe323232320000000000000000000000000000000000000126126126126zzzzxiyiyyyyzixiyizixjyjzjxjyjzjEAEAllEIEIEIEIFllllFEIEIEIEIllllFGIGIllMMMFFFMMM22223232323222000000

37、0000000000000000000000000000000000000000000000000000006462646212612612612662646yyyyzzzzzzzzyyyyyyyyEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllGIGIllEIEIEIEIllll220000000264iiixiyizijjjxjyjzjzzzzuvwuvwEIEIEIEIllll3-3-1单元刚度矩阵的性质 单元刚度矩阵 为对称矩阵，其元素 单元刚度矩阵 中的每个元素代表单位杆端位移引起的杆端力。其中的任意元素 的物理意义是第 个

38、杆端位移分量等于1（其余位移分量等于0）时，所引起的第 个杆端力的分量值。ke()ijjikkijkeijkji3-3 杆系结构单元分析的物理实质 一般单元的单元刚度矩阵 是奇异矩阵，它的元素组成的行列式等于零，即 。根据奇异矩阵的性质， 没有逆矩阵。也就是说，如果给定杆端位移 ，可以求出杆端力 的惟一解，但反过来，如果已知杆端力 ，则不能根据 来确定杆端位移 的惟一解。因为即使在杆端力已知的情况下，由于单元两端无任何约束，因此除出杆端自身变形外，还可以发生任意的刚体位移。举例来说，如果物体处于静止状态，我们可以说其处于平衡状态，但反过来，如果物体处于平衡状态，则我们不能说其一定处于静止。 k

39、e0kekeeFe1()dkFeeeeFe 单元刚度矩阵 具有分块的性质，即可以用子矩阵表示 。用虚线把 分为四个子矩阵，把 和 各分为两个子矩阵，因此，又可以写为： 这里： 或 或 或 或 用子矩阵形式表示单元刚度矩阵和单元刚度方程，可以使其表达的物理意义更加明显。在单元刚度矩阵 中，其任意子矩阵 表示杆端力 和杆端位移 之间的关系。 kekeekFeeiiiijijjijjjFkkFkkeeeeeeeeTixiyiiFFMFeTixiy izixiyiziFFFMMMFeTjxjyjjFFMFeTjxjyjzjxjyjzjFFFMMMFeTiiiiuveTiiiixiyiziuvweTjj

40、jjuveTjjjjxjyjzjuvwekerskerFese3-2-10 单元分析举例单元分析举例2lm61.2 10EAkN， 【例题3-1】图3-16所示桁架 ,各杆 局部坐标如图箭头所示。试求图示（1-2杆）、（1-4杆）单元的局部坐标单元刚度矩阵。ll12解：单元：抗拉刚度5/6 10/EA lkN m，由式（3-26b）可得 511116 10/1111EAkkN ml 单元：抗拉刚度5/24.24264 10/EAlkN m，由式（3-26b）可得 511114.24264 10/11112EAkkN ml图3-16 桁架单元例题 【例题3-2】图3-17所示不考虑轴向变形平面刚

41、架各杆 局部坐标如图所示。试求图示各单元的局部坐标单元刚度矩阵。 522.16 10EIkN m，12xy343m4m5m 图3-17 不考虑轴向变形的刚架 解： 单元号 单元长度 5lm3212620736/;51840;2486400;172800.EIEIkN mkNllEIEIkN mkN mll 将上述数值结果代入式（3-39b），可得号单元的单元刚度矩阵为 20736/5184020736/5184051840172800518408640020736/5184020736/51840518408640051840172800kN mkNkN mkNkNkN mkNkN mkkN

42、mkNkN mkNkNkN mkNkN m 号单元抗弯刚度和单元长度度和号单元一样，因此局部坐标下单元刚度矩阵也完全一样。 20736/5184020736/5184051840172800518408640020736/5184020736/51840518408640051840172800kN mkNkN mkNkNkN mkNkN mkkN mkNkN mkNkNkN mkNkN m号单元 长度单位 3212640500/;81000;24108000;216000.EIEIkN mkNllEIEIkN mkN mll号单元的局部坐标下单元刚度矩阵为 40500/8100040500/

43、81000810002160008100010800040500/8100040500/810008100010800081000216000kN mkNkN mkNkNkN mkNkN mkkN mkNkN mkNkNkN mkNkN m 【例题3-3】如图3-17所示平面刚架单元上受有如图3-18所示的荷载，其数值为 。p60,5 ,15/FkN lm qkN m试求单元的单元等效结点荷载矩阵 。 EF32qpF/2lpF l/2l解：单元： p60,5 ,15/300pFkN lm qkN mmF lkN m，首先根据局部坐标的方向来确定所受荷载的正负号，再进行计算 （1）均布荷载下的等

44、效结点荷载矩阵由式（3-39c）算得为 37.531.2537.531.25EFkNkN mkNkN m （2）集中荷载下的等效结点荷载矩阵由式（3-40b）计算可得 3037.53037.5EFkNkN mkNkN m （3）集中力偶下的等效结点荷载矩阵由式（3-40d）得 9075075EFkNkN mkNkN m9 所示荷载为上述三种荷载共同作用，因此叠加这些结果可得单元等效结点荷载矩阵为 22.56.25157.5143.75EFkNkN mkNkN m【例题3-4】图3-19所示交叉梁系，已知各梁：l=4m ,4244341.13 10,0.084,8.575 10,1.2607 1

45、0,pGMPa AmImIm43 10,EMPa 局部坐标 如图箭头所示。试求图示各单元的局部坐标下的单元刚度矩阵。x33333232412.863 10;25.725 10.3.561 106129.64710;4.823 10/;pEIEIkN mkN mllGIkN mlEIEIkNkN mll45xyzoxyzo解：由已知条件可知单元的刚度相同，可得 由此根据式（3-50b）则得4.823kN/09.6474.823kN/09.64703.561003.56109.647025.7259.647012.8634.823kN/09.6474.823kN/09.64703.561003.56109.647012.8639.647025.725kkkkmkNmkNkN mkN mkNkN mkNkN mmkNmkNkN mkN mkNkN mkNkN m结束