第1章-线性空间与线性映射ppt课件.ppt

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1、第第1 1章章 线性空间与线性空间与线性映射线性映射 本章将介绍两个内容，线性空间与本章将介绍两个内容，线性空间与线性映射线性映射，它们是矩，它们是矩阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念线性空间是阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念线性空间是线性代数中向量空间概念的推广，而线性代数中向量空间概念的推广，而线性映射是研究线性空线性映射是研究线性空间之间关系的主要工具间之间关系的主要工具. 线性映射又与矩阵相对应，因此研究线性映射又与矩阵相对应，因此研究线性映射的问题又可转化为研究矩阵的相关关系线性映射的问题又可转化为研究矩阵的相关关系.1.1 1.1 线性空间线性空间 在线性代数中，我们

2、把在线性代数中，我们把n元有序数组称为元有序数组称为n维向量，维向量， 并并对对n维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下满足八条基本的运算规律，称为满足八条基本的运算规律，称为n维向量空间事实上，我维向量空间事实上，我们不难发现，还有许多集合，比如们不难发现，还有许多集合，比如n阶方阵的全体，关于矩阶方阵的全体，关于矩阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律这阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律这里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一个共里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一个共同点，就是在非空集

3、合与数域同点，就是在非空集合与数域P上定义了两种运算，且这两上定义了两种运算，且这两种运算满足八条性质将此抽象可给出线性空间的概念种运算满足八条性质将此抽象可给出线性空间的概念1.1.1 线性空间的概念线性空间的概念 下面看一些例子下面看一些例子 注意注意在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而得到不同的线性空间得到不同的线性空间练习练习 P2 例例1.1.10 对于线性空间中零元素与负元素有如下性质对于线性空间中零元素与负元素有如下性质1.1.2 线性空间的性质线性空间的性质 设设V为数域为数域P上的线性空间，上的线性空间， ，进一步可证明，进一步

4、可证明如下性质如下性质 PkV , 1.1.3 线性空间中向量的线性相关性线性空间中向量的线性相关性 一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向量可由这组向量中其他向量线性表示，反之，如果这组向量量可由这组向量中其他向量线性表示，反之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必线性相关不难推知，线性无具有这一性质，则这组向量必线性相关不难推知，线性无关的向量组，其中任一向量都不能由这组向量中其他向量线关的向量组，其中任一向量都不能由这组向量中其他向量线性表示性表示. P4 例题例题1.1.11 例题例题1.1.12 n维向量空间维向量空间Rn及

5、其子空间的基与维数的概念，可以推及其子空间的基与维数的概念，可以推广到一般的线性空间中广到一般的线性空间中1.2.1 基与维数的概念基与维数的概念 若线性空间若线性空间V中能求得任意个数的线性无关的向量，则中能求得任意个数的线性无关的向量，则称称V为为无限维的线性空间无限维的线性空间本书主要讨论本书主要讨论有限维线性空间有限维线性空间 1.2 1.2 线性空间的基与维数线性空间的基与维数 例例1.2.3 零空间的维数是零零空间的维数是零 P5 例例1.2.1 例例1.2.3 （1）向量在给定基下的坐标）向量在给定基下的坐标1.2.2 坐标的概念坐标的概念 从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的

6、选取，一个从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个向量在不同基下的坐标一般是不相同的向量在不同基下的坐标一般是不相同的 （2）向量线性运算的坐标表示）向量线性运算的坐标表示 前面讲到，前面讲到， 一个向量的坐标依赖于基的选取，对于线性一个向量的坐标依赖于基的选取，对于线性空间的两个基来说，同一个向量的坐标一般是不相同的空间的两个基来说，同一个向量的坐标一般是不相同的 那那么它们之间有怎样的关系呢么它们之间有怎样的关系呢? 下面讨论这个问题下面讨论这个问题 （1）基变换、过渡矩阵的概念）基变换、过渡矩阵的概念 以下我们来讨论，一个向量关于不同的基的坐标的关系以下我们来讨论，一个向量关于不

7、同的基的坐标的关系 1.2.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 （2）坐标变换公式）坐标变换公式1.2.4 过渡矩阵的性质过渡矩阵的性质 由此可见，我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线由此可见，我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线性代入过程性代入过程 过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系，这是一过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系，这是一个很重要的概念，下面进一步讨论过渡矩阵的一些性质个很重要的概念，下面进一步讨论过渡矩阵的一些性质 . 前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐标本节将对线性空间的子空间做一些介绍标本节将对线

8、性空间的子空间做一些介绍1.3.1 线性子空间的概念线性子空间的概念 定义定义1.3.1设设W是线性空间是线性空间V的一个非空子集合，如果的一个非空子集合，如果W对于对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称间，则称W是是V的的线性子空间线性子空间 . 根据上述定义，要验证线性空间根据上述定义，要验证线性空间V的非空子集合的非空子集合W是是V的的子空间，需验证子空间，需验证W对于对于V中运算封闭且满足运算规律（中运算封闭且满足运算规律（3）、）、(4)即可因为运算规律（即可因为运算规律（1）、（）、（2）、（）、（5）、（）、（6）、

9、）、（7）、（）、（8）显然是成立的，而由线性空间的性质可知，只）显然是成立的，而由线性空间的性质可知，只要要W对于对于V中运算封闭，运算规律（中运算封闭，运算规律（3）、）、(4)也就自然满足，也就自然满足，故有下面定理故有下面定理 .1.31.3线性子空间线性子空间 定理定理1.3.1线性空间线性空间V的非空子集的非空子集W构成构成V的子空间的充的子空间的充分必要条件是：分必要条件是： W对于对于V中的线性运算封闭中的线性运算封闭 根据上述定理，设根据上述定理，设V是线性空间，是线性空间，0为为V的零元素，那么的零元素，那么W=0就是就是V的一个子空间的一个子空间 当然当然V也是也是V的子

10、空间的子空间P10 例例1.3.41.3.2 子空间的交与和子空间的交与和确定交空间一组基的基本方法：确定交空间一组基的基本方法： 前面给出了子空间的定义，并讨论了子空间的交与和，前面给出了子空间的定义，并讨论了子空间的交与和，为了对子空间有进一步的了解，我们将深入讨论子空间的基为了对子空间有进一步的了解，我们将深入讨论子空间的基和维数和维数 .1.3.3 子空间的基和维数子空间的基和维数P11 定理定理1.3.5 以下我们将这一部分做一个小结以下我们将这一部分做一个小结练习练习 P12 例例1.3.5第四节第四节 线性映射（自学）线性映射（自学）主要内容：主要内容：一、线性映射一、线性映射二

11、、线性映射的矩阵表示二、线性映射的矩阵表示三、线性映射的运算（三、线性映射的运算（* *）四、不变子空间（四、不变子空间（* *）一、线性映射（变换）的定义及性质一、线性映射（变换）的定义及性质则称则称T T是从是从V V到到W W的一个线性映射或线性算子。的一个线性映射或线性算子。设设V,WV,W是数域是数域F F上的两个线性空间，上的两个线性空间，T T是从是从V V到到W W的一个的一个变换（或映射），如果对于变换（或映射），如果对于当当 V=WV=W时时, T, T也称为也称为V V上的一个线性变换。上的一个线性变换。212121)(,TxTxxxTFVxx成立例例1 1 恒等变换恒等

12、变换例例2 0-2 0-变换变换线性变换举例：线性变换举例：xTxxxVVT:00:TxxVVT例例3 3 求导运算是多项式空间求导运算是多项式空间P Pn n x x 上的线性变换。上的线性变换。例例4 4 定义在闭区间定义在闭区间a,ba,b上的所有连续函数的集合上的所有连续函数的集合Ca,bCa,b是一是一个线性空间，则个线性空间，则Ca,bCa,b的积分运算是线性变换。的积分运算是线性变换。)( )(:,)()(0 xpxpxPxPTCaxaxpxpxPnndxdniiiin ,)(,)()(baCxfdxxfxfTxa线性映射（变换）线性映射（变换） 有以下性质：有以下性质：（3 3

13、）T T将将V V中的线性相关向量组映射为中的线性相关向量组映射为W W中的线性相中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W W中的中的线性无关向量组；线性无关向量组；（4 4）设）设 则则并且并且WVT:;)() 1 (WVT; )()()2(TT,1VV .dim)(dim11VVT,)(1WVT线性变换的值域与核线性变换的值域与核设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，定义的一个线性变换，定义T T的值域的值域R(T)R(T)与核与核N (T)N (T)分别为分别为设设A A是是n n阶矩阵，阶矩阵，A A的值域的值

14、域R(A)R(A)与核与核N (A)N (A)分别为分别为-T-T的全体像组成的集合的全体像组成的集合-零向量原像组成的集合零向量原像组成的集合,)(VxTxyTR0:)(TxVxTN0:)(,)(AxRxANRxAxyARnn实例实例求导运算求导运算T T在多项式空间在多项式空间p pn n x x 上的值空间上的值空间R(T)R(T)与与核空间核空间N (T)N (T)分别为分别为R(T)=L1 , x , x2 , , x n-1 N(T)=P(1)(1) T T的值域的值域R(T)R(T)与核与核N (T)N (T)都是都是V V的子空间；的子空间； (3) dim(R(T)+dim(

15、N(T)=n.则则定理：设定理：设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换， 是是n n维线性空间维线性空间V V的基的基，分别称为象子空间，核子空间；分别称为象子空间，核子空间；象子空间的维数象子空间的维数dim R(T) dim R(T) 称为称为T T的秩，核子空的秩，核子空间的维数称为间的维数称为T T的零度（或亏）的零度（或亏）),()()2(21nTTTLTRn,21设设T T是是n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换，是是n n维线性空间维线性空间V V的基，的基，称称A A为为T T在基在基 下的矩阵。下的矩阵。二、线性变

16、换的矩阵表示二、线性变换的矩阵表示（2 2）给定）给定n n维线性空间维线性空间V V的基后，的基后， V V上的线性变换上的线性变换与与n n阶矩阵之间存在一一对应关系。阶矩阵之间存在一一对应关系。基向量的象可以被基线性表出，即基向量的象可以被基线性表出，即说明说明（1 1）矩阵矩阵A A的第的第i i列恰是列恰是 的坐标；的坐标；n,21nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111nnijaA)(记ATTTnnn),(),(),(21121iTn,21（4 4）设）设n n维线性空间维线性空间V V的一个线性变换的一个线性变换T T在基在基下的矩阵为

17、下的矩阵为且向量且向量 在该基下的坐标在该基下的坐标为为则则在该基下的坐标为在该基下的坐标为是是n n维线性空间维线性空间V V的基，的基，（3 3）设）设T T1 1，T T2 2是是n n维线性空间维线性空间V V的两个线性变换，的两个线性变换，T T1 1，T T2 2在该基在该基下的矩阵为下的矩阵为则则T T1 1+T+T2 2，kTkT1 1,T,T1 1T T2 2，T T-1-1在该基下在该基下矩阵分别为矩阵分别为n,21n,21,BA1,AABkABA,)(nnijaAT,21Tnxxx.,21TnxxxA（5 5）设）设 是纯量多项式，是纯量多项式，T T为为V V中的线性变

18、换，且对中的线性变换，且对V V的基的基 有有 则则V V的线性变换的线性变换f(T)f(T)在该基下的矩阵为：在该基下的矩阵为： 其中其中f(A)f(A)称为矩阵称为矩阵A A的多项式。的多项式。 mmmmatatatatf1110)(n,21ATTTnnn),(),(),(21121,)(1110IaAaAaAaAfmmmm例例1 1、试确定在多项式空间、试确定在多项式空间P Pn n x x 上的求导运算上的求导运算T T分别在下列两组基下的表示矩阵分别在下列两组基下的表示矩阵说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般是不同的，它们之间的关系是相

19、似矩阵是不同的，它们之间的关系是相似矩阵.-P18.-P18定理定理1.4.71.4.7。,1112321nnxexexee，）（!,2,1212321nxxxnn，！）（0000000000020000010nA00000100000010000010B例例2 2、在、在R R3 3中线性变换中线性变换T T将基将基 变为基变为基其中其中（1 1）求）求T T在基在基 下的表示矩阵；下的表示矩阵；（2 2）求向量）求向量 及及在基在基 下的坐标下的坐标解（解（1 1）依题意）依题意则则（2 2）设）设则则练习练习P23P23：7, 87, 8321,321,TTT) 1, 0 , 1 (,)

20、 1, 2 , 0(,) 1, 1 , 1 (321TTT)2, 3 , 0(,) 1, 1 , 0(,)0 , 1 , 1 (321321,T)3 , 2 , 1 ()(T321,AT),(),(),(321321321),(),(3211321A332211xxx321321),(xxx1321321),(xxx321321xxxAyyy例例4 4、设、设 的两个子空间为的两个子空间为试将试将 表示为生成子空间表示为生成子空间提示：首先将提示：首先将表示为生成子空间：表示为生成子空间：方程方程的基础解系为的基础解系为22R0,432143211xxxxxxxxAAV),(212BBspan

21、V ,31011B,10112B21VV 1V04321xxxx,1001,0101,0011321它们对应着它们对应着 的一组基：的一组基：即即从而从而求得求得5 5个矩阵对应的个矩阵对应的5 5个向量的一个极大无关组即可。个向量的一个极大无关组即可。1V,00111A,01012A,10013A),(3211AAAspanV ),(2132121BBAAAspanVV 线性空间是解析几何中空间概念的推广，然而在线性空线性空间是解析几何中空间概念的推广，然而在线性空间中缺少向量的度量的概念，例如向量的长度与夹角间中缺少向量的度量的概念，例如向量的长度与夹角 我们我们将在本节中引入这些重要的概

22、念将在本节中引入这些重要的概念 .1.4 1.4 内积空间内积空间1.4.1 内积的定义与性质内积的定义与性质 线性空间中确定了向量的长度与向量的夹角之后，就可线性空间中确定了向量的长度与向量的夹角之后，就可以对向量的正交性进行讨论了以对向量的正交性进行讨论了 例例1.4.6 零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交 .1.4.2 向量的正交性与施米特（向量的正交性与施米特（Schmidt）正交化方法）正交化方法1.4.3 空间的正交分解空间的正交分解1.4.4 线性空间的同构线性空间的同构 线性空间实质上是一个带有两个特殊运算的集合，至于集线性空间实质上是一个带有两个特殊运算的集合，至于集合中的元素是什么，并不重要因此，从这个意义上看，同构合中的元素是什么，并不重要因此，从这个意义上看，同构的线性空间是一致的的线性空间是一致的 同构映射满足如下性质同构映射满足如下性质