2020年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷（文科） （解析版）.doc

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1、2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1已知集合P|x|x1|1，xR|，Qx|xN，则PQ等于（）APBQC1，2D0，1，22已知复数z满足（3+3i）z3i，则z（）A32-32iB34-34iC32+32iD34+34i3设非零向量a，b，c满足|a|=|b|=33|c|，a+b=c，则a与b的夹角为（）A150B120C60D3044张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A12B13C23D345平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，

2、b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b6函数y=cos(4x+23)图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（）A16B8C4D27双曲线x2-y24=1的两条渐近线与直线x3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A2x-y02x+y00x3B2x-y02x+y00x3C2x-y02x+y00x3D2x-y02x+y00x38若sin2=14且（4，2），则cossin的值是（）A32B34C-32D-349甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是（）A甲是教师，乙是

3、医生，丙是记者B甲是医生，乙是记者，丙是教师C甲是医生，乙是教师，丙是记者D甲是记者，乙是医生，丙是教师10过椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是（）A(14，94)B(23，1)C(12，23)D(0，12)11已知空间几何体ABCD是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A，B为下底面圆直径的两个端点，C，D为上底面圆直径的两个端点，且ABCD，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体ABCD可以无缝的穿过下列哪个图形（）A椭圆B等腰直角三角形C正三角形D正方形12有限数

4、列Aa1，a2，an，Sn为其前n项和，定义S1+S2+Snn为A的“凯森和”，如有504项的数列a1，a2，a504的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，a1，a2，a504的“凯森和”为（）A2014B2016C2018D2020二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上13已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）2x3，则当x0时，f（x） 14已知函数f(x)=f(3)cosx+sinx，则f(3)= 15抛物线yax2的焦点恰好为双曲线y2x22的一个焦点，则a 16在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a+b

5、+c=2+1，sinA+sinB=2sinC，则c ；若C=3，则ABC的面积S 三、解答题：本题共5小题，满分60分（17题至21题12分，选修题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形（）求证点M为边BC的中点；（）求C到平面AMC1的距离；（）求二面角MAC1C的大小18等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求an的公比q；（2）若a1a33，求Sn19某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19128329330531432340

6、1合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差20设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22+y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP=2NM（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x3上，且OPPQ=1证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F21已知函数f（x）lnx+x+1，g（x）x2+2x（1）求函数yf（x）g（x）的极值；（2）若m为整数，对任意的x0都有f（x）mg（x）0成立，求实数m的最小值（22，23为二选一的选修题，10分）22已知曲线C1：x=-4+costy=3

7、+sint（t为参数），C2：x=8cosy=3sin（为参数）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x=3+2ty=-2+t（t为参数）距离的最小值23若x，y，zR，a0，b0，c0，求证：b+cax2+c+aby2+a+bcz22（xy+yz+zx）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在客观题答题卡上.1已知集合P|x|x1|1，xR|，Qx|xN，则PQ等于（）APBQC1，2D0，1，2【分析

8、】先解出集合P的解集，再根据x属于自然数的意义，求出它们的交集解：Px|x1|1，xRx|0x2Qx|xN0，1，2PQ0，1，2故选：D2已知复数z满足（3+3i）z3i，则z（）A32-32iB34-34iC32+32iD34+34i【分析】将复数方程变形，然后化简化为a+bi的形式解：z=3i3+3i=3i(3-3i)12=3i+34=34+34i故选：D3设非零向量a，b，c满足|a|=|b|=33|c|，a+b=c，则a与b的夹角为（）A150B120C60D30【分析】根据题意，设a与b的夹角，且|a|t，（t0），则有|b|t，|c|=3t，由a+b=c可得（a+b）2=c2，代

9、入数据变形可得t2+2t2cos0，解可得cos的值，结合的范围，分析可得答案解：根据题意，设a与b的夹角，且|a|t，（t0），又由|a|b|=33|c|，则|b|t，|c|=3t，若a+b=c，则有（a+b）2=c2，变形可得a2+2ab+b2=c2，即t2+2t2cos0，解可得：cos=-12，又由0180，则120；故选：B44张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A12B13C23D34【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可解：从1，2，3，4中随机取出两个不同

10、的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为26=13故选：B5平面平面的一个充分条件是（）A存在一条直线a，a，aB存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线a，b，a，b，a，bD存在两条异面直线a，b，a，b，a，b【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的【解答】证明：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不

11、一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确6函数y=cos(4x+23)图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（）A16B8C4D2【分析】根据三角函数对称性质，转化为周期关系进行求解即可解：三角函数中，最近的对称中心与对称轴间的距离为T4，T=24=2，则T4=8，故选：B7双曲线x2-y24=1的两条渐近线与直线x3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A2x-y02x+y00x3B2x-y02x+y00x3C2x-y02x+y00x3D2x-y02

12、x+y00x3【分析】先求出双曲线x2-y24=1的两条渐近线方程为y2x，然后作出三条直线围成的区域，再思考如何取不等号即可解：双曲线x2-y24=1的两条渐近线方程为y2x，与直线x3围成的三角形区域分布在第一、四象限和x轴正半轴，如下图中OAB所示，表示该区域的不等式组是2x-y02x+y00x3，故选：A8若sin2=14且（4，2），则cossin的值是（）A32B34C-32D-34【分析】通过已知条件，利用二倍角公式，角的范围，确定sin+cos的符号，把要求的结论平方，代入求解即可解：(4，2)，sincos0，cossin0，sin2=14，（cossin）21sin21-1

13、4=34，cossin=-32，故选：C9甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小根据以上情况，下列判断正确的是（）A甲是教师，乙是医生，丙是记者B甲是医生，乙是记者，丙是教师C甲是医生，乙是教师，丙是记者D甲是记者，乙是医生，丙是教师【分析】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生故选：C10过椭圆C：x2a2+y2b2

14、=1（ab0）的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是（）A(14，94)B(23，1)C(12，23)D(0，12)【分析】先作出图形，则易知|AF2|a+c，|BF2|=a2-c2a，再由BAF2是直线的倾斜角，易得ktanBAF2=|BF2|AF2|=a2-c2a(a+c)，然后通过 13k12可得 13a2-c2a(a+c)12，再分子分母同除a2得 131-e21+e12求解解：如图所示：|AF2|a+c，|BF2|=a2-c2a，ktanBAF2=|BF2|AF2|=a2-c2a(a+c)，又13k1

15、2，13a2-c2a(a+c)12，131-e21+e12，12e23，故选：C11已知空间几何体ABCD是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中A，B为下底面圆直径的两个端点，C，D为上底面圆直径的两个端点，且ABCD，圆柱底面半径是1，高是2，则空间几何体ABCD可以无缝的穿过下列哪个图形（）A椭圆B等腰直角三角形C正三角形D正方形【分析】根据几何体ABCD在地面的投影为圆，半径为1，故而可得其能无缝穿过正方形解：根据条件可知该空间几何体ABCD在底面的投影记为圆柱底面，因为圆柱底面为圆，故而该几何体可无缝穿过边长为2的正方形，故选：D12有限数列Aa1，a2，an，Sn为其前n项和，定义S1

16、+S2+Snn为A的“凯森和”，如有504项的数列a1，a2，a504的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，a1，a2，a504的“凯森和”为（）A2014B2016C2018D2020【分析】本题根据根据“凯森和”的定义，分别写出两个数列的“凯森和”的定义式，然后进行比较，找出两个定义式的联系，进行转化并加以计算可得正确选项解：由题意，可知对于504项的数列a1，a2，a504，根据“凯森和”的定义，有S1+S2+S504504=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a504)504=2020，则a1+（a1+a2）+（a1+a2+an）2020504，对于505项的数列2，a1，a2

17、，a504，根据“凯森和”的定义，有S1+S2+S505505=2+(2+a1)+(2+a1+a2)+(2+a1+a2+a504)505 =2505+a1+(a1+a2)+(a1+a2+a504)505 =2505+2020504505 2018故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上13已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）2x3，则当x0时，f（x）2x3【分析】根据题意，设x0，则x0，由函数的解析式可得f（x）2x3，结合函数的奇偶性分析可得答案解：根据题意，设x0，则x0，有f（x）2（x）32x3，又由f（x）为偶函数，

18、则f（x）f（x）2x3；即f（x）2x3；故答案为：2x314已知函数f(x)=f(3)cosx+sinx，则f(3)=1【分析】先对原函数求导，然后代入3，求出f(3)，则f（3）可求解：由已知f(x)=-f(3)sinx+cosx，f(3)=-f(3)32+12f(3)=2-3f(x)=(2-3)cosx+sinxf(3)=(2-3)12+32=1故答案为：115抛物线yax2的焦点恰好为双曲线y2x22的一个焦点，则a18或-18【分析】将双曲线化成标准方程，可得它的焦点在y轴且a2b22，得它的焦点坐标为（0，2）或（0，2）抛物线yax2化成标准方程，得它的焦点为F（0，14a），

19、结合题意得14a=2或14a=-2，解之即得实数a的值解：双曲线y2x22化成标准方程，得y22-x22=1双曲线的焦点在y轴，且a2b22因此双曲线的半焦距c=a2+b2=2，得焦点坐标为（0，2）或（0，2）抛物线yax2即x2=1ay，得它的焦点为F（0，14a），且F为双曲线的一个焦点14a=2或14a=-2，解之得a=18或-18故答案为：18或-1816在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a+b+c=2+1，sinA+sinB=2sinC，则c1；若C=3，则ABC的面积S312【分析】先利用正弦定理把题设等式中角的正弦转化成边的关系，进而与a+b+c=2+1联立

20、求得c，再利用余弦定理求得ab的值，最后利用三角形面积公式求得ABC的面积解：依题意及正弦定理得a+b=2c，且a+b+c=2+1，因此c+2c=2+1，c1，当C=3时，c2a2+b22abcosCa2+b2ab1，（a+b）23ab1又a+b=2，因此23ab1，ab=13，则ABC的面积S=12absinC=1213sin3=312故答案为：1；312三、解答题：本题共5小题，满分60分（17题至21题12分，选修题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形（）求证点M为边B

21、C的中点；（）求C到平面AMC1的距离；（）求二面角MAC1C的大小【分析】（）根据等腰直角三角形，可得AMC1M且AMC1M，根据三垂线定理可知AMCM，而底面ABC为边长为a的正三角形，则即可证得点M为BC边的中点；（）过点C作CHMC1，根据线面垂直的判定定理可知AM平面C1CM，CH平面C1AM，则CH即为点C到平面AMC1的距离，根据等面积法可求出CH的长；（）过点C作CIAC1于I，连HI，根据三垂线定理可知HIAC1，根据二面角的平面角的定义可知CIH是二面角MAC1C的平面角，在直角三角形ACC1中利用等面积法可求出CI，即可求出二面角MAC1C的大小解：（）AMC1为以点M为

22、直角顶点的等腰直角三角形，AMC1M且AMC1M三棱柱ABCA1B1C1，CC1底面ABCC1M在底面内射影为CM，AMCM底面ABC为边长为a的正三角形，点M为BC边的中点（）过点C作CHMC1，由（）知AMC1M且AMCM，AM平面C1CMCH在平面C1CM内，CHAM，CH平面C1AM由（）知，AMC1M=32a，CM=12a，CC1BC，CC1=34a2-14a2=22aCH=C1CCMC1M=22a12a32a=66a点C到平面AMC1的距离为底面边长为66a（）过点C作CIAC1于I，连HI，CH平面C1AM，HI为CI在平面C1AM内的射影，HIAC1，CIH是二面角MAC1C的

23、平面角，在直角三角形ACC1中CI=CC1ACAC1=22aaa2+(22a)2=33a，sinCIH=CHCI=66a33=22 CIH45，二面角MAC1C的大小为4518等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求an的公比q；（2）若a1a33，求Sn【分析】（1）运用等差数列中项性质，结合等比数列通项公式，解方程可得公比q；（2）运用等比数列通项公式，解方程可得首项，再由等比数列求和公式，化简计算可得所求和解：（1）S1，S3，S2成等差数列，可得2S3S1+S2，可得2（a1+a2+a3）2a1+a2，即有a2+2a30，q=a3a2=-12；（2）a1a3

24、3，可得a1-14a13，解得a14，则Sn=a1(1-qn)1-q=4(1-(-12)n)1-(-12)=831（-12）n19某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为401921；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：19+28

25、3+293+305+314+323+4020=30这20名工人年龄的方差为S2=120（1930）2+3（2830）2+3（2930）2+5（3030）2+4（3130）2+3（3230）2+（4030）212.620设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22+y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP=2NM（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x3上，且OPPQ=1证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（2）设Q（3，m），P（2co

26、s，2sin），（02），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足NP=2NM可得（xx0，y）=2（0，y0），可得xx00，y=2y0，即有x0x，y0=y2，代入椭圆方程x22+y21，可得x22+y22=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y22；（2）证明：设Q（3，m），P（2cos，2sin），（02），OPPQ=1，可得（2cos，2sin）（3-2cos，m-2sin）1，即为32cos2cos2+2m

27、sin2sin21，当0时，上式不成立，则02，解得m=3(1+2cos)2sin，即有Q（3，3(1+2cos)2sin），椭圆x22+y21的左焦点F（1，0），由PFOQ=（1-2cos，-2sin）（3，3(1+2cos)2sin）3+32cos3（1+2cos）0可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F另解：设Q（3，t），P（m，n），由OPPQ=1，可得（m，n）（3m，tn）3mm2+ntn21，又P在圆x2+y22上，可得m2+n22，即有nt3+3m，又椭圆的左焦点F（1，0），PFOQ=（1m，n）（3，t）3+3mnt3+3m33m0，则PFOQ，可得过点P且垂直于

28、OQ的直线l过C的左焦点F21已知函数f（x）lnx+x+1，g（x）x2+2x（1）求函数yf（x）g（x）的极值；（2）若m为整数，对任意的x0都有f（x）mg（x）0成立，求实数m的最小值【分析】（1）令h（x）f（x）g（x）lnx+1x2x（x（0，+）利用导数研究其单调性极值即可得出（2）令f（x）mg（x）0成立，g（x）x2+2x0mlnx+x+1x2+2x，令u（x）=lnx+x+1x2+2x，利用导数研究其单调性极值即可得出解：（1）令h（x）f（x）g（x）lnx+x+1x22xlnx+1x2x（x（0，+）h（x）=1x-2x1=-(2x-1)(x+1)x可知：当x=1

29、2时，函数h（x）取得极大值，h（12）ln12+1-14-12=-ln2+14h（x）无极小值（2）令f（x）mg（x）0成立，g（x）x2+2x0mlnx+x+1x2+2x，令u（x）=lnx+x+1x2+2x，u（x）=-(x+1)(x+2lnx)(x2+2x)2，令v（x）x+2lnx，则v（x）在x（0，+）上单调递增v（12）=12-2ln20，v（1）10函数v（x）存在唯一零点x0(12，1)，使得x0+2lnx00u（x）存在极大值即最大值，u（x0）=lnx0+x0+1x02+2x0=12x0(12，1)，m1整数m的最小值为1一、选择题22已知曲线C1：x=-4+cost

30、y=3+sint（t为参数），C2：x=8cosy=3sin（为参数）（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x=3+2ty=-2+t（t为参数）距离的最小值【分析】（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数

31、公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值解：（1）把曲线C1：x=-4+costy=3+sint（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y3）21，所以此曲线表示的曲线为圆心（4，3），半径1的圆；把C2：x=8cosy=3sin（为参数）化为普通方程得：x264+y29=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=2代入到曲线C1的参数方程得：P（4，4），把直线C3：x=3+2ty=-2+t（t为参数）化为普通方程得：x2y70，设Q的坐标为Q（8cos，3sin），故M（2+4cos，2+32sin）所以M到直线的距

32、离d=|4cos-3sin-13|5=|5sin(-)-13|5，（其中sin=45，cos=35）从而当cos=45，sin=-35时，d取得最小值85523若x，y，zR，a0，b0，c0，求证：b+cax2+c+aby2+a+bcz22（xy+yz+zx）【分析】由重要不等式m2+n22mn（当且仅当mn取得等号），结合不等式的可加性，即可得证【解答】证明：由a0，b0，c0，可得b+cax2+c+aby2+a+bcz2（bax2+aby2）+（cax2+acz2）+（cby2+bcz2）2xy+2xz+2yz2（xy+xz+yz）当且仅当b2x2a2y2，c2x2a2z2，c2y2b2z2取得等号