第二讲--证明不等式的基本方法ppt课件.ppt

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1、第1页 共 42 页第二讲第二讲 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法第2页 共 42 页回归课本回归课本第3页 共 42 页1.比较法比较法(1)比差法的依据是比差法的依据是:a-b0ab.步骤是步骤是:作差作差变形变形判断判断差的符号差的符号.变形是手段变形是手段,变形的目的是判断差的符号变形的目的是判断差的符号,常用的常用的变形方法有变形方法有:配方配方法法 通分通分 因式分解因式分解等等,变形到可判断符变形到可判断符号为止号为止.(2)比商法比商法:若若B0,欲证欲证AB,只需证只需证1,其步骤是其步骤是:作商作商变形变形判断商值与判断商值与1的大小的大小.AB第4页 共 42 页

2、2.直接证明中最基本的两种证明方法是直接证明中最基本的两种证明方法是综合法综合法和和分析法分析法(1)综合法综合法定义定义:利用已知条件和某些数学定义利用已知条件和某些数学定义 公理公理 定理等定理等,经过经过一系列的一系列的推理论证推理论证,最后推导出所要证明的结论最后推导出所要证明的结论成立成立.框图表示框图表示:第5页 共 42 页 (2)分析法分析法定义定义:从从要证明的结论要证明的结论出发出发,逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的充分条件充分条件,直至最后直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件件(已知条件已知条件 定理定理 定义定

3、义 公理等公理等)为止为止.框图表示框图表示:第6页 共 42 页3.反证法的证明步骤反证法的证明步骤第一步第一步 作出与所证不等式作出与所证不等式相反的假设相反的假设;第二步第二步 从条件和假设出发从条件和假设出发,应用正确的推理方法应用正确的推理方法,推出推出矛盾的矛盾的结论结论,否定否定假设假设,从而证明原不等式成立从而证明原不等式成立.在证明不等式时在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放大有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小或缩小)以利化简以利化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显为明显,从而得到欲证不等式成立从而得到欲

4、证不等式成立,这种方法称为放缩法这种方法称为放缩法.第7页 共 42 页考点陪练考点陪练1.已知已知a0,-1babab2 B.ab2abaC.abaab2 D.abab2a答案答案:D第8页 共 42 页2.要证明要证明下列证明方法中下列证明方法中,最最为合理的是为合理的是( )A.综合法综合法 B.归纳法归纳法C.分析法分析法 D.反证法反证法答案答案:C372 5,第9页 共 42 页3.已知已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法求证用反证法求证a0,b0,c0时的反设为时的反设为( )A.a0,b0,c0,c0C.a、b、c不全是正数不全是正数 D.abc0,a20,

5、an0),当且仅当当且仅当a1=a2=an时等号成立时等号成立;柯西不等式柯西不等式:(a1b1+a2b2+anbn)2(a21+a22+a2n)(b21+b22+b2n)(aibiR,i=1,2,n),当且仅当当且仅当a1=a2=an=0或或bi=kai时时(k为常数为常数,i=1,2,n)等号成立等号成立.这两个不等式是证这两个不等式是证明其他不等式和求多元函数值的有力工具明其他不等式和求多元函数值的有力工具,使用时要注意使用时要注意等号成立的条件等号成立的条件.使用柯西不等式的重要技巧就是通过常使用柯西不等式的重要技巧就是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件数构造使用柯西不等式成立的条件

6、.第35页 共 42 页错源二错源二忽视柯西不等式中等号成立的条件忽视柯西不等式中等号成立的条件【典例【典例2】 已知已知x0,且满足且满足3x+4y=13,求求x2+4y2的最小值的最小值.错解错解 由柯西不等式可知由柯西不等式可知:(32+22)x2+(2y)2(3x+4y)2=169.13(x2+4y)2169.x2+4y213.x2+4y2的最小值为的最小值为13.第36页 共 42 页 剖析剖析 本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了本题错误的原因在于应用柯西不等式解题时忽视了公式中等号成立的条件公式中等号成立的条件.事实上等号成立需满足三点事实上等号成立需满足三点:x0;3x

7、+4y=13;32y=2x,即即x=3y.解解得得x=3,显显然不满足然不满足x0.第37页 共 42 页22222222222in22m23x4y13,2yx4yx2yx x6x13x34x313.x133,213321313130,x0, x4y031444313169.4416x4y9.4xx正解又当时的最小值为第38页 共 42 页技法技法均值不等式法均值不等式法22221116 3a,b,c,:abca,b,c,.abc【典例】已知均为正数证明并确定为何值时 等号成立第39页 共 42 页2313223222232223221113(:a,b,c,abc3 abc,),1119()1

8、113()9(abc)abcabcabcabcabcabcabc解 解法一 因为均为正数 由均值不等式得所以故第40页 共 42 页22332233143()9()2 276 33()9()3,.abc,.,.abc,.abcabcabcabc又所以原不等式成立当且仅当时式和式等号成立当且仅当时 式等号成立即当且仅当时原式等号成立第41页 共 42 页解法二解法二:因为因为a,b,c均为正数均为正数,由基本不等式得由基本不等式得a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac.所以所以a2+b2+c2ab+bc+ac第42页 共 42 页222222214222abcabbcac3111111111111.abc,abc,abbcac3,.a336 33bc,.abcabbcacabcbcabac同理故所以原不等式成立当且仅当时式和式等号成立 当且仅当时式等号成立即当且仅当时原式等号成立