高等数学-中值定理ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物知识回顾：知识回顾：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 1.若函数若函数f (x)在点在点x0可导，则可导，则,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ,)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 2. 函数函数f (x)在点在点x0可导的充要条件是可导的充要条件是 f (x)在点在点x0的左右导

2、数均存在且相等。的左右导数均存在且相等。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0 xxyoy=f(x)且在且在x0点可导，若对任意点可导，若对任意xU(x0)有有f (x) f(x0) ，则则设函数设函数 f (x)在点的某邻域在点的某邻域U(x0)内有定义，内有定义，. 0)(0 xff (x) f(x0) ，证明：证明：对任意对任意xU(x0)由由f (x) f(x0)得得f (x) f(x0) 0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，

3、证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物由由f (x)在在x0处可导，知处可导，知000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 当当xx0时，时，由由 f (x) f(x0) 00 0 0 0 00)()(xxxfxf 00)()(lim0 xxxfxfxx )(0 xf00)()(xxxfxf 00)()(lim0 xxxfxfxx )(0 xf)()()(000 xfxfxf , 0)(0 xf0)(0 xf, 0)(0 xf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物f(x)在在x0点可导，点

4、可导，对任意对任意xU(x0)有有f (x) f(x0) ，则则. 0)(0 xf注：若注：若x0(a,b), f (x)在在x0可导，可导， 在区间在区间(a,b)内内f (x)f(x0) 则则. 0)(0 xf推论：若推论：若x0(a,b), f (x)在在x0可导，可导， 在区间在区间(a,b)内的内的 最大值最大值 为为f(x0) 则则. 0)(0 xf我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物罗尔定理罗尔定理 若函数若函数 f(x)满足满足(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续(2)在开区

5、间在开区间(a,b)内可导内可导(3) f(a)= f(b)则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点,使使 2 Cabxyo)(xfy AB( (几何解释）几何解释）D0)( f我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 罗尔定理罗尔定理 若函数若函数f (x)满足：满足： (1)(1)在在 a, b 上连续；上连续； (2)(2)在在(a, b)内可导；内可导； (3) (3) f (a)=f(b)， 则至少存在一点则至少存在一点 ，使得，使得 . .( , )a b ( ) = 0f 例例1

6、 证明方程证明方程 x5 5x1=0有有且仅有且仅有一个一个小于小于1 的正实根的正实根证证 设设 f(x)= x5 5x1,则则f(x)在在0,1上连续上连续且且f(0)=1 ，f(1)=3由零点定理：由零点定理：至少存在一点至少存在一点x0(0,1)使使0)(0 xf故方程故方程x5 5x1=0有小于有小于1的正实根的正实根. .我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 罗尔定理罗尔定理 若函数若函数f (x)满足：满足： (1)(1)在在 a, b 上连续；上连续； (2)(2)在在(a, b

7、)内可导；内可导； (3) (3) f (a)=f(b)， 则至少存在一点则至少存在一点 ，使得，使得 . .( , )a b ( ) = 0f 设方程设方程x5 5x1=0另有一个小于另有一个小于1的正实根的正实根x1 得得 f(x1) = 0因因 f(x)= x5 5x1在在x0, x1(或或x1, x0)上可导，且上可导，且 f(x0) = f(x1)在在x0与与x1之间至少存在一点之间至少存在一点，使使0)( f而在而在(0,1)内内, 055)(4 xxf矛盾，矛盾，故方程故方程 x5 5x1=0有且仅有有且仅有一个一个小于小于1 的正实根的正实根我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东

8、西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 罗尔定理罗尔定理 若函数若函数f (x)满足：满足： (1)(1)在在 a, b 上连续；上连续； (2)(2)在在(a, b)内可导；内可导； (3) (3) f (a)=f(b)， 则至少存在一点则至少存在一点 ，使得，使得 . .( , )a b ( ) = 0f 例例2 设设f(x)在在0,1上连续，上连续，在在(0,1)内可导，且内可导，且f(1)0，证明至少存在一点证明至少存在一点），（ 10 0)()( ff使使 证证 设设 F(x) = x f (x)因为因为f(x)在在0,1

9、上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导，所以所以F(x)在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导，又又F(0)=0， F(1)=1 f(1)0由罗尔定理：至少存在一点由罗尔定理：至少存在一点 使使 ），（ 10 0) ( F0)()( ff即即我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物练习练习 设函数设函数 f(x)在上在上 可导可导，且，且 0f(x)0时时,.)1ln(1xxxx 证证:设设 f(t)ln(1+t)在在0,x上应用拉格朗日定理上应用拉格朗日定理得得: f(x)f

10、(0) )0)( xf即即: ln(1+x) x 11因为因为11+1+x,)0( ,x 所以所以 1x xx1x .)1ln(1xxxx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物，有，有 ，( )0gx 若函数若函数g(x)与与f (x)满足：满足：(1)(1)在在 a, b 上连续；上连续；(2)(2)在在(a, b)内可导；内可导；则则至少存在至少存在一点一点 ，使得使得 (3)(3)( , )xa b ABoXYCD( )g a( )g( )g b1( )g( )f a( )f b)()()

11、()()()( gfagbgafbf),(ba 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 罗尔定理罗尔定理 函数函数f (x)满足：满足： (1)a, b上连续；上连续； (2)(a, b)内可导；内可导； (3)f (a)=f(b)， 则则 使得使得 ),(ba 0)( f 拉格朗日拉格朗日定理定理 函数函数f (x)满足：满足： (1)a, b上连续；上连续； (2)(a, b)内可导；内可导； 则则 使得使得 ),(ba abafbff )()()( 柯西柯西定理定理 函数函数f (x), g(x) (1)a, b上连续；上连续； (2)(a, b)内可导；内可导； 且且 则则使得使得 0)( xg)()()()()()(agbgafbfgf ),(ba 若若g(x)=x， )()()()()()(agbgafbfgf abafbff )()()(若若f(b)=f(a) 0)( f我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物ACDxyo)(xfy ab1 2 BD)(bgBC)(1 g)(agA)(2 gXoY )()(xfYxgXab1 2 xoy)(xfy ABCD