人教版数学必修四第一章1.4.3 正切函数的性质和图象 经典教案.doc

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1、1.4.3正切函数的性质与图象1、 教材分析正切函数的图象和性质是人教A版高中数学必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面 二、教学目标（一）知识与技能 1 理解并掌握正

2、切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2 能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3 能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题（二）过程与方法1 通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2 利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3 经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的

3、能力；4 在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5 通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣3、 学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函

4、数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象教学难点：1 利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2 利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作图象；3 正切函数性质的简单应用五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT）六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作

5、铺垫（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集

6、合或区间表示设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周

7、期性在函数性质研究中的地位与作用（三）探究新知1性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？周期是多少？如何得到的？（）正切函数的周期是学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？是奇函数还是偶函数，为什么？，定义域关于原点对称正切函数是奇函数学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探

8、究奇偶性对探究单调性有所帮助（3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间，因为原点附近的角是我们常见的角思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在上的单调性”思考7：如何探究正切函数在上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所

9、以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到，再根据周期性将结论推广到整个定义域设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到（4）值域（1分钟）正切函数在上的值域是R正切函数的值域是R无最大值和最小值2图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的

10、性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象由于在探究单调性时就选取的，所以学生也能很容易想到先画出上的函数图象类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制图象（1）教师借助PPT，引导学生按照下列步骤作图：（5分

11、钟）作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆；选取特殊角：，分别在单位圆中作出正切线，以为例进行详细的步骤说明；描点；（纵坐标是相应的正切线）连线：当x趋近于时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解是正切函数的两条渐进线思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数的简图？学生可看出有三个点很关键（0，0），还有两条渐近线：，即“三点两线”学生回答之后，教师板演画出草图思考10：如何得到函数在上的图象？整个定义域上的图象呢？学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数的图象，称为“正切曲线”教师板演画出

12、上的草图这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知（2） 观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质定义域；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质值域为R；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质奇函数；每隔个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质周期；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质单调性，单调增区间是，没有减区间设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数

13、的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质奇函数追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是，无对称轴强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x轴的交点3例题分析（8分钟）例

14、1求函数ytan（x）的定义域、周期和单调区间教师板演讲解，说明可将x作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想例2比较大小 学生思考后，举手发言，说明理由教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想练习：（5分钟）1观察正切函数的图象，写出使不等式成立的x的集合2求函数的定义域、值域、周期和单调区间（学生板演）（四）小结1正切函数的性质与图象；2性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结（五）布置作业习题14，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上七、板书设计课题性质PPT图象