广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学（理科）试题（解析版）.doc

《广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学（理科）试题（解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学（理科）试题（解析版）.doc（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x30，xN，B1，0，1，2，3，则AB（）A0，1，2B0，1，2，3C1，0，1，2D1，0，1，2，32设复数z满足z（1i）2+i，则z=（）A12+32iB12-32iC1+3iD13i3（12x）5的展开式中含x3的系数为（）A80B80C10D104某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图根据组合图判断，下列结论正确的是（）A前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B前

2、5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D这10天学生在线学习人数在逐日增加5已知各项不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a52a2，则S6a2=（）A4B162C9D126若函数ya|x|（a0，且a1）的值域为y|0y1，则函数yloga|x|的图象是（）ABCD7椭圆C：x2a2+y2=1(a1)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为8，则a为（）A2B2C22D48某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图执行此程序框

3、图，则输出的a的值为（）A13B18C23D289如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）AMN平面ADD1A1BMNABC直线MN与平面ABCD所成角为45D异面直线MN与DD1所成角为6010已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）若MFN120，则双曲线E的离心率为（）A4B2C43D23311已知函数f（x）sin（x+）（0）的图象经过点(24，0)，一条对称轴方程为x=6则函数f（x）的周期可以是（）A34B2C4D12

4、12已知函数f(x)=lnx，x0kx+1，x0，则当k0时，函数yff（x）1的零点个数为（）A4B3C2D1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a=(3，1)，向量b=(-1，-3)，则a与b的夹角大小为 14某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是 15已知数列an中，a12，且对于任意正整数m，n都有am+naman，则数列an的通项公式是 16如图，正

5、方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G若四面体AEFG外接球的表面积为4，则正方形ABCD的边长为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分17如图，在平面四边形ABCD中，B120，AB2BAC的平分线与BC交于点E，且AE=6（1）求BEA及AC；（2）若ADC60，求四边形ABCD周长的最大值18红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其

6、产卵数与温度有关现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型yebx+a，ycx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t i=18 (xi-x)2 i=18 (ti-t)2 i=18 (zi-z)(xi-x) i=18 (yi-y)(ti-t) 252.8964616842268848.4870308表中zilnyi；z=18i=18 zi；ti=xi2；t=18i=18 ti；（1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（

7、1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34时，产卵数y的预报值（参考数据：e5.18178，e5.46235，e5.52250，e5.83340）附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线v=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=i=1n (i-)(vi-v)i=1n (i-)2，=v-19如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，ADDC，ADC120，三角形SAB是等边三角形，平面SAB平面ABCD，E，F分别为AB，AD的中点（1）求证：平面SCD平面SEF；（2）若AB2，求直线SF与平面SCD所成角的

8、正弦值20已知函数f（x）exax，其中e是自然对数的底数（1）若ae，证明：f（x）0；（2）若x0，+）时，都有f（x）f（x），求实数a的取值范围21已知抛物线C：x22y，过点A（1，1）且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N（1）求四边形MPNQ面积的取值范围；（2）记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x=-2+t1cos1y=t1sin1（t1为参数），曲线C2：x=2+t2co

9、s2y=t2sin2（t2为参数），且tan1tan21，点P为曲线C1与C2的公共点（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2cossin+100，求动点P到直线l的距离的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c都为正实数，且a+b+c3证明：（1）2a+1+2b+1+2c+133；（2）(1a-13)(1b-13)(1c-13)827参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x30，xN，B1，0，1，2，3，则AB（）A0，1，2B0，1

10、，2，3C1，0，1，2D1，0，1，2，3【分析】求出集合A，由此能求出AB解：由集合Ax|x30，xN0，1，2，所以AB0，1，2故选：A【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2设复数z满足z（1i）2+i，则z=（）A12+32iB12-32iC1+3iD13i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：z=2+i1-i=(2+i)(1+i)2=12+32i，z=12-32i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（12x）5的展开式中含x3的

11、系数为（）A80B80C10D10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数解：（12x）5展开式的通项公式为Tr+1=C5r（2x）r，令r3，得（12x）5展开式中x3的系数为C53（2）380故选：A【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题4某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图根据组合图判断，下列结论正确的是（）A前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人

12、数的增长比例的极差C这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D这10天学生在线学习人数在逐日增加【分析】根据图象逐一进行分析即可解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误对于B：前5天的增长比例极差约为15%5%10%，后5天增长比例极差约为40%20%20%，故B错误；对于C：由折线图很明显，2324的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识5已知各项不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a52a2，则S6a2=（）

13、A4B162C9D12【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出解：由题S6a2=S6a2=3(a1+a6)a2=3(a2+a5)a2=3(a2+2a2)a2=9故选：C【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题6若函数ya|x|（a0，且a1）的值域为y|0y1，则函数yloga|x|的图象是（）ABCD【分析】根据指数函数的图象和性质求出0a1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可解：|x|0，若函数ya|x|（a0，且a1）的值域为y|0y1，0a1，当x0时，数yloga|x|logax，为减函数，当x0时，数yloga|

14、x|loga（x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键7椭圆C：x2a2+y2=1(a1)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为8，则a为（）A2B2C22D4【分析】由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|2a，|BF1|+|BF2|2a，即可得出答案解：由椭圆C：x2a2+y2=1(a1)的焦点在x轴上，则椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|BF1|+|BF2|2aABF2的周长|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|BF1|+|AF2

15、|+|BF2|84a解得a2故选：B【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题8某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图执行此程序框图，则输出的a的值为（）A13B18C23D28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：模拟程序的运行，可得n1，得a8，不满足a-221Z，n2，得a13，不满足a-221Z，n3，得a18，不满足a-221Z，n4，得a23，此时，满足a-221Z，退出循环，输

16、出a的值为23故选：C【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）AMN平面ADD1A1BMNABC直线MN与平面ABCD所成角为45D异面直线MN与DD1所成角为60【分析】连结BD，A1D，可得MNA1D，得到MN平面ADD1A1，判定A正确；证明AB平面ADD1A1，得ABA1D，结合MNA1D，得MNAB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误解：如图，连结BD

17、，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MNA1D，而MN平面ADD1A1，A1D平面ADD1A1，MN平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB平面ADD1A1，则ABA1D，MNA1D，MNAB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45，故C正确；而A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45，故D错误故选：D【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题10已知双曲线E：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F，以OF

18、（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）若MFN120，则双曲线E的离心率为（）A4B2C43D233【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出MOF30然后求解双曲线的离心率即可解：因为OF为直径，点M在圆上，所以OMMF又MFN120，由圆的对称性，有MFO60，所以MOF30由渐近线斜率tanMOF=ba=33，所以离心率为e=1+(ba)2=233故选：D【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想11已知函数f（x）sin（x+）（0）的图象经过点(24，0)，一条对称轴方程为x=6则函数f（x）

19、的周期可以是（）A34B2C4D12【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论解：由6-24=2k+14T，则T=4k+2，kZ，当k0时，T=2故选：B【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）sin（x+）图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想12已知函数f(x)=lnx，x0kx+1，x0，则当k0时，函数yff（x）1的零点个数为（）A4B3C2D1【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数解：在平面直角坐标系中作出函数yf（x）（k0）的图象如图所示令ff（x）10，得ff（x）1，则f（x）0或f（x）t

20、（t1）当f（x）0时，显然存在2个零点x1=-1k，x21；当f（x）t（t1）时，存在1个零点x3故函数yff（x）1的零点个数为3故选：B【点评】本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a=(3，1)，向量b=(-1，-3)，则a与b的夹角大小为150【分析】根据向量a，b的坐标即可得出ab，|a|和|b|的值，从而可得出cosa，b=-32，从而可得出a，b夹角的大小解：cosa，b=ab|a|b|=-3-322=-32，且0a，b，a与b的夹角为150故答案为

21、：150【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是丁【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，

22、满足条件，所以被选派参加志愿者服务的是丁，故答案为：丁【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题15已知数列an中，a12，且对于任意正整数m，n都有am+naman，则数列an的通项公式是an=2n【分析】利用数列的递推关系式，通过m1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可解：数列an中，a12，且对于任意正整数m，n都有am+naman，令m1，得an+12an，则an是首项和公比均为2的等比数列，则an=2n故答案为：an=2n【点评】本小题主要考查数列以及前n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力16如图，正方形

23、ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G若四面体AEFG外接球的表面积为4，则正方形ABCD的边长为2【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积解：依题意，折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，内切球半径为r，则AGa，EG=FG=a2；记四面体内切球球心为O，如图2，则VAEFGVOEFG+VOAEF+VOAEG+VOAFG，即VA-EFG=13(SEFG+SAEF+SABG+SAFG)r，即1312a2a2a=13a2r，所以a8r；又4r2=4，即r=14，所以

24、a2故答案为：2【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分17如图，在平面四边形ABCD中，B120，AB2BAC的平分线与BC交于点E，且AE=6（1）求BEA及AC；（2）若ADC60，求四边形ABCD周长的最大值【分析】（1）在ABE中，由正弦定理可求sinAEB的值，又AEBB，可求AEB45，利用三角形的内角和定理可求BAE的值，进而可求ACB的值，

25、可得BCAB2，在ABC中，根据余弦定理即可解得AC的值（2）令ADm，CDn，在ACD中，根据余弦定理，基本不等式可求m+n43，即可求解四边形ABCD周长的最大值解：（1）在ABE中，由正弦定理得：sinAEB=ABsinBAE=2sin1206=22又AEBB，则AEB45，于是BAE1801204515，所以BAC30，ACB1801203030所以BCAB2在ABC中，根据余弦定理得AC222+22222cos12012，所以AC=23（2）令ADm，CDn，在ACD中，根据余弦定理得(23)2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn，即有(m+n)2=12+3mn12+

26、3(m+n2)2，即(m+n)2412，所以m+n43，当且仅当m=n=23时，“”成立所以，四边形ABCD周长的最大值为4+43【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题18红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型yebx+a，ycx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图根据收集到的数据，计算得到如表值：x z t i=1

27、8 (xi-x)2 i=18 (ti-t)2 i=18 (zi-z)(xi-x) i=18 (yi-y)(ti-t) 252.8964616842268848.4870308表中zilnyi；z=18i=18 zi；ti=xi2；t=18i=18 ti；（1）根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34时，产卵数y的预报值（参考数据：e5.18178，e5.46235，e5.52250，e5.83340）附：对于一组数据（1，v1），（2，v2），（n，vn），其回归直线v=+的斜率和

28、截距的最小二乘估计分别为=i=1n (i-)(vi-v)i=1n (i-)2，=v-【分析】（1）由模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；（2）令zlny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则z=a+bx，由已知数据求得b与a的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取x34求得y值得结论解：（1）应该选择模型由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适（2）令zlny，z与温度x可以用线性回归

29、方程来拟合，则z=a+bx，b=i=18 (zi-z)(xi-x)i=18 (xi-x)2=48.481680.289，a=z-bx=2.89-0.28925-4.34，则z关于x的线性回归方程为z=0.29x-4.34于是有lny0.29x4.34，产卵数y关于温度x的回归方程为y=e0.29x-4.34当x34时，ye0.29344.34e5.52250（个）在气温在34时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题19如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，

30、ADDC，ADC120，三角形SAB是等边三角形，平面SAB平面ABCD，E，F分别为AB，AD的中点（1）求证：平面SCD平面SEF；（2）若AB2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE平面ABCD，进一步得到SECD连接BD，得BDEF再证明BDCD，结合BDEF，得CDEF再由直线与平面垂直的判定可得CD平面SEF进一步得到平面SCD平面SEF；（2）过E作ENCD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系求出平面SCD的法向量与SF的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值【解答】（1）证

31、明：平面SAB平面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，SE平面SAB，SEAB，SE平面ABCD又CD平面ABCD，SECD连接BD，E，F分别为AB，AD的中点，BDEFADDCAB，ABDADB又BADADC120，ADB30，BDC90，得BDCD又BDEF，CDEF又SEEFE，CD平面SEF又CD平面SCD，平面SCD平面SEF；（2）解：过E作ENCD，则ES，EF，EN两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系在BDC中，求得BD=23，CD2，BC4则E（0，0，0），F(0，3，0)，S(0，0，3)，C(52，332，0)，D(12，332，0)故SD=(12，332，-3)，

32、SC=(52，332，-3)，SF=(0，3，-3)设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)，由nSD=12x+332y-3z=0nSC=52x+332y-3z=0，可取n=(0，2，3)则|cosn，SF|=|nSFn|SF|=3613=2626故SF与平面SCD所成角的正弦值为2626【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题20已知函数f（x）exax，其中e是自然对数的底数（1）若ae，证明：f（x）0；（2）若x0，+）

33、时，都有f（x）f（x），求实数a的取值范围【分析】（1）若ae，则f（x）exex，所以f（x）exe，再利用导函数f（x）的正负性与函数f（x）的单调性之间的联系即可得f（x）的单调性，从而确定f（x）minf（1），而f（1）0，进而得证；（2）构造函数g（x）f（x）f（x）exex2ax，则原问题转化为g（x）0在0，+）上恒成立，然后求导g（x），令h（x）g（x），再求导h（x），从而可确定g（x）在0，+）上单调递增，由于g（0）22a，于是分a1和a1两种情形，讨论函数g（x）的单调性，以便求证g（x）min与0的关系解：（1）若ae，则f（x）exex，所以f（x）exe，

34、当x1时，f（x）0；当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；所以f（x）在x1时取得极小值，也是最小值所以f（x）f（1）0（2）令g（x）f（x）f（x）exex2ax，则原问题转化为g（x）0在0，+）上恒成立由g（x）ex+ex2a，令h（x）g（x），则h(x)=e2x-1ex0在0，+）上恒成立，所以g（x）在0，+）上单调递增，又g（0）22a，当a1时，g（x）g（0）0，所以g（x）在0，+）上单调递增，所以g（x）g（0）0，即f（x）f（x），满足题意当a1时，因为g（x）在0，+）上单调递增，所以g（x）ming（0

35、）22a0，所以存在t（0，+），使得当x（0，t）时，g（x）0，g（x）在（0，t）上单调递减，此时g（x）g（0）0，这与g（x）0在0，+）上恒成立矛盾综上所述，a1，故实数a的取值范围是（，1【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题21已知抛物线C：x22y，过点A（1，1）且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N（1）求四边形MPNQ面积的取值范围；（2）记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点【分析】（1）两直线l1，l2的斜率一定存在，且不

36、等于0设l1：yk（x1）+1（k0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则l2：y=-1k(x-1)+1（k0）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可（2）由（1）求出PQ中点E的坐标为（k，k2+1），同理点F的坐标为(-1k，1k2+1)求出直线EF的斜率，得到直线EF的方程，即可求解直线EF恒过的定点解：（1）由题意可知两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0设l1：yk（x1）+1（k0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则l2：y=-1k(x-1)+1（k0）因为联立直线l1与抛物线的方程，有y

37、=k(x-1)+1#/DEL/#x2=2y#/DEL/#x2-2kx+2k-2=0，其中4k2+80，由韦达定理，有x1+x2=2kx1x2=2k-2由上可得|PQ|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(8+4k2)，同理|MN|=(1+1k2)(8+4k2)，则四边形MPNQ面积S=12|PQ|MN|=12(2+k2+1k2)(80+32k2+32k2)令k2+1k2=t2则S=12(2+t)(80+32t)=8t2+36t+40所以，当且仅当t2，即k1时，S取得最小值12，且当t+时，S+故四边形MPNQ面积的范围是12，+）（2）由（1）有x1+x22k，y1+y2=2k2+2，所以

38、PQ中点E的坐标为（k，k2+1），同理点F的坐标为(-1k，1k2+1)于是，直线EF的斜率为kEF=k2+1-(1k2+1)k+1k=k2-1k2k+1k=k-1k，则直线EF的方程为：y-(k2+1)=(k-1k)(x-k)y=(k-1k)x+2，所以直线EF恒过定点（0，2）【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想一、选择题22在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x=-2+t1cos1y=t1sin1（t1为参数），曲线C2：x=2+t2cos2y=t2sin2（t2为参数），且ta

39、n1tan21，点P为曲线C1与C2的公共点（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2cossin+100，求动点P到直线l的距离的取值范围【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果解：（1）设点P的坐标为（x，y）因为点P为曲线C1与C2的公共点，所以点P同时满足曲线C1与C2的方程曲线C1消去参数可得tan1=yx+2，曲线C2消去参数可得tan2=yx-2由tan1tan21，所以yx+

40、2yx-2=-1所以点P的轨迹方程为x2+y24（x2）（2）由已知，直线l的极坐标方程2cossin+100，根据xcos，ysin可化为直角坐标方程：2xy+100因为P的轨迹为圆x2+y24（去掉两点（2，0），圆心O到直线l的距离为d=105=25，所以点P到直线l的距离的取值范围为25-2，25+2【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c都为正实数，且a+b+c3证明：（1）2a+1+2b+1+2c+133；（2）(1a-13)(1b

41、-13)(1c-13)827【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；（2）将1=a+b+c3代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证【解答】证明：（1）(2a+1+2b+1+2c+1)2=2(a+b+c)+3+2(2a+1)(2b+1)+2(2b+1)(2c+1)+2(2c+1)(2a+1)2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）6（a+b+c）+927（当且仅当abc1取“”）所以2a+1+2b+1+2c+133；（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c3，可得(1a-13)(1b-13)(1c-13)=(a+b+c3a-13)(a+b+c3b-13)(a+b+c3c-13)=b+c3aa+c3ba+b3c1272bca2acb2abc=827（当且仅当abc1取“”）则(1a-13)(1b-13)(1c-13)827【点评】本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题