正则参数曲线ppt课件.pptx

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1、微分几何微分几何储亚伟储亚伟 Copyright 第二章第二章 曲曲 线线 论论2.1 2.1 正则参数曲线正则参数曲线储亚伟储亚伟 ( (一）、参数曲线一）、参数曲线1.1.参数曲线：参数曲线：2.2.曲线的参数方程：曲线的参数方程： 一、曲线的参数表示一、曲线的参数表示取定正交标架 ; , ,O i j k C3: , ,pa bE 中的一条曲线 是一个连续映 3EC称 为参数曲线参数曲线. Cp几何上，参数曲线 是映射 的像.引例：从圆的方程到动点轨迹.则曲线上的点( ):( ),Op tr t( )p t( )( )( )( )( ( ), ( ), ( ),r tx t iy t j

2、z t kx ty tz t , (1.1)ta b其中 为曲线的参数参数，(1.1)称为曲线 的参数方程参数方程. tC储亚伟储亚伟 ( (二）、（向量）参数表示实例二）、（向量）参数表示实例例例1.1.开椭圆弧的参数表示：一、曲线的参数表示一、曲线的参数表示( )( cos , sin ,0),(0,2 ).r tat btt例例2.2.圆柱螺线圆柱螺线的参数表示：( )( cos , sin ,),.r tat at bttR .其中 是常数，0.a , a b例例3.3.曲线( )( cos , sin ,0),(0,4 )r tat att与曲线( )( cos2 , sin2 ,0

3、),(0,4 )r tat att同像不同长.储亚伟储亚伟 ( (一）、切线方程一）、切线方程由定义可知二、正则曲线二、正则曲线01( )lim( ),( ),( ) ,()( )tr tx ty tz tr ttr tt ( , ).ta b( )r t导数的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线切线. 称为该曲线的切向量切向量. 切线方程为：如果( )0,r t( )( )( )X ur tur t 则 是该曲线在 处切线的方向向量，( )r t( )r t其中 是固定的， 是切线上点的参数， 是切线上点的位置向量. tu( )X u 储亚伟储亚伟 ( (二）、正则曲线二）、正则曲线二、正

4、则曲线二、正则曲线定义定义2.12.1. . 如果曲线 的参数表示 是 阶连续可微的，( )r tk则称 是 类曲线.kC的点称为 的正则点，否则成为奇点.( )0r t无奇点的 类曲线称为正则(参数)曲线.3C将参数增大的方向称为曲线的正向正向. 1.1.相关概念：相关概念：3E 上述定义与 中直角坐标系的选取无关. 注：注： 正则正则( )r t3( ),|( )| 0.r tr tC储亚伟储亚伟 2.2.实例实例二、正则曲线二、正则曲线例例3.3.开椭圆弧开椭圆弧 是正则曲线，因( )( cos , sin ,0),(0,2 )r tat btt2222|( )|sincos0.r ta

5、tbt例例4.4.圆柱螺线圆柱螺线 是正则曲线，因( )( cos , sin ,),r tat at bttR22|( )|0.r tab例例5.5.半三次曲线半三次曲线 不是正则曲线32( ) ( , ),r tt ttR2( )(3 ,2 ), (0)0.r tttrxyO图2-3参数方程的连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. 储亚伟储亚伟 3.3.注记注记二、正则曲线二、正则曲线( )0,r t(1) ( )( ,0,0).r tt注注1.1.在一段曲线上 则 为常向量.反之，若在 处( )0,r t( )r t0t则由 的连续性，在 附近， 故奇点总是孤立的.( )r t

6、 0t( )0,r t注注2.2.考察 中 轴的两种参数表示：3Rx3(2) ( )( ,0,0).r tt显然(1)是正则表示，(2)不是. 只要有一种参数表示是正则的曲线必为正则曲线.储亚伟储亚伟 三、容许的参数变换三、容许的参数变换曲线的参数表示不是唯一的（如上例或圆周）. 2.2.保定向的参数变换：保定向的参数变换：可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 约定. 只允许做保持定向参数变换的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线有向正则曲线.1.1.可容许的参数变换：可容许的参数变换：3( ), ( )( )0. 0t utttCuut：（保定向）储亚伟储亚伟 四、曲线的其他表示四、曲线的其他表示1.1.平面曲线的一般方程 和隐式方程 ( )yf x( , )0.F x y 2.2.空间曲线的一般方程（必正则）( ),( )yf xzg x( , , )0,( , , )0.F x y zG x y z和隐式方程 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)梯度矩阵秩为20( )0.x t储亚伟储亚伟 习题 2，4.课外作业： 储亚伟储亚伟 微分几何微分几何 慕课邀请码慕课邀请码