华大新高考联盟名校2020年5月份高考预测考试理科数学试题 （解析版）.doc

《华大新高考联盟名校2020年5月份高考预测考试理科数学试题 （解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华大新高考联盟名校2020年5月份高考预测考试理科数学试题 （解析版）.doc（33页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2020年名校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1已知集合A=x|1x3，B=x|y=1x-2，则AB（）Ax|1x2Bx|2x3Cx|2x3Dx|x12如图来自中国古代的木纹饰图若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（）A136B19C16D293设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（）p1：复数zR的充要条件是z=z；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限，Ap1p2B（p1）p2Cp1（p2）D（p1）（p2）4已知数列an为等差数列，若a2

2、+a53a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5（）A0B1C2D35已知定义在R上的函数f（x）3sinx2x+1，则f（x）的最大值与最小值之和等于（）A0B1C2D36(1-x)(x+1x+2)4的展开式中x的系数是（）A10B2C14D347一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为（）A94B98C109D3298如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+n2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（）A“输出i4”B“输出i2”C“输出i1”D“输出i”9已知函数f(x)=3sin2x-cos

3、2x在区间0，2上当x时取得最大值，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则（）Ag（x）2cos2xB.g（x）2cos2xCg(x)=3sin2x+cos2xD.g(x)=-3sin2x-cos2x10已知双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若AF2B60，则AF2B的内切圆半径为（）A433B233C23D211数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1对任意正整数a0，记按照上述规则实施第

4、n次运算的结果为an（nN），则使a71的a0所有可能取值的个数为（）A3B4C5D612已知实数a、b满足log2alog3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）abba；aabb；abba；abaa；bbbaA1个B2个C3个D4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如图所示，A、B是圆O上的两点，若ABAO=2，则弦AB长为 14已知实数x、y满足x2x+y1y2x-2，则zx+2y的最小值为 15已知抛物线x2y的焦点为F，过F作两条夹角为30的直线m、n，直线m与抛物线交于点P、Q，直线n与抛物线交于点M、N，则1|PQ|+1|MN|的最小值为 16在四楼锥P

5、ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB60，PAPD，APD90，平面PAD平面ABCD，Q点是PBC内的一个动点（含边界），且满足DQAC，则Q点所形成的轨迹长度是 三、解答题：共70分解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作簀第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，满足asinBcosC+csinBcosA=12b且ab（1）求角B的大小；（2）若b1，BC边上的中线AM的长为12a，求ABC的面积18在四棱锥PABCD中，BCBDDC=23，ADABPDPB2

6、，PA=2（1）求证：平面PBD平面ABCD；（2）求二面角CPDB的余弦值19已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32点(2，2)在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）任作椭圆C的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，则直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由20近年来我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI=体重(单位：kg)身高2(单位：m2)中国成人的BMI数值标准为：BM

7、I18.4为偏瘦；18.5BMI23.9为正常；24BMI27.9为偏胖；BMI28为肥胖为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号18）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678身高（cm）164176165163170172168182体重（kg）607277547255BMI（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（I）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X求X的分布列及数学期望（II）某调查机构分析发现公司员工的身高

8、x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为y=0.5x+a，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg计算得到的其他数据如下x=170，i=1n xiyi=89920（1）求a的值及表格中8名员工体重的平均值y；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重（附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线y=bx+a的斜率和

9、截距的最小二乘法估计分别为：b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx-2，a=y-bx）21已知函数f(x)=12x2+ax，g(x)=(a+1)lnx(a0)（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）f（x）g（x）有两个零点，求实数a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=32ty=m-32t(t为参数，mR）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2=33-2cos2(0)（1）写出曲线C1的普通方程和曲

10、线C2的直角坐标方程：（2）已知m-3，点P是曲线C2上一点，点P到曲线C1的最大距离为22，求m的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|ax+1|（1）当a1时，求不等式f（x）+|2x1|3的解集；（2）设g（x）1+|x|，若关于x的不等式f（x）g（x）的解集为R，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|1x3，B=x|y=1x-2，则AB（）Ax|1x2Bx|2x3Cx|2x3Dx|x1【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可解：Ax|1x3，Bx|x2，ABx|x1故选：D【点评】本题考查了描述法的定义，并集的运算，

11、考查了计算能力，属于基础题2如图来自中国古代的木纹饰图若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（）A136B19C16D29【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论解：因为大正方形的面积为：6636；而小正方的面积为：111；故在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是：8136=29故选：D【点评】本题主要考查几何概型的求解，属于基础题目3设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（）p1：复数zR的充要条件是z=z；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数zi所对应的点在第四象限，Ap1

12、p2B（p1）p2Cp1（p2）D（p1）（p2）【分析】设za+bi（a，bR），由复数zR得z=z，则p1为真命题；再判断p2为真命题然后由复合命题的真假判断得答案解：设za+bi（a，bR），则zRb0z=z，则p1为真命题；若复数z所对应的点在第一象限，则a0，b0，而zi=a+bii=b-ai，故复数zi所对应的点（b，a）在第四象限，p2为真命题p1p2为真命题故选：A【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复合命题的真假判断，是基础题4已知数列an为等差数列，若a2+a53a3，且a4与2a7的等差中项为6，则a5（）A0B1C2D3【分析】利用等差

13、数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a5解：数列an为等差数列，a2+a53a3，且a4与2a7的等差中项为6，a1+d+a1+4d=3(a1+2d)a1+3d+2(a1+6d)=12，解得a11，d1，a51+43故选：D【点评】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5已知定义在R上的函数f（x）3sinx2x+1，则f（x）的最大值与最小值之和等于（）A0B1C2D3【分析】根据题意，设g（x）f（x）13sinx2x，分析可得g（x）为奇函数，由奇函数的性质可得g（x）max+g（x）min0，进而可得f（x）max1+g

14、（x）min1f（x）max+f（x）min20，变形分析可得答案解：根据题意，设g（x）f（x）13sinx2x，有g（x）3sin（x）2（x）（3sinx2x）g（x），即函数g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则g（x）max+g（x）min0，则有f（x）max1+g（x）min1f（x）max+f（x）min20，变形可得f（x）max+f（x）min2；即f（x）的最大值与最小值之和等于2；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意构造新函数g（x）f（x）1，属于基础题6(1-x)(x+1x+2)4的展开式中x的系数是（）A10B2C14D34【分析】把(x+1

15、x+2)4 变成(x+1x)8，再利用二项展开式的通项公式展开，可得(1-x)(x+1x+2)4的展开式中x的系数解：(1-x)(x+1x+2)4=（1x）(x+1x)8（1x）（C80x4+C81x3+C82x2+C881x4），故展开式中x的系数是 C83-C84=-14，故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题7一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形记该几何体的外接球的体积为V1，该几何体的体积为V2，则V1与V2的比值为（）A94B98C109D329【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和外接球的体积解：根据几何体

16、的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体如图所示：取AB的中点D，连接SD，易知球心O在线段SD上，连接AO，设外接球的半径为r，则：(3-r)2+12=r2，解得r=233所以v1=43(233)3=32327，该几何体的体积V2=1312213=33则：V1V2=329故选：D【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型8如图所示的程序框图是为了求出满足1+3+5+n2020的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（）A“输出i4”B“输出i2”C“输出i1”D“输出i”【分析】由已知中的程序

17、语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出符合题意的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：由于满足1+3+5+n2020后，此时i值比程序要求的i的值多2，又执行了一次ii+2，故输出的应为i4故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9已知函数f(x)=3sin2x-cos2x在区间0，2上当x时取得最大值，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则（）Ag（x）2cos2xB.g（x）2cos2xCg(x)=3sin2x+cos2xD.g(x)=-3sin2x-cos2x

18、【分析】利用两角差的正弦函数公式可求函数解析式f（x）2sin（2x-6），利用正弦函数的性质可得当x=3时，f（x）取得最大值，由题意可求=3，进而利用函数yAsin（x+）的图象变换即可求解g（x）的解析式解：f(x)=3sin2x-cos2x=2sin（2x-6），当x0，2时，2x-6-6，56，故当2x-6=2，即x=3时，f（x）取得最大值，所以=3，从而g（x）f（x+3）2sin2（x+3）-62sin（2x+2）2cos2x故选：A【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，正弦函数的性质，函数yAsin（x+）的图象变换，考查了函数思想，属于基础题10已知双曲线x24-y2

19、3=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若AF2B60，则AF2B的内切圆半径为（）A433B233C23D2【分析】设内切圆的圆心M，设AF2B三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M的线段，由内切圆的性质可得|AF2|AQ|BF2|BQ|，再由双曲线定义可知：|AF2|AF1|BF2|BF1|2a，可得Q，F1重合，再由AF2B60可得内切圆的半径的值解：设内切圆的圆心为M（x，y），设圆M与三角形的边分别切于T，Q，S，如图所示连接MS，MT，MQ，由内切圆的性质可得：|F2T|F2S|，|AT|AQ|，|BS|BQ|，所以|AF2|AQ|AF2|AT|

20、F2T|，|BF2|BQ|BF2|BS|F2S|，所以|AF2|AQ|BF2|BQ|，由双曲线的定义可知：|AF2|AF1|BF2|BF1|2a，所以可得Q，F1重合，所以|TF2|2a4，所以r|MT|TF2|tanAF2B2=334，故选：A【点评】本题考查双曲线的性质及内切圆的性质，属于中档题11数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1对任意正整数a0，记按照上述规则实施第n次运算的结果为an（nN），则使a71的a0所有可能取值的个数为（）A3B4C5D6【分析

21、】推导出nN*，an=3an-1+1，an-1为奇数an-12，an-1为偶数，由a71，得a62，从而a54，进而a41或a48由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的a0的值的个数解：由题意知nN*，an=3an-1+1，an-1为奇数an-12，an-1为偶数，由a71，得a62，a54，a41或a48当a41时，a32，a24，a11或a18，a02或a016若a48，则a316，a25或a232，当a25时，a110，此时，a03或a020，当a232时，a164，此时，a021或a0128，综上，满足条件的a0的值共有6个故选：D【点评】本题考查数列中项的可能取值的个数的求法

22、，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知实数a、b满足log2alog3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）abba；aabb；abba；abaa；bbbaA1个B2个C3个D4个【分析】由log2alog3b，知1ab 或 ab1 或 0ba1，然后分情况验证个关系式即可解：由log2alog3b，知1ab 或 ab1 或 0ba1，当ab1时，成立，其他的不成立；当0ba1时，abba，abaa，bbba，成立，不成立；当1ab时，取a2，b3，则ab238932ba，成立，abaa，bbba，不成立，综上，只有不可能成立故选：B【点评】本题考查了不等式的基

23、本性质，考查了分类讨论思想，属基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13如图所示，A、B是圆O上的两点，若ABAO=2，则弦AB长为2【分析】结合图形可得AB-AO=OB，两边平方后整理可得AB22ABAO=0，则AB22ABAO=4解：因为AB-AO=OB，两边平方可得AB22ABAO+AO2=OB2，即AB22ABAO=0，所以AB22ABAO=4，所以AB2故答案为：2【点评】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题14已知实数x、y满足x2x+y1y2x-2，则zx+2y的最小值为0【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的

24、坐标代入目标函数得答案【解答】解：由实数x、y满足x2x+y1y2x-2，画出可行域如图，化zx+2y为y=-12x+12z，由图可知，当直线y=-12x+12z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值，由x=2x+y=1，解得A（2，1），最小值z2+2（1）0故答案为：0【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15已知抛物线x2y的焦点为F，过F作两条夹角为30的直线m、n，直线m与抛物线交于点P、Q，直线n与抛物线交于点M、N，则1|PQ|+1|MN|的最小值为1-32【分析】求得抛物线的焦点F的坐标，设直线m的倾斜角为，求得直线m的参数方程，联立抛物线

25、的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，可得|PQ|，再将换为+30，可得|MN|，再由三角函数的二倍角的余弦公式、和差化积公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求最小值解：抛物线x2y的焦点为F（0，14），设直线m的倾斜角为，可得直线m的参数方程为x=tcosy=14+tsin（t为参数），设P，Q对应的参数分别为t1，t2，联立抛物线的方程x2y，可得t2cos2tsin-14=0，即有t1+t2=sincos2，t1t2=-14cos2，则|PQ|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2=sin2cos4+1cos2=sin2+cos2cos4=1cos2，即有|PQ|=1cos2，将换为

26、+30，同理可得|MN|=1cos2(+30)，则1|PQ|+1|MN|=cos2+cos2（+30）=1+cos22+1+cos2(+30)21+12cos2+cos（2+60）1+cos（2+30）cos301+32cos（2+30），当cos（2+30）1，即75时，1|PQ|+1|MN|的最小值为1-32故答案为：1-32【点评】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义，考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题16在四楼锥PABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB60，PAPD，APD90，平面PAD平面AB

27、CD，Q点是PBC内的一个动点（含边界），且满足DQAC，则Q点所形成的轨迹长度是253【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q的轨迹，利用转化思想，求解距离即可解：根据题意，连接AC，BD，两直线交于点O，取PC上一点M，连接MB，MD，如图：若满足题意DQAC，又ACBD，故AC平面DBQ，则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可，假设如图所示，平面DBM与平面DBQ是同一个平面，则Q点的轨迹就是线段BM，根据假设，此时直线AC平面DBM，则ACMO，故三角形PAD是等腰直角三角形，三角形BAD是等边三角形，故ADPB，又因为BCAD，故BCPB，故三角形PBC为直角三角形，

28、故PC=PB2+BC2=22，在三角形PAC中，PA=2，AC23，PC22，由余弦定理可得：cosPCA=8+12-222322=368，在菱形ABCD中，OC=3，故在直角三角形MOC中，MC=OCcosPCA=3368=423，在三角形BCM中，PCB45，故BM2BC2+CM22BCCMcosPCB22+（423）22242322=209，故得BM=203=253【点评】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题三、解答题：共70分解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作簀第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一

29、）必考题：共60分17设ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，满足asinBcosC+csinBcosA=12b且ab（1）求角B的大小；（2）若b1，BC边上的中线AM的长为12a，求ABC的面积【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解B；（2）由已知结合向量数量积的性质即可求解解：（1）因为asinBcosC+csinBcosA=12b，由正弦定理可得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB，因为sinB0，所以sinAcosC+sinCcosAsin（A+C）sinB=12，因为ab，所以B为锐角，故B=6，（2）由题意可知，2A

30、M=AB+AC，|AM|a，两边同时平方可得，4AM2=a2b2+c2+2bccosBAC，又由余弦定理可得，a2b2+c22bccosA，故cosA0因为A（0，），所以A90，所以b1，c=3，SABC=12bc=32【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及向量数量积的性质的综合应用，属于中档试题18在四棱锥PABCD中，BCBDDC=23，ADABPDPB2，PA=2（1）求证：平面PBD平面ABCD；（2）求二面角CPDB的余弦值【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结PO，推导出POOA，POBD，从而PO平面ABCD，由此能证明平面PBD平面ABCD（2）以O为原点，

31、OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角CPDB的余弦值【解答】（1）证明：连结AC，交BD于O，连结PO，由对称性知O为BD中点，且ACBD，POBD，又PBDABD，AOBD，从而POAO1，又PA=2，由PO2+OA2PA2，POOA，POBD，OABDO，PO平面ABCD，PO平面PBD，平面PBD平面ABCD（2）解：由（1）知，PO，BD，AC两两垂直，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，-3，0），P（0，0，1），在等腰BCD中，CO3，则C（3，0，0），DC=（3，3，0），DP=（0，3，1）

32、，平面PBD的法向量n=（1，0，0），设平面PCD的法向量m=（x，y，z），则mDC=3x+3y=0mDP=3y+z=0，取x1，得m=（1，-3，3），设二面角CPDB的平面角为，cos=|mn|m|n|=1313二面角CPDB的余弦值为1313【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32点(2，2)在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，2）任作椭圆C的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，则直线MN是否

33、过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由【分析】（1）由已知得ca=324a2+2b2=1a2=b2+c2，解得a2，b2，进而可得椭圆C的方程（2）设直线AB的方程为ykx2（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与椭圆方程，得（1+4k2）x216kx+40，结合韦达定理，中点坐标公式得M（8k1+4k2，-21+4k2），同理N（-8kk2+4，-2k2k2+4），进而得直线MN斜率，和方程，令x0，得y=-25，即可得出答案解：（1）由已知得ca=324a2+2b2=1a2=b2+c2，解得a212，b23，所以椭圆C的方程为x212+y23=1（2）由题意知

34、直线AB，CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为ykx2（k0），A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx-2x212+y23=1得（1+4k2）x216kx+40，由0得k2112，且x1+x2=16k1+4k2，所以xM=x1+x22=8k1+4k2，yMkxM2=-21+4k2，即M（8k1+4k2，-21+4k2），同理N（-8kk2+4，-2k2k2+4），所以kMN=-21+4k2+2k2k2+48k1+4k2+8kk2+4=k2-15k，所以直线MN的方程为y+21+4k2=k2-15k（x-8k1+4k2），由对称性可知定点必在y轴上，令x0，得y=k2-15k（0-

35、8k1+4k2）-21+4k2=-25，所以直线MN过定点（0，-25）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题20近年来我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI=体重(单位：kg)身高2(单位：m2)中国成人的BMI数值标准为：BMI18.4为偏瘦；18.5BMI23.9为正常；24BMI27.9为偏胖；BMI28为肥胖为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号18）的身高x（cm）和体重y

36、（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表：编号12345678身高（cm）164176165163170172168182体重（kg）607277547255BMI（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（I）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X求X的分布列及数学期望（II）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为y=0.5x+a，且根据回归方程预估一名身高为180cm的

37、员工体重为71kg计算得到的其他数据如下x=170，i=1n xiyi=89920（1）求a的值及表格中8名员工体重的平均值y；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重（附：对于一组数据（x，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx-2，a=y-bx）【分析】（I）由表中可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1，2，然

38、后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（II）（1）由已知条件易知a=-19，从而得到线性回归方程，由于其一定经过样本中心点(x，y)，将样本中心点代入回归方程即可求得y；（2）由b的计算公式可知i=18 xi2-8x2=2(i=18 xiyi-8xy)=320，而更正后的数据x=x=170，y=668+(63-55)8=67，再结合b的公式即可求出其值，利用a=y-bx可求出a，于是可得更正后的线性回归方程，最后把x180代入求出y即可解：（I）由表中的BMI数值可知，8名员工中BMI数值为“正常”的员工有5人，所以X的可能取值为0，1

39、，2，P（X0）=C50C32C82=328，P（X1）=C51C31C82=1528，P（X2）=C52C30C82=514，X的分布列为 X 0 1 2 P 328 1528 514数学期望E（X）=0328+11528+2514=3528=54（II）（1）根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg，710.5180+a，解得a=-19，故线性回归方程为y=0.5x19样本中心点(x，y)一定在回归直线方程上，y=0.5170-19=66（2）由（1）知更正前的数据x=170，y=66，b=i=1n xiyi-nxyi=1n xi2-nx-2=i=18 xiyi-8xyi=

40、18 xi2-8x2=0.5，i=18 xi2-8x2=2(i=18 xiyi-8xy)=2（89920817066）320，更正后的数据x=x=170，y=668+(63-55)8=67，i=18 xiyi=i=18 xiyi+x88=i=18 xiyi+1828，8xy=8x(y+1)=8xy+8170，b=i=18 xiyi-8xyi=18 xi2-8x2=(i=18 xiyi+1828)-(8xy+8170)i=18 xi2-8x2=(i=18 xiyi-8xy)+(182-170)8i=18 xi2-8x2=0.5+96320=0.8，a=y-bx=67-0.8170=-69，故更正

41、后的线性回归方程为y=0.8x-69当x180时，y=0.8180-69=75，重新预估一名身高为180cm的员工的体重约为75kg【点评】本题考查超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题21已知函数f(x)=12x2+ax，g(x)=(a+1)lnx(a0)（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）f（x）g（x）有两个零点，求实数a的取值范围【分析】（1）先分别对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；（2）先对h（x）求导，然后

42、结合导数与单调性关系分析函数的特征性质，然后结合函数性质及零点判定定理可求出符合要求的a的范围解：（1）由题意可知，yf（x）与yg（x）（x0）图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为f（x）x+a，g(x)=a+1x，所以f（x0）g（x0），f（x0）g（x0），即12x02+ax0=(a+1)lnx0x0+a=a+1x0，由x0+a=a+1x0可得x01或x0a1，由点P唯一可得a11或a10，即a2或a1，由12x02+ax0=(a+1)lnx0可得a=-12，综上可得，a=-12；（2）由h（x）f（x）g（x）=12x2+ax-(a+1)lnx，x0，则h(x)=x+a-a+1x=(x-1)(x+a+1)x，（i）若a+10即0a1时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，因为x0时，h（x）+，且h（2）2+2a（a+1）ln22+2a2（a+1）0，故要使得h（x）有2个零点，只有h（1）0即1a-12，当a