微分中值定理PPT课件.ppt

《微分中值定理PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分中值定理PPT课件.ppt（129页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第五章第五章 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 第一节 微分中值定理 第二节 LHospital法则 第三节 Taylor公式与插值多项式 第四节 函数的Taylor公式及其应用 第五节 应用举例 第六节 方程的近似求解第一节第一节 微分中值定理微分中值定理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理五、应用及小结五、应用及小结罗尔拉格朗日柯西一、函数极值与一、函数极值与Fermart引理引理引子ab1 2 Cxyo)(xfy AB几何解释几何解释: : .,)(线是水平的在该点处的切至少有一点上则弧点的纵坐标相等且两端除外端点切线轴

2、的上处处具有不垂直于在弧若连续曲线CABBAxABxfy 即:如果记C点的横坐标为 ,那么就有:通常称导数等于零的点为函数通常称导数等于零的点为函数的驻点（或称为稳定点，临界点）的驻点（或称为稳定点，临界点）一、一、函数极值与函数极值与Fermart引理引理)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf二、二、Rolle（罗尔）定理（罗尔）定理(定理定理5.1.2)证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.

3、mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在在 0:,fFermatfxfbaxM必有定理知由恒有为最大值注意（注意（1）：）：罗尔定理的条件是充分的，并且任罗尔定理的条件是充分的，并且任缺一，则不能保证结论成立缺一，则不能保证结论成立注意（注意（2）：）：罗尔定理的条件是非必要的，缺条罗尔定理的条件是非必要的，缺条件时，甚至三条都不满足时件时，甚至三条

4、都不满足时, 结论也可能成立。结论也可能成立。请自己举例。请自己举例。1,010,)(xxxxfx1yo 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo例例.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的一个正实根的一个正实根.,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在x

5、xxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.0为唯一实根x返回返回返回ab1 2 Cxyo)(xfy AB三、拉格朗日(Lagrange)中值定理ab1 2 xoy)(xfy ABC.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意).()()( fabafbf结结论论亦亦可可写写成成拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(定理定理5.1.3)ab1 2 xx

6、oy)(xfy ABCDNM分析分析: .,),()(应用罗尔定理对然后再足条件满使个辅助函数设法构造一差条件中与罗尔定理相xbaxxbfaf弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy 曲线曲线AB方程为方程为)(xfy ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM:),(,)(则曲线方程为设为得到曲线减去弦曲线xabABxf，)()()()()()(axabafbfafxfxy容易看出:，即数值相等处的函在端点函数0)()(:,)() 1babax上连续，函数在,)2ba.),()3内可导函数在ba证明证明:作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfx,)

7、(满足罗尔定理的条件x. 0)(,),(使得内至少存在一点则在ba0)()()(abafbf即).)()()(abfafbf拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式,),()(内可导在设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理注意注意: :拉氏公式拉氏公式“精确精确”表达了函数在一个区间上表达了函数在一个区间上的增量与

8、函数在这区间内某点处的导数之间的关的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系系.四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可条件缺一不可.思考题解答思考题解答 1, 310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足

9、在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.返回返回返回拉格朗日拉格朗日Lagrange, Joseph Louis（1736-1813） 法国数学家、力学家及天文学家。拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题等周问题之过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。1755年，19岁的他就已当上都灵

10、皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会之工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题 而再度获奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：欧洲最大的王之宫廷内应有欧洲最大的数学家，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学著作

11、分析力学1788。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力 学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委 员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当 地逝世。拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，且还推动了代数学之发展。他在生前提交给柏林科学院的两 篇著名论文：关于解数值方程1767及关于方程的代数解法的研究1771中，考察了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次之方程辅助方程或预解式以求解。但这并不适用于五次

12、方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。返回返回返回柯西柯西 Augustin Louis Cauchy(1789-1857)Augustin Louis Cauchy(1789-1857) 法国数学家。（1789、8、211857、5、23）他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。1816年取得教授职位，同年，被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。 1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育，1838年回到巴黎，继任巴黎综合工科学校教授

13、，并恢复了在科学院的活动。1848年任巴黎大学教授。 柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域。返回返回返回罗尔罗尔 Rolle, Michel(1652-1791) 罗尔在微积分初创阶段作出了贡献。1690年他在任意次方程的一个解法一文中，给出了著名的罗尔定理（但没有证明），这个定理在微积分理论中占有重要的地位。他还提出了寻求代数方程实根上界的法则，但是这个法则却被称为马克劳林法则。此外，他对笛卡儿的分析与莱布尼兹的无穷小研究进行了评论。尽管他的批评不见得有理有据，但却促使莱布尼兹对分析的理论基础的关注。另外罗尔对含有两个变量的不定方程的整数解问题，也进行了研究。返回返回返回机动

14、目录 上页 下页 返回 结束 第二节 LHospitaL法则 )()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.arctanlim12xxx解解:

15、原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考: 如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?型机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形.原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0liml

16、im1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则kx1kx存在正整数 k , 使当 x 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 . )0(0lnlimnxxnx例3. 例4. )0, 0(0limnexxnx说明说明:1) 例3 , 例4 表明x时,lnx后者比前者趋于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1)0(xe, )0( nxn用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFx

17、fxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1 (limxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、其他未定式二、其他未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6. 求机动 目录 上页 下页 返回

18、结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例7. 求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1利用利用 例例5例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例8. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnneln11例例9. 求. ) 1(limnnnn分析分析: 为用洛必达法则 , 必须改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式

19、例3 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设)()(limxgxf是未定式极限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1si

20、n1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 则2011221limtttt4. 求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家, 他著有无穷小分析(1696), 并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的

21、“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书 .则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt备用题备用题ttt21lim11021)1(xt 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 令,12xt 则ttet50lim原式 =txet50lim0ttet49

22、50lim2110001lim)2xxex解解:tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三节 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5应用举例

23、 三、函数作图三、函数作图一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法回顾回顾:,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1) 则称 为 的极大点极大点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 则称 为 的极小点极小点 ,0 x)(xf称 为函数的极小值极小值 .)(0 xf极大点与极小点统称为极值点极值点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.5.1 (极值判定定理极值判定定理),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过

24、当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图中任意处动画播放暂停（1）极值第一判别法）极值第一判别法例例1. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值 .解解:1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判别x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大点， 其极大值为0)0(f是极小点， 其极小值为52x33. 0)

25、(52f机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）极值第二判别法极值第二判别法二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .机动 目录 上页 下页 返回

26、结束 例例2. 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . 解解: 1) 求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 .判别法的推广判别法的推广阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:数 , 且1) 当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0

27、 x是极小点 ;,0)(0)(时xfn0 x是极大点 .2) 当 为奇数时,n0 x为极值点 , 且0 x不是极值点 .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,0 xx故结论正确 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证: 利用 在 点的泰勒公式 ,)(xf0 x可得例如例如 , 例2中1) 1()(32 xxf, )35(24)(2 xxxf0) 1( f所以1x不是极值点 .极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的. 说明

28、说明:当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .例如例如:)(xf, )sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值 , 但不满足定理1 定理3 的条件.xy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(b

29、f机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .(小)机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3. 求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .解解: 显然, ,)(2541Cxf且)(xf, )1292(23xxx,129

30、223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx251241机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过例例3. 求函数说明说明:)()(2xfx )(x求最点.(good!)(xf与最值点相同 , 由于)(x令( 自己练习 )xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设,

31、 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设)(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(

32、0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,0 xx 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值 ,还是极小.解解: )(xf由题意应有)32(f2a又 )(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f备用题备用题 1.,cos3xacosx)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回

33、结束 ( k 为某一常数 )例例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货D 点应如何选取? 20AB100C解解: 设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(40052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问DKm ,公路, 机动 目录

34、上页 下页 返回 结束 清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例5. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于x4 . 18 . 1解解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得驻点),0(4 . 2x根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函

35、数作图四、函数作图步骤步骤 :1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .为 0 和不存在的点 ;并考察其对称性及周机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 描绘22331xxy的图形.解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点）32(极小)4)xy1332

36、20机动 目录 上页 下页 返回 结束 1231例例2. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3, 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线,lim

37、1yx为铅直渐近线无定义无定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例例3.

38、 描绘函数21y22xe的图形. 解解: 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21思考与练习思考与练习 1. 曲线)(1122xxeey(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；

39、(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD机动 目录 上页 下页 返回 结束 拐点为 ,凸区间是 ,),(21)1,(2121e2. 曲线21xey的凹区间是 ,提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及渐近线 .1y机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox1)1 ,(2121e)1 ,(2121e备用题备用题 求笛卡儿叶形线yxayx333的渐近线 . 解解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :x,133ttay3213tta, 1tx时当因xyxlim1limt3213tta313tta1)(limxyx1limt3213tta313tta)1)(1 ()1 (312limtttttata所以笛卡儿叶形线有斜渐近线axy机动 目录 上页 下页 返回 结束 1t313tatx3213taty笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线1t参数的几何意义参数的几何意义:tant),() 1,(42t图形在第四象限,(0, 1(43t图形在第二象限),0),02t图形在第一象限点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束