隐函数的微分法ppt课件.ppt
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1、0 0? ?) ) )( (, ,( () )使使得得( (可可确确定定函函数数满满足足什什么么条条件件0 0, ,) )( (,方方程程地地一一般般 xfxFxfyyxF,; ;或或者者,, ,可可得得函函数数0 0, ,满满足足方方程程设设yxxyyxx,y 22? ?的的函函数数关关系系之之间间能能否否得得到到, ,满满足足若若)(,xfyyxeyxyxxy 0),(. 1 yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式.FFdxdyyx 求求导导数数,得得:两两边边对对方方程程xxfxF0)(,( .FFdxdyyx, 0 dxdyFFyx定理证明从略,仅就求导公式推导如下:0yF在在),(0
2、0yx的某邻域内的某邻域内例例 验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ,并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导 数数在在0 x的的值值. . 解解 令令1),(22 yxyxF则则依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy ,2yFy ,2xFx 连续 , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为y
3、xFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd)11( ,12 xxy事事实实上上,这这个个函函数数就就是是例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ,求求dxdy. . 解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx ,),(时当022yxxyyxFy.,xyxyyxdd)sin(求例设 ,)sin()(:则则令令解解xyyxx,yF .)cos()cos(xyxyxy xyxyyx )cos()cos(yxFFdx
4、dy ,0)cos(时时当当 xyxFy.)cos(xyxFy ,)cos(yyxFx 我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物例例4. 已知方程已知方程01sinyxeyx解解: 令0dd,0dd22xxyxxy,求, 1sin),(yxeyyxFx, yeFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex) 1sin(yy100yyx法一:公式法法一:公式法
5、我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex法二:直接求导法我吓了一跳,蝎子是多么丑恶和恐怖的东西,为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢?但是我也感到愉快,证实我的猜测没有错:表里边有一个活的生物法三:微分法01yxeyxsin两边同时求微分ydycosdxexydx0 dy
6、x0 xdxdy1)0 , 0(cosxyyex则0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy3100yyx100yyx)(yex)(cosxy)(yex) 1sin(yy. .及及, ,或或者者,, ,或或者者,, , 可可得得二二元元函函数数0 0, ,设设有有方方程程 xzyxzyyzxyxzzyx 222 ) )? ?, , ,( ( 或或者者, ,) ), , ,( (可可确确定定隐隐函函数数什什么么条条件件下下,这这些些方方程程在在0 0, ,) ), , , ,( (或或者者,0 0, ,) ), , ,( (,设设有有方方程程地地一一般般2 21 12 21 1
7、nnxxxfuyxfzuxxxFzyxF, 0),(. 2 zyxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式zxFFxz zyFFyz 求求导导公公式式推推导导:求求导导,得得和和两两边边分分别别对对0 0, ,) ) ), ,( (, , ,( ( 由由yxyxfyxF ,FFxzzx ,FFyzzy ,xzFFzx0 ,yzFFzy0 解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz .),(,),(,),(,1111111114322222yxzyzxzzyx
8、求例设.92)1 , 1 , 1(2 yxz.9232331332222zxyzzyxzzxzxzxyxzyyy .32)1 , 1 , 1(,3264 yzzyzyFFyzzy.31)1 , 1 , 1(,362,0 xzzxzxFFxzzzx时时当当,6 ,4 ,2 zFyFxFzyx 则则令令解解, 432),(:222 zyxzyxF思路:思路:解法一(解法一(直接求导法直接求导法)把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz )(xzf 11),(xzxyyzf 2整理得整理得xz ,21211fxyffyzf 把把x看看成成yz,的的函函数数对对y求求偏偏导导数数
9、得得)(101 yxf),(yxyzxzf 2),(xyzzyxfz 整理得整理得,2121fyzffxzfyx 把把y看成看成zx,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)(111 zyf),(zyxzxyf 2整理得整理得zy .21211fxzffxyf),(xyzzyxfz 解法二解法二 (公式法)公式法)),(),(xyzzyxfzzyxF 令令yzffFx 211则则xzffFy 211xyffFz 2111 zxFFxz于于是是21211fxyffyzf xyFFyx21211fxzffxyf yzFFzy2121fyzffxzf 01012zyxzyx; ; )xx(y)x(x
10、z2222121 0202vuyxvuyx; ; y)(xuy)x(v321321例如例如又如又如.程程组组解解用用行行列列式式表表示示补补充充知知识识:二二元元一一次次方方 )()(二二元元一一次次方方程程组组2 ,1 ;2222111211byaxabyaxa)(,得得)()(,得得4 23 )1(12222121221122212212221122abyaaxaaaabyaaxaaa ,得得消消去去21212221122211 babaxaaaay 12212211212122aaaababax 22211211221111aaaababay 同理:同理:22211211222121aa
11、aaababx 表示为:表示为:方程组解方程组解.,DDyDDxbabaDababDaaaaaaaaDbyaxabyaxa212211112222121121122211222112112222111211则系数行列式式解法:二元一次方程组的行列的的雅雅可可比比行行列列式式对对变变量量,)函函数数()(数数;某某邻邻域域具具有有连连续续的的偏偏导导在在点点,)(满满足足条条件件:,设设两两个个函函数数定定理理zyGFzyxGzyxFzyxGFGF,3; 0),(, 0),(2),(1 3000000000 .),()(),();(0),(0),(000续续这两个函数的导函数连这两个函数的导函数
12、连,并且满足并且满足唯一确定一组单值函数唯一确定一组单值函数方程组方程组xzzxyyxzzxyyzyxGzyxF 的某邻域,在此邻域内则存在点),(0000zyxGGFFzyzy 求导公式推导如下:求导公式推导如下:求求导导,得得两两边边对对中中, ,在在方方程程组组xx,zxx,yGx,zxx,yF , 0) )()(;0) )()( 0101dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx xzyxzyGdxdzGdxdyGFdxdzFdxdyF时,时,当当0 yyzyGGFF,zyzyxyxyzyzyzxzxGGFFGGFFdxdzGGFFGGFFdxdy .,)(),(,;dx
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