连续系统振动(a)-杆的纵向振动ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学2实际振动系统都是连续体，具有连续分布的质量与弹性，实际振动系统都是连续体，具有连续分布的质量与弹性，又称又称连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统连续体是具有无限多自

2、由度的系统连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程二阶常微分方程组组，它是，它是偏微分方程偏微分方程在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的系统是完全类似的我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2

3、022年7月31日振动力学3我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学4（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律体，即在弹性范围内服从虎克定律（2）材料均匀连续；各向同性）材料均匀连续；各向同性（3）振动为微振）振动为微振 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学5连续系统的振动连续系统的振

4、动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学6 动力学方程动力学方程（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 等截面细直杆的纵向振动等截面细直杆的纵向振动 杆长杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积截面积 S材料密度材料密度弹性模量弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形忽略由纵向振动引起的横向变形),(txplx0),(txp：单位长度杆上分布的纵向作用力：单位长度杆上分布的纵向作用力 连续系统的振动连续系

5、统的振动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学7),(txu：杆上距原点：杆上距原点 x 处截面处截面 t 时刻的纵向位移时刻的纵向位移微段分析微段分析 ),(txplx0dxtxp),(dxudxxuu22xuSdxdxxFFF微段应变：微段应变： dxudxxuu)(横截面上内力：横截面上内力：ESF 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22xdx达朗贝尔达朗贝尔惯性力惯性力 xuxuES连续系统的振

6、动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学8),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面处截面在时刻在时刻 t 的纵向位移的纵向位移横截面上的内力：横截面上的内力：xuESESF达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 等直杆等直杆ES 为常数为常数 ),(1222022txpSxuatu/0Ea 弹性纵波沿杆的纵向传

7、播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 ),(txplx0 xdx连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学9（2）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定，以张力 F 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 建立坐标系建立坐标系xoy),(txy：弦上：弦上 x 处横截面处横截面 t 时刻的横向位移时刻的横向位移 ),(txp：单位长度弦上分布的作用力：单位长度弦上分布的作用力 ：单位长度

8、弦质量：单位长度弦质量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理： 22d(d )( , )dyA xFxFp x txtx弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程0aF / A令：令：xy并考虑到：并考虑到：),(1222022txpxyaty弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度0a),(txpdxx),(txypdx22dyA xtdxxdxFFsin微振微振达朗贝尔达朗贝尔惯性力惯性力 弦的定义弦的定义: 很细长很细长振动中认为张力不变振动中认为张力不变 FFyxo连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么

9、把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学10（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动扭矩作用下作扭转振动 假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩截面的极惯性矩 Ip材料密度材料密度切变模量切变模量 G),(txp：单位长度杆上分布的外力偶矩单位长度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：),(tx：杆上距离原点杆上距离原点 x 处的截面在时处的截面在时 刻刻 t 的角位移的角位移截面处扭矩截面处扭矩 T微段微段 dx 受力

10、受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp dxIp：微段绕轴线的转动惯量微段绕轴线的转动惯量达朗贝尔达朗贝尔惯性力偶惯性力偶 连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学11微段微段 dx 受力受力),(txpx0 xdxpdxTdxxTT 22tdxIp 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：pdxTdxxTTtdxIp )(22材料力学：材料力学：xGITp ),(22txpxTtIp ),()(22t

11、xpxGIxtIpp 圆截面杆的扭转振动强迫振动方程圆截面杆的扭转振动强迫振动方程等直杆，抗扭转刚度等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数为常数),(1222022txpIxatp Ga 0剪切弹性波的剪切弹性波的纵向传播速度纵向传播速度连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学12小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 ),(1222022txpSxuatu（2）弦的横向振动）弦的横向振动),(1222022tx

12、pxyaty虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于分方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动2220221( , )pap x tItx连续系统的振动连续系统的振动 / 一维波动方程一维波动方程我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学13222022xuatu 固有频率和模态函数固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 ),(122

13、2022txpSxuatu自由振动自由振动/0Ea 假设杆的各点作同步运动：假设杆的各点作同步运动：)()(),(tqxtxuq(t) ：运动规律的时间函数：运动规律的时间函数 )(x：杆上距原点：杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅处的截面的纵向振动振幅 )()()()(20 xxatqtq ),(txplx0连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动（常数）（常数）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学14)()()()( 20 xxatqtq 记

14、：记：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq )sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态 ）,21cc由杆的边界条件确定由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数数 ，表示各坐标振幅的相对比值表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 i（下面讲述）（下面讲述）（杆的边界条件确定（杆的边界条件确定固有频率固有频率）连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动

15、杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学15第第 i 阶主振动：阶主振动：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一对应一一对应)2 , 1(),sin()(),()( itxatxuiiiii系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin(),(iiiiitatxu连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子

16、是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学16几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 （1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件： 0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒为零不能恒为零 )(tq0)0(0)(l0201cossin)(axcaxcx02c0sin0al频率方程频率方程固有频率：固有频率：), 2 , 1 , 0(0ilaii由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因

17、此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数：模态函数：lxicxiisin)(), 2 , 1 , 0(ilx0无穷多个无穷多个连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学17（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件 ：0), 0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(0)( llxicxiicos)(零固有频率对应的常值

18、模态为杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移0201cossin)(axcaxcx频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同), 2 , 1 , 0(i固有频率：固有频率：), 2 , 1 , 0(0ilaii模态函数：模态函数：lx0频率方程频率方程01c0cos0al连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学18（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征

19、：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(0)( l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0), 0(tu模态函数：模态函数：,.2 , 1,)212(ilaii,.2 , 1),212sin()(ixlicxiilx0或：或：,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii频率方程频率方程连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一

20、个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学19左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件 ：0), 0(xtuES)()(),(tqxtxu 0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0),(tlu模态函数：模态函数：lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii频率方程频率方程连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳

21、，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学20边界条件边界条件0)(l0)0(0cos0al模态函数模态函数lx0,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)( l0cos0al频率方程频率方程固有频率固有频率,.5 , 3 , 1,2ilaii,.5 , 3 , 1),2sin()(ixlicxii连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个

22、美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学21例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一弹簧定，右端与一弹簧连接连接推导系统的频率方程推导系统的频率方程lx0k连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学22解：解：边界条件：边界条件：lx0k0), 0(tu),(),(tlxuEStlku)()(),(tqxtxu 0201cossin)(axca

23、xcx0)0(),()(tlxESlk02c000cossinalaESalk常数klESalaltg00/)/(频率方程频率方程振型函数：振型函数：xacxii0sin)(连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学23例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一集中定，右端与一集中质量质量M固结固结推导系统的频率方程推导系统的频率方程Mlx0边界条件：边界条件：0), 0(tu),(),(22tlxuESt

24、ltuM自己推导！自己推导！连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学24主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或等截面杆可以是变截面或等截面 质量密度及截面积质量密度及截面积 S 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 动力方程动力方程 ：),()(22txpxuESxtuS 自由振动：自由振动：)(22xuESxtuS 主振

25、动主振动 ：)sin()(),( taxtxuSES2)(连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学25SES2)(杆的简单边界杆的简单边界 ：固定端固定端0)( xx = 0 或或 l 0)( xES自由端自由端x = 0 或或 l )(xii)(xjjiiiSES2)( jjjSES2)( )(xj乘乘 并沿杆长积分：并沿杆长积分： lljiiijdxSdxES002)(分部积分：分部积分： dxESESdxES

26、jllilijij 000)()(00任一端上总有任一端上总有或或成立成立 ljiiljidxSdxES020连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学26)(xi乘乘 并沿杆长积分：并沿杆长积分： iiiSES2)( jjjSES2)( 同理同理)(xj乘乘 并沿杆长：并沿杆长： lljiiijdxSdxES002)( lljijjidxSdxES002)( ljijljidxSdxES020相减相减 ljiilj

27、idxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 时时杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 00ljidxS lijljidxESdxES000)()(ji 杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学270)(022ljijidxS关于质量的正交性关于质量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当

28、ji 时时 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化： 102 pilimdxS正则振型正则振型 2ipik 则第则第 i 阶主刚度：阶主刚度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)( 合写为：合写为： jijiij01连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它

29、放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学28杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解 ),()(22txpxuESxtuS 强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件： )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2 , 1 i（i已经得出已经得出令：令：)()(),(1tqxtxuiii正则坐标正则坐标 ),()(11txpqESqSiiiii 两边乘两边乘j并沿杆长对并沿杆长对 x 积分积分 ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),

30、()( 利用正交性条件利用正交性条件)(2tQqqjjjj 第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 jq jjq2)(tQj连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学29),()(22txpxuESxtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj ljjdxtxptQ0),()(模态初始条件的求解模态初始条件的求解 12011)0()()()0(

31、)()()0 ,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿杆长对并沿杆长对 x 积分，由正交性条件：积分，由正交性条件： ljjljjdxxxSfqdxxxSfq0201)()()0()()()0( ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()()(tqj求得求得 后后可得可得),(txu连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学30),()(22txpxuES

32、xtuS )()0 ,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj dxtxptQjlj),()(0集中力集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：)()(),( xtPtxp正则坐标广义力：正则坐标广义力： ljjdxxxtPtQ0)()()()(分布力分布力lx0)(tP)()(jtP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学31例：等直杆例：等直杆自由端作用有

33、：自由端作用有： tPtPsin)(0 为常数为常数0P求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 lx0)(tP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学32解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边界条件：边界条件：固有频率：固有频率：), 5 , 3 , 1(20 ilaii), 5 , 3 , 1(2sin)( ilxicxii模态函数：模态函数：归一化条件：归一化条件： 102 dxSli12)2sin

34、(220 ilicSldxlxicSSlci2 ), 5 , 3 , 1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模态广义力：模态广义力：正则方程正则方程 ：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 tiPctqiiisin2sin1)(022 稳态振动稳态振动 ：)()(),(5 , 3 , 1tqxtxuiii 当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 lx0)(tPlxiisltPii2sin2sin1sin23 , 1220 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓

35、了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学334/ lx04/ l2/ l0P0P例：例：一均质杆两端固定。假一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集定在杆上作用有两个集中力，如图所示中力，如图所示试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？振动？连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活

36、的生物2022年7月31日振动力学34边界条件：两端固定边界条件：两端固定0)()0(), 0(tqtu0)()(),(tqltlu初始条件：初始条件：), 2 , 1(,0ilaii模态函数模态函数 ：,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii4/ lx04/ l2/ l0P0P解：解：自由振动方程：自由振动方程：222022xuatuEa 0固有频率：固有频率：0)()()0 ,(0ttuxfxulxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP400连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放

37、在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学354/ lx04/ l2/ l0P0P系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 1)sin(),(iiiiitatxu10201sincossiniiitlaiBtlaiBlxi), 2 , 1(,0ilaii,.)2 , 1(,sin)(ilxicxii连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物

38、2022年7月31日振动力学364/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu初始条件：初始条件：0)()()0 ,(0ttuxfxu应用位移初始条件：应用位移初始条件：11sin)(iilxiBxf两边乘两边乘)(xSj并沿杆长积分，然后利用正交性条件：并沿杆长积分，然后利用正交性条件：lidxlxixflB01sin)(2应用速度初始条件：应用速度初始条件：02iB连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测

39、没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学374/ lx04/ l2/ l0P0PlidxlxixflB01sin)(2lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000ESP40002iBllllldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0sin)( sin)2(sin24/ )2(220) 1(iESilP,.)10, 6 , 2( i连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物202

40、2年7月31日振动力学384/ lx04/ l2/ l0P0P10201sincossin),(iiitlaiBtlaiBlxitxu02iB,.)10, 6 , 2() 1(4/ )2(2201iESilPBii系统响应：系统响应：,.10, 6, 2024/ )2(20cossin) 1(iitlailxiiESlP连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学39例：例：有一根有一根 x=0 端为自由端为自由, x

41、=l 端处为固定的直杆，固定端处为固定的直杆，固定端承受支撑运动端承受支撑运动tdtugsin)(d为振动的幅值为振动的幅值试求杆的稳态响应试求杆的稳态响应lx0)(tug连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学40解：解：lx0tdtugsin)(建立方程建立方程dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析应变：应变： xuudxudxxuuugg)()(内力：内力：xuuESESFg)(达

42、朗贝尔原理：达朗贝尔原理： FdxxFFtuSdx)(22),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面处截面在时刻在时刻 t 的纵向位移的纵向位移2222)(xuuEStuSg连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学41lx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程： 2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin2设解为：设解为： 1*)()(iiitqxu)(x

43、i为归一化的正则模态为归一化的正则模态,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，得：tSdESqqSiiiiisin)(2,.5 , 3 , 1 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学42lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitSdESqqSiiiiisin)(2,.5 ,

44、3 , 1 )(xj用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxSq0210 0sin)( 利用正交性：利用正交性：tdillqqiiiisin) 1(2222/ )1(2 连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学43lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5 , 3 , 1,2cos2)(ixlilxitdi

45、llqqiiiisin) 1(2222/ )1(2 模态稳态解：模态稳态解：tdillqiiiisin) 1(222/ ) 1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16,.5 , 3 , 132/ )1(322*连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学44lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos) 1(16

46、,.5 , 3 , 132/ ) 1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos) 1(161 ,.5 , 3 , 12/ ) 1(3322*连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2022年7月31日振动力学45杆振动分析小结杆振动分析小结1. 建立动力学方程建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件代入动力学方程，并利用正交性条件 得到模态空间方程得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解返回物理空间，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQqqjjjj )(,xii)0(),0(jjqq)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空间问题物理空间问题模态空间问题模态空间问题)()(),(1tqxtxuiii连续系统的振动连续系统的振动 / 杆的纵向振动杆的纵向振动