复变函数幂级数ppt课件.ppt

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1、上页下页铃结束返回首页4.2 幂级数幂级数1 1、幂级数的敛散性、幂级数的敛散性2 2、幂级数的收敛半径的求法、幂级数的收敛半径的求法3 3、幂级数的和函数的解析性、幂级数的和函数的解析性4 4、例题、例题5 5、小结、小结上页下页铃结束返回首页1.1 幂级数的定义：幂级数的定义： 20120()()()nnnczacc zacza 4.3 4.3 形式的复函数项级数称为幂级数形式的复函数项级数称为幂级数,其中其中 c0,c1,c2 ,a都是复常数都是复常数.20121.nnnc zcc zc z 幂级数是最简单的解析函数项级数幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚为了搞清楚它的敛散性它的

2、敛散性,先建立以下的阿贝尔先建立以下的阿贝尔(Abel)定理定理.1、幂级数的敛散性、幂级数的敛散性具有具有若令若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式则以上幂级数还可以写成如下形式上页下页铃结束返回首页定理定理4.10：如果幂级数如果幂级数(4.3)在某点在某点z1(a)收敛收敛,则它必则它必在圆在圆K:|z-a|z1-z|(即以即以a为圆心圆周通过为圆心圆周通过z1的圆的圆)内绝对内绝对收敛且内闭一致收敛收敛且内闭一致收敛.证证:设设z是所述圆内任意点是所述圆内任意点.因为因为1|() |nnczaM(n=0,1,2,),111|() | |() () |nnnnnnzazaczaczaM

3、zaza注意到注意到|z-a|z1-a|, 故级数故级数11nnzaMza a 10nnncza 收敛收敛,它的各项必然有界它的各项必然有界,即有正数即有正数M,使使收敛收敛上页下页铃结束返回首页11|() |()|nnnnzaczaMMzaza 其次其次,对对K内任一闭圆内任一闭圆0()nnncza 0()nnncza在圆在圆 K 上有收敛的优级数上有收敛的优级数因而它在因而它在 K 上一致收敛上一致收敛.再由定理再由定理4.8,此级数此级数必在圆必在圆K内内闭一致收敛内内闭一致收敛.01()|nnMza 在圆在圆K内绝对收敛内绝对收敛. 1:Kz aoza 上的一切点来说上的一切点来说,有

4、有: a上页下页铃结束返回首页推论推论4.11 若幂级数若幂级数(4.3)在某点在某点z2(a)发散发散,则它在以则它在以a为为圆心并且通过点圆心并且通过点z2的圆周外部发散的圆周外部发散. az1z2上页下页铃结束返回首页xya1z .2z.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以的收敛范围是以a点为中心的圆域点为中心的圆域.收敛圆周收敛圆周特别特别,.0时，收敛圆缩为一点R.R 时，收敛域为整个复平面上页下页铃结束返回首页与幂级数与幂级数相对应，作实系数幂级数相对应，作实系数幂级数其中x为实变数.则有定理定理4.11 设设的收敛半径的收敛半径是是R，那么按照不

5、同情况，那么按照不同情况，我们分别有：我们分别有：n0n0n0n0n0n0(1)0z - zRc (z-z ) z - zRc (z-z ) .R 如果，那么当时，级数绝对收敛当时，级数发散00(2)().nnnRczz 如果，那么级数在复平面上每一点绝对收敛000().nnnRczz0(3)如果，那么级数在复平面上除去zz 外发散2.幂级数的敛散性讨论幂级数的敛散性讨论nnnzzc)(00nnnnnxcxcxccxc22100ncnnxc0上页下页铃结束返回首页注解注解1 )0( RRRzz|0R0z和数学分析中一样，定理的和数学分析中一样，定理的称为此级数的收敛半径；而称为此级数的收敛半径

6、；而称为它的收敛圆盘称为它的收敛圆盘.时，我们说此级数的收敛半径是时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面，收敛圆盘扩大成复平面.当当R=0时，我们说此级数的收敛半径是时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点收敛圆盘收缩成一点上页下页铃结束返回首页定理定理4.12 如果幂级数如果幂级数(4.3)的系数的系数cn合于合于1lim,(nnnclD Alembertc 达达朗朗贝贝尔尔）lim|,()nnncl 柯柯西西C Ca au uc ch hy yz或或lim,(-)nnnclCauchy Hadamard 柯柯西西阿阿达达玛玛或或2、幂级数的收敛半径的求法、幂级数的收敛

7、半径的求法则幂级数则幂级数 的收敛半径为的收敛半径为:0)(nnnazcR=1/l (l0,l+)0 (l=+);+ (l=0).(4.4)上页下页铃结束返回首页例例1求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1) 13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2) 1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0 z时的情形时的情形)或或nnnnnnc31limlim 解解 (1)nnncc1lim 3)1(lim nnn因为因为, 1 . 11lim3 nnn4、典型例题、典型例题上页下页铃结束返回首页所以收敛半径所以收敛半径, 1 R即原级数在圆即原级数在圆1 z内收敛内收

8、敛, 在圆外发散在圆外发散, 收敛的收敛的p级数级数 ).13( p所以所以原级数在收敛圆上是处处收敛的原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1 z上上, 级数级数 13131nnnnnz上页下页铃结束返回首页说明说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当 z原级数成为原级数成为,1)1(1 nnn交错级数交错级数, 收敛收敛.,2时时当当 z发散发散.原级数成为原级数成为,11 nn调和级数，调和级数，(2)1limlim1 nnccnnnn,1 . 1 R即即上页下页铃结束返回首页解解)4sin4(cos21 ii

9、因为因为nnic)1( 所以所以nnncc1lim .2221 R例例2 0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie ;)2(4inne nnn)2()2(lim1 . 2 上页下页铃结束返回首页注解注解2(1) 处处收敛处处收敛;(2)既有收敛点既有收敛点,又有发散点又有发散点;(3)处处发散处处发散一个幂级数在其收敛圆上的敛散性有如下三种可能一个幂级数在其收敛圆上的敛散性有如下三种可能.1100上处处发散所以原级数在收敛圆周发散，时，在，的收敛半径是nnnnzzz例如例如上页下页铃结束返回首页定理定理4.13 (1) 幂级数幂级数0)()(nnnazczf(4.5)的和函数的

10、和函数f(z)在其收敛圆在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析内解析.3、 幂级数的和函数的解析性幂级数的和函数的解析性 (2)在在K内内,幂级数幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶可以逐项求导至任意阶,即：即：( )1( )!(1)2()pppfzp cppcz a (1)(1)()n pnn nnpc za (p=1,2,) (4.6)(3) (p=0,1,2,). (4.7)()( )!ppfacp (4)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 0.:,d)(d )(ncnncRazKczazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或简言之简言之: 在收敛

11、圆内在收敛圆内, , 幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导, , 逐项积分逐项积分. .(常用于求和函数常用于求和函数)即即上页下页铃结束返回首页例例3 求级数求级数 0)1(nnzn的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解12limlim 1 nnccnnnn因为因为. 1 R所以所以利用逐项积分利用逐项积分,得得: 0000d)1(d)1(nznznnzznzzn 01nnz所以所以)1()1(0 zzznnn, 1 .1zz .)1(12z 1 z4、典型例题、典型例题上页下页铃结束返回首页例例4 计算计算.21,d)(1 zczzcnn为为其中其中

12、解解,21内内在在 z 1)(nnzzS和函数和函数 czzzId)111(所以所以02 i,1收敛收敛 nnz 01nnzz,111zz cczzzzd11d1.2 i 上页下页铃结束返回首页例例5 求级数求级数11) 12(nnnz的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解1212limlim 11 nnnnnncc因为因为.21 R所所以以,21时时当当 zzzznnn 11212)12(11故故, 2 , 12 z,1111zznn 11111222nnnnnnzzz212 .)1)(21(1zz 上页下页铃结束返回首页5、小结与思考、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定

13、这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数和函数的性质数和函数的性质.思考题思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?阿贝尔资料阿贝尔资料Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, NorwayNiels Abel阿贝尔和雅可比（阿贝尔和雅可比（Carl Gustav Jacobi 1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始）是公认的椭圆函数论的创始人。这是

14、作为椭圆积分的反函数而为他人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现的。这一理论很快就成为十九世所发现的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要领域之一，他对数论、纪分析中的重要领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有许多应用。阿数学物理以及代数几何有许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性。此外，在交换群、二项级数的严期性。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作使他成为分析学严格化的献。这些工作使他成为分析学严格化的推动者。推动者。上页下页铃结束返回首页incncos 因为因为nnnnnnnneeeecc 111limlim 所以所以故收敛半径故收敛半径.1eR 0)(cosnnzin练习练习 求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解),(21coshnneen , e