机器人技术数学基础ppt课件.ppt

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1、Human robot interactionMedical roboticsSensor fusionLegged robotsUnderwater robotsManipulator motion planningCamera calibrationIntelligent transportation systemsSLAM: Features and landmarksHumanoid robot body motionMicrorobotsBiologically-inspired robotic devicesRehabilitation roboticsField robotics

2、GraspingNanorobotic manipulationFish-like robotParallel robot 第二章第二章 机器人运动学及其数学基础机器人运动学及其数学基础n 美籍华人美籍华人n 普渡大学（普渡大学（Purdue University）电机工程专业）电机工程专业著名教授著名教授n 4部著作、部著作、400多篇论文多篇论文n 第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模式识别之父式识别之父n 1985年去世年去世n 中南大学教授，我国人工中南大学教授，我国人工智能和机器人领域著名专智能和机器人领域著名专家家n 中国人工智能学会智能

3、机中国人工智能学会智能机器人专委会理事长器人专委会理事长n 曾与付京逊教授一起工作曾与付京逊教授一起工作过过inoa 关节的关节的相对运动相对运动导致杆件的运动，导致杆件的运动，使末端执行器定位于所需要的方使末端执行器定位于所需要的方位上位上 在一般机器人应用问题中，人们在一般机器人应用问题中，人们感兴趣的是：末端执行器相对于感兴趣的是：末端执行器相对于固定参考坐标数的固定参考坐标数的空间几何描述空间几何描述，也就是机器人的运动学问题也就是机器人的运动学问题 机器人的运动学即是研究机器人机器人的运动学即是研究机器人手臂手臂末端执行器位置和姿态末端执行器位置和姿态与与关关节变量空间节变量空间之间

4、的关系之间的关系Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics: Choose these angles!1000pppTzyyyxxxzzzyxwww第二节第二节 数学基础数学基础齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换kcj bi av zy x TwwzyxV式中式中i, j, k为为x, y, z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a= , b= , c= ，w为比例系数为比例系数 wxwywz 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同

5、而不同。在计算机图学中，值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取在机器人的运动分析中，总是取w=1 。列矩阵列矩阵一个点矢：一个点矢：kjiV543可以表示为：可以表示为： V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T xyzzzxV图2-2on 2个常用的公式：个常用的公式：zzyyxxbabababakbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxz

6、yzzyzyxzyx)()()(点乘点乘:叉乘叉乘:0dwczbyaxwzyxdcbaPV与点矢与点矢 相仿，平面相仿，平面 也没有意义也没有意义 T00000000设一个平行于设一个平行于x、y轴，且在轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平轴上的坐标为单位距离的平面面P可以表示为：可以表示为： 或或 有：有： PV= 1100P2200P v0 v0 v0 点在平面下方点在平面上点在平面上方例如：点例如：点 V=10 20 1 1T 必定处于此平面内，而点必定处于此平面内，而点 V=0 0 2 1T处于平处于平 P 的上方，点的上方，点V=0 0 0 1T处于处于P平面下方，因为：平面下方，因为

7、：0112010101000 0 1120011000 -110001-100设固定参考坐标系直角坐标为设固定参考坐标系直角坐标为Oxyz，动坐标系为，动坐标系为O uvw，研究旋转变换情况。研究旋转变换情况。xyzwvuPo(O)图2-3 初始位置时，动静坐标系重合，初始位置时，动静坐标系重合，O、O 重合，如图。各轴重合，如图。各轴对应重合，设对应重合，设P点是动坐标系点是动坐标系O uvw中的一点，且固定不变。中的一点，且固定不变。则则P点在点在O uvw中可表示为：中可表示为： wwvvuuuvwkPjPiPP 、 、 为坐标系为坐标系O uvw的单位矢的单位矢量，则量，则P点在点在o

8、xyz中可表示为：中可表示为： uivjwkzzyyxxxyzkPjPiPPxyzuvwPP 当动坐标系当动坐标系O uvw绕绕O点回转时，求点回转时，求P点在固定坐标系点在固定坐标系oxyz中的位置中的位置 yzxo(O)uvwPPwPvPu图2-4已知：已知：P点在点在O uvw中是不变的仍然中是不变的仍然成立，由于成立，由于O uvw回转，则：回转，则： wwvvuuuvwkPjPiPPxwwvvuuxuvwxikPjPiPiP)(PywwvvuuyuvwyjkPjPiPjP)(PzwwvvuuzuvwzkkPjPiPkP)(P用矩阵表示为用矩阵表示为: wvwzvzzwvyywxvxx

9、zyxPPPkkjkikkjjjijkijiiiPPPy（2-7） uvwxyzwzvzzwvyywxvxxPRpkkjkikkjjjijkijiii:R y则旋转矩阵为：定义反过来：反过来： xyzuvwPRP1RRRdet*1T1RRRdet是正交矩阵，的行列式，为的伴随矩阵，为RRRR用齐次坐标变换来表示式（用齐次坐标变换来表示式（2-7） 110000001wvuzyxPPPRPPP1100000011zyxwvuPPPRPPP三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵 ),(xR即动坐标系即动坐标系 求求 的旋转矩阵，也就是的旋转矩阵，也就是求出坐标系求出坐标系 中各轴单位矢量中各轴单位矢量

10、在固定坐标系在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：角，轴转动绕，XOvwOvwOwvkji,Oxyz),(xR100010001Rwzvzzwvyywxvxxkkjkikkjjjijkijiiiy)R(x,xyzouvwUVWO图2-5ssin0sincos0001coiiux方向余弦阵方向余弦阵同理：同理： cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R （ssin0sincos0001)R(x,co三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵: : xyzouvwUWOxyzouvw

11、UWOvn 合成旋转矩阵合成旋转矩阵: :例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参，相对固定参考坐标系考坐标系 做如下运动：做如下运动： R（x, 90）；）； R(z, 90)； R(y,90)。求运动后点。求运动后点 在固定参考坐标系在固定参考坐标系 下的位置。下的位置。 TuvwPo1321OxyzuvwPoOxyz解解1：用画图的简单方法：用画图的简单方法 解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x, 90） R（z, 90） R（y, 90） 123113211000001001-000001P12131231100001000001001-0 P13

12、12121310000001-00100100 P（2-14） （2-15） （2-16） 上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（结果。将式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）联写为如下形式：）联写为如下形式： 11000133wvuzyxPPPRPPPR3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令： ),(),(),RR33xRzRy（定义定义1： 当动坐标系当动坐标系 绕固定坐标系绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序转动时，其合成旋

13、转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘左乘。注意：注意：旋转矩阵间旋转矩阵间不可以交换不可以交换 uvwOOxyzn 平移齐次变换矩阵平移齐次变换矩阵1000100010001c) b (a TransHcba注意：注意：平移矩阵间可以交换，平移矩阵间可以交换， 平移和旋转矩阵间不可以交换平移和旋转矩阵间不可以交换 zyxoowuvabc举例说明：举例说明：例例1：动坐标系动坐标系0起始位置与固定参考坐标系起始位置与固定参考坐标系0重合重合,动坐标系动坐标系0做如下运动：做如下运动：R(Z,90) R（y,90） Trans(4，-3, 7)，求合成矩阵，求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图

14、的方法： ozyx74-3owuvvuwzyxoo(o)xyzuvwzyxuwo(o) v解解2：用计算的方法：用计算的方法 根据定义根据定义1，我们有：，我们有：1000701030014100 )R(Z,90 )90 R(y, 7) , 3- ,Trans(4T 以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果： 例例2：先平移：先平移Trans (4,-3,7)；绕当前；绕当前 轴转动轴转动90； 绕当前绕当前 轴转动轴转动90；求合成旋转矩阵。；求合成旋转矩

15、阵。 vw （2-202-20）解解1：用画图的方法：用画图的方法 zyxo(o)vwuzyxoowuvozyxowvuxyzoowuv解解2：用计算的方法：用计算的方法 1000701030014100)R(Z,90 )90 R(y, 7) , 3- ,Trans(4Too（2-212-21）式（式（2-202-20）和式（）和式（2-212-21）无论在形式上，还是在结果上都是）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定义定义1 1：如果所有的变换都是

16、相对于固定坐标系中各坐标轴旋如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义定义2 2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+ +姿态）。相姿态）。相对于固定坐标系，对于固定坐标系，轴。轴相当于轴，轴相对于轴，轴相当于ZYXwv 也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固也就是说，动坐标系绕

17、自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。 xyzoHXYZrxryrzABCDBO51243rA由上图容易求出：由上图容易求出：2z2yyrrrsin2z2yzrrrcosxxrrrrOCsin2z2y2z2yrrrrrOBCBcos由定义由定义1和定义和定义2，上述，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：次旋转的合成旋转矩阵为：cossin0sin-cos0001cos0sin010sin-0cos1000cossin0sin-coscos0sin-010sin0coscossin0sincos0001RRRRRR,x,y, z

18、,y,x, r（2-252-25）XYZrxryrzABCDBO51243rA带入式带入式（2-252-25），得），得cos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rsinr)cos(1rrsinr)cos(1rrcos)cos(1rR2zxzyyzxxzyyzx2yzyxzyx2x, r由该式可以推出由该式可以推出3个基本旋转矩阵个基本旋转矩阵设，有一个手爪，即动坐标系设，有一个手爪，即动坐标系O O ，已知，已知， 初始位置初始位置重合，那么重合，那么O O 在在O O中的齐次坐标变换为：中的齐次坐标

19、变换为： ，如果手爪转了一个角度，如果手爪转了一个角度， 则：则：111cbao1000100010001T 1111cba1000pppTzyyyxxxzzzyxwwwT反映了反映了O O 在在O O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由该矩阵可以由4 4个子矩阵组成，写成如下形式：个子矩阵组成，写成如下形式：比例系数透视矩阵位置矢量旋转矩阵11311333wfPRTzzzyyyxxxwww33R为为姿态矩阵（旋转矩阵）姿态矩阵（旋转矩阵），表示动坐标系，

20、表示动坐标系O O 在固定参考坐标系在固定参考坐标系O O中的姿态，即表示中的姿态，即表示O O 各坐标轴单位矢量在各坐标轴单位矢量在O O各轴上的投影各轴上的投影 为为位置矢量矩阵位置矢量矩阵，代表动坐标系，代表动坐标系O O 坐标原坐标原点在固定参考坐标系点在固定参考坐标系O O中的位置中的位置 TzyxpppP13为为透视变换矩阵透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，在视觉中进行图像计算，一般置为一般置为0 0 00031f为为比例系数比例系数 1 11w如果需要求解如果需要求解O O在在O O 中的位置和姿态，此时的齐次变换矩中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为阵为 ，即求逆矩阵：，即求

21、逆矩阵： 1T1000-R-TTT1 -33T1pwpvp）（）（）（ kpjpippzyxkjizyxkvjvivvzyxkwjwiwwzyx其中：其中：这些式子以后经常遇到，这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵求的就是齐次变换矩阵 pp: Px1PP x1 1()1ppppTTy zy zypzpzpfypzpzpypfypfzpxpypfzpxpypypfypfypfypypypfypypffxpxpy 以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，用齐次坐标表示求 的齐次坐标，即求根据三角形相似原理：注意是负值， 是正值，所以实际上为相减关系又

22、有设111000010000101110001ypzpypzppypzpfffxpxpxpypypypTfzpzpzpypf用矩阵表示：zyPypfozpfpzPpypp: Px1PP x1 1()1ppppTTy zy zypzpzpfypzpzpypfypfzpxpypfzpxpypypfypfypfypypypfypypffxpxpy 以光心为原点O，光轴与y轴重合，P为物点，用齐次坐标表示求 的齐次坐标，即求根据三角形相似原理：注意是负值， 是正值，所以实际上为相减关系又有设111000010000101110001ypzpypzppypzpfffxpxpxpypypypTfzpzpz

23、pypf用矩阵表示：f11010010000100001T1T11pfzyxfyzyxzyxfpppfpppppp用矩阵表示：cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R （ssin0sincos0001)R(x,co例题例题1 1：O O 与与O O初始重合，初始重合，O O 作如下运动：绕作如下运动：绕Z Z轴转动轴转动3030 ；绕绕X X轴转动轴转动6060 ；绕；绕Y Y轴转动轴转动9090 。求。求T T。 100001000030cos30sin0030sin30cosR11000060cos60sin0060sin60cos00001

24、2R1000090cos090sin0010090sin090cos3R1000002/12/302/34/34/102/14/34/3123RRRT例题例题2 2：O O 与与O O初始重合，初始重合，O O 作如下运动：绕作如下运动：绕X X轴转动轴转动9090；绕；绕w w轴转动轴转动9090；绕；绕Y Y轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，如；改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。何旋转才能获得相同的结果。 1000090cos90sin0090sin-09cos00001R1100001000090cos90sin0090sin90cos2R1000090cos0

25、90sin0010090sin090cos3R1000001001000001213RRRT解：解： 解：解： 绕绕Z（w）轴转动）轴转动90； 绕绕X轴转动轴转动90； 绕绕Y轴转动轴转动90。 例题例题3 3： 矢量矢量 在在O O 中表示为中表示为 ，O O 相对于相对于O O的的奇次变换为：奇次变换为： Pkjip2230100011002000110010T oo中的矢量在求此时，轴平移的沿轴转的绕当中的矢量在求的位置和姿态在画出：求0 20X0 90Y0 0)3 0 2) 00 1) O00ppp解：解：1 1） zxyuwvoo解：解：2 2） 13238T00ppo解：解：3

26、3） ， ， 1000090cos090sin0010090sin090cosR110000100001020001T 1r1000100102000121100TRT11orT1823231223100010010200012110100pTp例题例题4 4： 如图所示，如图所示，1 1）写出）写出 、 、 、 ；2 2）求）求 1T21T32T43T 40 T 100011-00301-03.5-001T11000101-03001-0100T211000000155354-0054530 T32100001-0000103.5001- T 43解：解：1 1） o0 x0y0z433.5

27、11o1x1y1z2o2x2y2z3o3x3y3z4o4x4y4z解解2 2）：根据定义）：根据定义2 2，绕自身旋转，右乘，绕自身旋转，右乘100050.6-0.8-000.8-0.600001- T T T TT 433221140 习题习题1 1：O O 与与O O初始重合，初始重合，O O 作如下运动：绕作如下运动：绕z z轴转动轴转动9090；绕；绕v v轴转动轴转动9090；绕；绕x x轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，如；改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。何旋转才能获得相同的结果。 习题习题2 2： 已知齐次变换矩阵已知齐次变换矩阵 要求要求R R（f,)f,), , 求求f f和和值值1000000101000010H