极限与连续习题课ppt课件.ppt

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1、第二章第二章 极限与连续习题课极限与连续习题课 x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使一、数列极限一、数列极限 1数列极限的定义数列极限的定义 2数列极限的运算法则数列极限的运算法则 bBaAybxabyaxnnnnnnn limlim)(lim)1(AByxyxnnnnnnn limlim)(lim)2()0( limlimlim)3(时时 BBAyxyxnnnnnnn3数列极限的主要

2、性质数列极限的主要性质 MxMAxnnn |, 0,lim)1(使得使得则则有界性：若有界性：若BABxAxnnnn ，则，则唯一性：若唯一性：若lim,lim)2(4数列极限的存在准则数列极限的存在准则 AzAyzxynnnnnnn lim,lim,)1(夹夹逼逼准准则则：若若Axnn lim则则单单调调有有界界收收敛敛原原理理)2(AxMxxxnnnnn lim,1AxMxxxnnnnn lim,1Axfxx )(lim 0二、函数的极限二、函数的极限 1函数极限的定义函数极限的定义 Axfx )(lim 2函数的左右极限函数的左右极限 左极限左极限:.)(, 0, 000 Axfxxx恒

3、有恒有时时使当使当右极限右极限:.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作 AxfxfAxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim )1(000003函数极限收敛的充要条件函数极限收敛的充要条件 AxfxfAxfxxx )(lim)(lim)(lim )2(4函数极限的运算法则函数极限的运算法则 bBaAxgbxfaxbgxaf )(lim)(lim)()(lim)1(ABxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)2()0( )(lim

4、)(lim)()(lim)3(时时 BBAxgxfxgxfBABxfAxf 则则唯唯一一性性：若若,)(lim,)(lim )1(5函数极限的主要性质函数极限的主要性质 0, 0)(lim )2(0 MAxfxx，则，则局部有界性：若局部有界性：若Mxfxx | )(|00时，时，使得使得 Axhxg )(lim)(lim 则则Axf )(lim（4）夹逼准则：若）夹逼准则：若)()()( xhxfxg )(3（00或或00） , ,则在则在局部保号性：若局部保号性：若),( xU内有内有Axfxx )(lim0)0(0)( 或或xf三、无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大 1无穷小的基本概念无穷

5、小的基本概念 ，比较它们的阶，比较它们的阶0, 0 A lim高阶高阶比比 0 A等价等价与与 1 c同阶同阶与与 0 cA低阶低阶比比 Alim ( )0 x （1）无穷小的定义）无穷小的定义 （2）无穷小阶的比较）无穷小阶的比较0)()( , 0)(,| )(| )1( xgxfxgMxf则则若若2无穷小的主要性质无穷小的主要性质 (2) 若若 0( ) (3) 若若 ， ，lim 且且存存在在，四、两个重要极限四、两个重要极限 1sinlim0 xxx1.2.exxx )11(limlimlim 则则exxx 10)1(lim或或五、解题方法及典型例题五、解题方法及典型例题 数列极限解题

6、数列极限解题 方法流程图方法流程图 求求limnna可找到数列可找到数列 和和 满足满足nbncnnnbaclimlimnnnnbaca 应用夹逼准则应用夹逼准则1()nnag a 验证验证 单调有界单调有界na应用单调应用单调有界准则有界准则1limlim ()( )nnnnaag ag a limnnaa 恒等变形恒等变形应用极限的四则应用极限的四则运算法则求极限运算法则求极限 判别判别 的形式的形式na( )naf n 为分式为分式nalimnnaa limnnaa 应用等价无穷小代换应用等价无穷小代换应用极限的四则应用极限的四则运算法则求极限运算法则求极限 恒等变形恒等变形 求求)(l

7、imxf判别判别 的形式的形式)(xf )()()(xhxgxf Axf )(lim)()()(xhxgxf 为无穷小为无穷小,且且 )(),(xhxg)()(1xgxg)()(1xhxh)()(lim)()(lim11xhxgxhxg 为未定式为未定式)(xf 或或)(1)(1 )(xmxmxf )()(sin)(xmxmxf Axf )(lim 为复合函数为复合函数)()(xhgxf )(xf Axhgxhg )(lim)(lim应用连续函数的应用连续函数的极限运算准则极限运算准则 )(lim)(limxhgxhg 应用重要极限应用重要极限函数极限解题函数极限解题 方法流程图方法流程图 一

8、、函数连续的基本概念一、函数连续的基本概念 1函数连续的定义函数连续的定义 )()(lim)(lim00000 xfxfxfxxxx （1） )(xf在在 点连续点连续:0 x)()(lim00 xfxfxx （2） )(xf在在 点左连续点左连续:0 x)()(lim000 xfxfxx )()(lim000 xfxfxx )(xf2.在在 连续的充要条件连续的充要条件:0 x右连续右连续: （3） )(xf在区间上连续：在在区间上连续：在 ),(ba每一点都连续，叫做在每一点都连续，叫做在 ),(ba连续；如果同时在连续；如果同时在 右连续，在右连续，在 左连续左连续,则叫做在则叫做在 连

9、续连续.b,baa 函数的连续性函数的连续性 3函数连续与极限的关系函数连续与极限的关系 极限存在极限存在连续连续4间断点的分类间断点的分类 间断点间断点 第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点 可去间断点：可去间断点：跳跃间断点：跳跃间断点：)(lim)(lim0000 xfxfxxxx )(lim)(lim0000 xfxfxxxx 无穷间断点：无穷间断点：振荡间断点：振荡间断点：（左右极限都存在）（左右极限都存在）（左右极限至少（左右极限至少有一个不存在）有一个不存在）左右极限至少有一个是左右极限至少有一个是 二、连续函数的运算法则二、连续函数的运算法则 1若若 都连续都连续;

10、 则则 也连续也连续.)(),(xgxf)()(xbgxaf 2若若 都连续都连续; 则则 也连续也连续.)(),(xgxf)()(xgxf 3若若 都连续都连续; 则则 也连续也连续( 时时).)(),(xgxf)()(xgxf0)( xg 4复合性质：复合性质： 若若 在点在点 连续连续; 在在)(xgu 0 xx )(ufy )(0 xgu 连续连续, 则则 在在 连续连续. )(xgfy 0 xx 连续连续在在,)(baxf三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 Cfba )(),( 使使0)(),( fba使使BCABbfAaf )(,)(最值定理最值定理介值定理介值定

11、理零点定理零点定理有界性定理有界性定理MxfmbaxMm )(,有有最大值最大值最小值最小值0)()( bfafKxfbaxK | )(|, 0有有函数极限典型例题函数极限典型例题【例例1】计算计算 623lim2232 xxxxxx分析分析 经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子经过计算可得分子分母的极限都为零，说明分子 分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子分母都有致零因子，可以将分子分母的致零因子 约去，再求极限。约去，再求极限。3222232(1)(2)limlim6(3)(2) xxxxxx xxxxxx解：解：2(1)2lim35 xx xx分析分析 对形如对形如 的极限，

12、分子、分母可同除以的极限，分子、分母可同除以 中中x的最高次，再利用的最高次，再利用 可求得最终结果。可求得最终结果。( ), ( )f xg x( )lim( )xf xg x1lim0(0)kxkx【例例2】计算计算 8546543lim2323 xxxxxxx解：解：3223322345633456limlim5184584 xxxxxxxxxxxxxx34 解：解：)1(lim2xxxx xxxx 1lim21)1(11lim2 xx21 如果改为：如果改为：x结果如何？结果如何？思考思考【例例3】计算计算)1(lim2xxxx 分析分析 由于函数中含有根式，可利用分子有理化变形，由于

13、函数中含有根式，可利用分子有理化变形，可变成可变成 的形式。的形式。 解法解法2：11limarctanlimlim arctan0 ()02xxxxxxx 11limarctanlimlim arctan002xxxxxxx 解法解法1: 因为因为 ， 所以所以 是是 时的无穷小，时的无穷小， 1lim0 xx1xx而而为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知为有界函数，由有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，知arctan x1limarctan0 xxx【例例4】计算计算 1limarctan xxx注意：下面的计算是错误的。注意：下面的计算是错误的。0arctanlim1lima

14、rctan1lim xxxxxxx0arctan1limarctan1lim xxxxxx因为因为 0arctan1lim xxx所以所以 因为因为 lim arctanlim arctan xxxx，故，故 并不存在，并不存在，limarctan xx所以不能应用极限四则运算法则。所以不能应用极限四则运算法则。 解：解：【例例 5】计算计算xxxee21012lim 0, 0021 xxeex时，时，因为因为212lim210所所以以xxxee ,021 xxeex时，时，又当又当xxxee21012lim 所以所以1112lim2120 xxxxeee0 xxxxxxeeee2102101

15、2lim12lim 因为因为不存在不存在所以所以xxxee21012lim 分析分析 本题含本题含 ，当，当 与与(0)时，有不同的结果，时，有不同的结果， 需要用左右极限求之。需要用左右极限求之。0 x1xe解：解：【例例 6】计算计算)2211(lim222nnnnnnnnn 1)1(212211)1(2122222 nnnnnnnnnnnnnnnnn而而21)1(21lim2 nnnnnn211)1(21lim2 nnnnn由夹逼准则得由夹逼准则得21)2211(lim222 nnnnnnnnn分析分析 本题是求本题是求n项和的数列极限问题，从通项的形式上看，项和的数列极限问题，从通项的

16、形式上看，可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。可通过适当放缩以后，利用夹逼准则来计算。 【例例 7】设设), 2 , 1)(21, 0, 011 naaaaaannn nna lim（1）证明）证明存在存在 （2）计算）计算nna lim解：解：(1)由于由于0)(211 aaaaaaaannnnn所以所以)2( naan又又)2( 02)(2121 naaaaaaaaannnnnnn有下界有下界 na即即 na在在 时单调下降时单调下降2 n进而证明了数列的有界性。进而证明了数列的有界性。由单调有界数列必有极限知由单调有界数列必有极限知存在存在nna lim 解：解：(2) 设设 nna

17、lim则有则有1()2 aa （因（因 ，故舍去负值），故舍去负值）0 na注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，注：应用单调有界数列必有极限准则证明数列极限存在，需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是需分别证明数列的单调性和有界性。至于先证单调性还是有界性要根据具体问题具体分析。有界性要根据具体问题具体分析。limnnaa所以所以 解：解：【例例 8】 计算计算1)1232(lim xxxx11232lim()lim(1)2121xxxxxxx 2(1)212122lim (1)21xxxxx e 型未定式的极限型未定式的极限,分析分析 这是这是 1解决方法是利用重要

18、极限。解决方法是利用重要极限。 分析分析 分子分母均趋于分子分母均趋于0，不能运用运算法则，适当作，不能运用运算法则，适当作恒等变形，再利用等价无穷小代换。恒等变形，再利用等价无穷小代换。解：解：30sintanlimxxxx 30)cos1(tanlimxxxx 320)21(limxxxx 21 30sintanlimxxxx 【例例 9】 计算计算 解：解：)sin1tan1)(1sin1()sin1tan1)(sin1tan1(lim20 xxxxxxxxx 原式原式)sin1tan1)(1sin1(sintanlim20 xxxxxxx )1sin1()cos1(tanlim2120

19、 xxxxx21)sin21()21(lim21220 xxxxx分子有理化分子有理化极限非零部分可先提出极限非零部分可先提出xxxxxx 20sin1sin1tan1lim【例例 10】 计算计算分析分析 由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母由于函数中分子分母都含有根式，可利用分子分母有理化变形，可求出极限。有理化变形，可求出极限。 【例例 11】设设14lim231 xxaxxx的的值值和和试试求求具具有有极极限限lal,即所求即所求10 l 解：由于解：由于 ，1lim(1)0 xx极限极限 存在存在 3214lim1xxaxxx 故必有故必有 ，321lim(4)0 xxaxx

20、于是有于是有 ，即，即40a 4a 将将 代回原极限式有代回原极限式有4a 32144lim1xxxxx 3214lim1xxaxxx 1(4)(1)(1)lim1xxxxx 1lim(4)(1)10 xxx函数连续与间断典型例题函数连续与间断典型例题 分析分析 求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。求函数连续点处的极限，则只需直接计算函数值。 解：解：)11(lim11lim )1(00 xxxxxxxxxxsinlnlim )2(001lnsinlimln0 xxx【例例1】求下列极限：求下列极限：(1) (2)xxx11lim0 xxxsinlnlim021111lim0 xx分析

21、分析 只须满足只须满足 即可即可. )0()(lim0fxfx )0(22lim)21ln(lim)(lim000fxxxxxfxxx 又又 ，故当故当 时时, 在在 处连续处连续.af )0(2 a)(xf0 x【例例2】设设 , 试确定常数试确定常数 , 使得使得 0 ,0,)21ln()(xaxxxxfa)(xf在在 连续。连续。0 x解解:要使要使 在在 连续，连续， 只需只需0 x)(xf【例例3】 设设 要使要使 在在 内连续，内连续，,0,0,1sin)(2 xxaxxxxf)(xf),( 试确定试确定 的值。的值。a0 x分析分析 在在 和和 内均连续，因此只需讨论在分界点内均

22、连续，因此只需讨论在分界点)(xf0 x 0 x处的连续性。处的连续性。解：因为解：因为01sinlim)(lim00 xxxfxxaxaxfxx )(lim)(lim200已知已知 在在 内连续，所以在内连续，所以在 处连续，则有处连续，则有)(xf),( 0 x)0()(lim)(lim00fxfxfxx 所以所以0 a【例例4】求函数求函数 的间断点，并指出间断点的类型。的间断点，并指出间断点的类型。 23122 xxxy解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为)1)(2(1231222 xxxxxxy所以所以 为间断点。为间断

23、点。1, 2 xx而而 )1)(2(1lim231lim22222xxxxxxxx所以所以 为第二类无穷间断点。为第二类无穷间断点。2 x2)1)(2(1lim231lim21221 xxxxxxxx 所以所以 为第一类可去间断点。为第一类可去间断点。1 x【例例5】设设 ,01,)1ln(0,)(11 xxxexfx求求 的间断点的间断点, 并并)(xf说明间断点所属类型。说明间断点所属类型。解解: 由由 的表达式的表达式, 间断点只能在无定义的点或分界点处间断点只能在无定义的点或分界点处)(xf所以所以 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点.1 x当当 时时, 0 x 所以所以 是第一类跳

24、跃间断点是第一类跳跃间断点.0 x 1111lim)(limxxxexf当当 时，时，1 x0)1ln(lim)(lim,lim)(lim0011100 xxfeexfxxxxx证明证明: 令令, 34)(47 xxxxf【例例6】证明方程证明方程 在区间在区间 内至少有一个根内至少有一个根.3447 xxx)1 , 0(则则 在在 上连续上连续,)(xf1 , 001)1( , 03)0( ff又又0)( f由零点定理，至少由零点定理，至少 , 使得使得)1 , 0( 即即. 3447 分析分析 如果令如果令 ，那么证明方程，那么证明方程 有根等价于有根等价于 有零点，因此可用零点定理证明。

25、有零点，因此可用零点定理证明。 34)(47 xxxxf3447 xxx)(xf所以方程所以方程 在区间在区间 内至少有一个根内至少有一个根.3447 xxx)1 , 0(证明证明: 令令 )()()(xfaxfxF ; 0)0()()()0(2 fafaFF【例例7】设设 在在 上连续上连续, 且且 证明在证明在 )(xf2 , 0a),2()0(aff , 0a内至少存在一点内至少存在一点 , 使使 . )()(aff 显然显然 在在 上连续上连续, 已知已知)(xF, 0a).2()0(aff );()0()( ),0()()0(affaFfafF 故故则当则当 时时, 可取可取 或或

26、.0)0()( fafa 0 而当而当 时时,0)0()( faf由零点定理，至少由零点定理，至少 , 使得使得), 0(a 0)( F分析分析 如果令如果令 ，那么证明等式，那么证明等式 成立等价于成立等价于 有零点，因此可用零点定理证明。有零点，因此可用零点定理证明。 )(xF)()()(xfaxfxF )()(aff 即即 .)()(aff 分析分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以初等函数在其定义区间上都是连续区间，所以只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间只要弄清了间断点，也就清楚了连续区间 .解：函数为初等函数，解：函数为初等函数，【例例8】求函数求函数 的连续区间，若有间断

27、点，指出的连续区间，若有间断点，指出xxey1 间断点的类型间断点的类型.为其间断点。为其间断点。0 x xxxxxxxeee10010limlimlim因为因为所以所以 为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点.0 x所以连续区间为所以连续区间为 和和 ), 0( )0 ,( 0limlimlim10010 xxxxxxxeee分析分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。【例例9】求函数求函数 的所有间断点，并指出类型。的所有间断点，并指出类型。 xxxxfnnn2211lim)( 解解: 当当 时，时，1| xxxxxxfnnn 2211lim)(当当 时，时，1| xxxxxxxxxfnnnnnn 1111lim11lim)(2222当当 时，时，1| x011lim)(22 xxxxfnnn 1, 01,1,)(xxxxxxf所以所以1lim)(lim11 xxfxx1)(lim)(lim11 xxfxx故故 是是 的跳跃间断点的跳跃间断点;1 x)(xf 故故 也是也是 的跳跃间断点的跳跃间断点;1 x)(xf1)(lim)(lim11 xxfxx因为因为1lim)(lim11 xxfxx因为因为