定积分的概念与性质ppt课件.ppt

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1、1第五章第五章 定积分定积分 定积分和不定积分是积分学的两个定积分和不定积分是积分学的两个一种认识问题、分析问题、解决问题的一种认识问题、分析问题、解决问题的definite integral不定积分侧重于基本积分法的训练不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想而定积分则完整地体现了积分思想 -主要组成部分主要组成部分.思想方法思想方法.2第一节第一节 定积分定积分的概念与性质的概念与性质定积分问题举例定积分问题举例定积分的定义定积分的定义函数的可积性函数的可积性定积分的意义定积分的意义定定 积积 分分定积分的性质定积分的性质definite integral31.曲边梯

2、形的面积曲边梯形的面积求由连续曲线求由连续曲线及及0)( xfy所所围围成成0, ybxax和和直直线线.A的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积一、一、定积分问题举例定积分问题举例定积分的概念与性质定积分的概念与性质ab)(xfy Oxy? AhabAhxf)(,)()( 矩矩形形面面积积公公式式为为时时常常数数4用用矩形面积矩形面积（五个小矩形）（五个小矩形）（十个小矩形）（十个小矩形）思想思想以直代曲以直代曲定积分的概念与性质定积分的概念与性质近似代替曲边梯形面积近似代替曲边梯形面积OxyOxy5ab)(xfy 四个步骤来求面积四个步骤来求面积A.(1) 分割分割,1210bxxxxxann

3、(2) 近似近似积积上上对对应应窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面表表示示,1iiixxA 定积分的概念与性质定积分的概念与性质;1 iiixxx，小区间小区间,1iixx Oxyix1x1 ix1 nx,1iiixx 任取一点任取一点i iA nixfAiii, 2 , 1,)( 6 AiniixfA )(lim10 (3) 求和求和 矩形面积之和为曲边梯形面积矩形面积之和为曲边梯形面积A的近似值的近似值.(4) 取极限取极限，时时当当0, n取极限取极限,无限细分无限细分,定积分的概念与性质定积分的概念与性质iniixf )(1 极限值就是曲边梯形的面积极限值就是曲边梯形的面积:,max21nx

4、xx ab)(xfy Oxyix1x1 ix1 nxi iA 7(1) 分割分割,2101TtttTn iist iiitvs )( (3) 求和求和iinitvs )(1 (4) 取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值(2) 取近似取近似), 2 , 1(ni 0 令令定积分的概念与性质定积分的概念与性质某时刻的速度某时刻的速度2. .变速直线运动的路程变速直线运动的路程已知速度已知速度,)(21TTCtvv , 0)( tv且且求物体在这段时间内所经过的直线距离求物体在这段时间内所经过的直线距离 s .8二、定积分的定义二、定积分的定义设

5、函数设函数f (x)在在a,b上有界上有界,定义定义bxxxxxann 1210), 2 , 1( ,1nixxxiii (1) 任意任意 任取任取,iix ), 2 , 1()(nixfii (2)并作和并作和iinixfS )(1 (3)记记,max21nxxx (4)定积分的概念与性质定积分的概念与性质9被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分和积分和怎样的分法怎样的分法,也不论在小区间也不论在小区间,1iixx 上点上点i 怎样的取法怎样的取法,只要当只要当,0时时 和和S总趋于确定的总趋于确定的极限极限I,称极限称极限I为函数为函数 f ( x ) 在区间在区间a,b上的上的定积分定

6、积分. .定积分的概念与性质定积分的概念与性质iniibaxfIxxf )(limd)(10 积分下限积分下限积分上限积分上限积分变量积分变量a,b积分区间积分区间如果不论对如果不论对,ba10的分法及的分法及与与,)()1(1baxfSinii 的分法及的分法及与与,)(lim10baxfIinii 定积分与变量记号无关性！定积分与变量记号无关性！定积分是一个数定积分是一个数, 只依赖于被积函数和积分区间，只依赖于被积函数和积分区间，定积分的概念与性质定积分的概念与性质的取法的取法i 有关有关; ;注注的取法的取法i 无关无关. .与积分变量的记号无关与积分变量的记号无关. baxxfd)(

7、 bafd)(2) tt bafd)(uu11, 0)( xf baAxxfd)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baxxfd)(曲边梯形面积的曲边梯形面积的负值负值 baxxfd)(1. 几何意义几何意义2A 1A 3A 定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的意义三、定积分的意义Oxyab1A2A3A 各部分面积的代数和各部分面积的代数和!A 12例例 xx d11024 2. 物理意义物理意义21xy oxy11定积分的概念与性质定积分的概念与性质,0)(时时当当 tv从时刻从时刻 t = a 到时刻到时刻 t = b 所经过的路程所经过的路程 s.)(tvv ba

8、ttvd)(作直线运动的物体作直线运动的物体定积分定积分表示以变速表示以变速13定理定理 黎曼黎曼 德国数学家德国数学家(18261866)定积分的概念与性质定积分的概念与性质四、四、关于函数的可积性关于函数的可积性,)(上连续上连续在在设设baxf,)(上有界上有界在在或或baxf且只有有限个间且只有有限个间断点断点,上上在在则则,)(baxf可积可积. .或或.,baRf 当函数当函数上上在区间在区间,)(baxf的定积分存在时的定积分存在时,上上在区间在区间称称,)(baxf可积可积. .黎曼可积黎曼可积, ,充分条件充分条件14解解iinixf )(1 iinix 21 例例 用定义计

9、算由抛物线用定义计算由抛物线,2xy 定积分的概念与性质定积分的概念与性质和和x轴所围成的曲边梯形面积轴所围成的曲边梯形面积.直线直线1 x,1nxi 取取,iix nnini121 niin1231ni2xy 12xxd10 yOx6)12)(1(13 nnnnxx d102 iinix 210lim nnn121161lim31 ,等分等分n分成分成将将1 , 0ni2 , 1 ,nixi 15对定积分的对定积分的补充规定补充规定,)1(时时当当ba baxxfd)(0,)2(时时当当ba baxxfd)( abxxfd)(定积分的概念与性质定积分的概念与性质五、定积分的性质五、定积分的性

10、质假定定积分都存在假定定积分都存在, 不考虑积分上下限的大小不考虑积分上下限的大小16证证 baxxgxfd)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 baxxfd)( baxxgd)(可以推广到有限多个函数和的情况可以推广到有限多个函数和的情况)性质性质1 1定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxxgxfd)()( babaxxgxxfd)(d)(17证证 baxxfkd)(iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 baxxfkd)(性质性质2 2定积分的概念与性质定积分

11、的概念与性质线性性质线性性质. . baxxfkd)( baxxfkd)()( 为常数为常数k18例例 cba 若若 caxxfd)( baxxfd)( baxxfd)( caxxfd)( bccaxxfxxfd)(d)(定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性)性质性质3 3 cbxxfd)( cbxxfd)(定积分的概念与性质定积分的概念与性质假设假设bca baxxfd)( axxfd)( bxxfd)(cccba,的相对位置如何的相对位置如何.不论不论19证证0)( xf0)( if ni, 2 , 1 0 ix , 0)(1 iinixf ,max21nxxx iin

12、ixf )(lim10 baxxf0d)(性质性质4 4定积分的概念与性质定积分的概念与性质 baxd1 baxdab 性质性质5 5 如果在区间如果在区间上上,ba, 0)( xf则则 baxxf0d)()(ba 20性质性质5-5-推论推论1 1证证),()(xgxf , 0)()( xgxf, 0d )()( xxgxfba, 0d)(d)( babaxxgxxf定积分的概念与性质定积分的概念与性质如果在区间如果在区间上上,ba),()(xgxf 则则 babaxxgxxfd)(d)()(ba 于是于是 babaxxgxxfd)(d)(21解解 令令xxfxe )(0, 2 x0)( x

13、f0d)(02 xxxexxed02 xxd02 于是于是xxed20 定积分的概念与性质定积分的概念与性质xxd20 比较积分值比较积分值xxed20 和和xxd20 的大小的大小.例例22)(ba 证证| )(|)(| )(|xfxfxf 性质性质5-5-推论推论2 2定积分的概念与性质定积分的概念与性质 babaxxfxxfd| )(|d)( babaxxfxxfd| )(|d)( baxd baxd baxd23证证Mxfm )( bababaxMxxfxmdd)(d)(d)()(abMxxfabmba (此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围)性质性质6 6

14、定积分的概念与性质定积分的概念与性质mM和和设设分别是函数分别是函数上的上的在在,)(baxf最大值及最小值最大值及最小值.)(d)()(abMxxfabmba 则则24解解xxf3sin31)( , 0 x, 1sin03 x31sin31413 xxxxxd31dsin31d410030 3dsin31403 xx定积分的概念与性质定积分的概念与性质估计积分估计积分.dsin3103的值的值xx 例例)(d)()(abMxxfabmba 25解解xxxfsin)( 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx , 0 ,2,4 C定积分的概念与性质定积分的概念与性质估计积分估

15、计积分.dsin2/4/的值的值xxx 例例)(xf,22)4( fM,2)2( fm4 ab xxxdsin2/4/ 422 42 22 2126证证Mxxfabmba d)(1)(d)()(abMxxfabmba 闭区间上连续函数介值定理闭区间上连续函数介值定理:性质性质7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）定积分的概念与性质定积分的概念与性质)(xf上上在在,ba连续连续, ,ba 至少存在一点至少存在一点 )(d)(abfxxfba ).(ba 积分中值公式积分中值公式,ba baxxfabfd)(1)( ).(ba 27定理用途定理用途 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质

16、7(7(定积分中值定理）定积分中值定理）)(d)(abfxxfba ).(ba 平均值公式平均值公式求求连续变量的连续变量的平均值？平均值？去掉积分号来表示积分值去掉积分号来表示积分值. baxxfabfd)(1)( )(ba )( f注注.,)(上上的的平平均均值值在在区区间间是是baxf28积分中值公式的几何解释积分中值公式的几何解释定积分的概念与性质定积分的概念与性质)(d)(abfxxfba )(ba 曲边梯形面积曲边梯形面积 =矩形的面积矩形的面积)(xfy ab )( fOxy平均值公式平均值公式 baxxfabfd)(1)( )(ba 29例例0dsinlim xxxannn求证

17、求证证证 由由积分中值定理：积分中值定理： xxxanndsin)(annn xxxannndsinlim annn sinlim 0 (a为常数为常数)nn sin定积分的概念与性质定积分的概念与性质)()(d)(baabfxxfba )(nan 303. 定积分的性质定积分的性质 (估值性质、积分中值定理估值性质、积分中值定理)4. 典型问题典型问题 (1) 估计积分值估计积分值;(2) 不计算定积分比较积分大小不计算定积分比较积分大小.定积分的概念与性质定积分的概念与性质六、小结六、小结1. 定积分的实质定积分的实质: 特殊和式的极限特殊和式的极限.2. 定积分的思想和方法定积分的思想和方法:以直代曲、以匀代变以直代曲、以匀代变.四步曲四步曲:分割、分割、 近似、近似、求和、求和、取极限取极限.思想思想方法方法31思考题思考题,d226 xxxyyxx20, 2, 6 及及由由解解 定积分几何意义：定积分几何意义：定积分的概念与性质定积分的概念与性质用定积分的几何意义计算用定积分的几何意义计算并求并求所围成图形面积。所围成图形面积。xy2 A26 xyODBC 44221 的面积的面积OAB3612621 的面积的面积OCD 26d2xx 26d|2|xxA.40 2006d2d2xxxx.32364