平面几何中的向量方法ppt课件.ppt

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1、2.5 2.5 平面向量应用举例平面向量应用举例 一、开门见山、复习引入一、开门见山、复习引入1.1.向量的概念和运算都有着明确的物理背景向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后当向量和平面坐标系结合后,向量向量的运算就完全可以转化为代数运算的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便便.本节专门研究平面几何中的向量方法。我本节专门研究平面几何中的向量方法。我们要用到如下一些知识：们要用到如下一些知识： （1 1）平面向量基本定理：）平面向量基本定理：1211 12,.e

2、 eaaee2 22 2如如果果 、是是同同一一平平面面上上两两个个不不共共线线的的向向量量，那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量 有有且且只只有有一一对对实实数数 、 使使 （2）两个向量的数量积：）两个向量的数量积： （3）向量平行与垂直的判定：）向量平行与垂直的判定： 1 22 1/(0)0.a bba ax yx yl l观观- -= =r r r rr rr r r ru u r r1 21 2 | | |cos .a ba bxxyyq q= = =+ +r r r rr r r r121200.aba bx xy y 鄯鄯= = = =r rr rr r r

3、r（4）模与距离）模与距离 ：22 =aa axy=+=+rr rrr r222121|() ()A BA B A Bx xy y= = = =- -+ +- -u u u u u u r ru u u u u u r r u u u u u u r r（5）夹角余弦）夹角余弦 ：121222221122cos| |abx xy yabxyxy 2.2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来积表示出来. .因此，平面几何中的

4、某些问因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结实践中去探究、领会和总结. .下面通过几下面通过几个具体实例个具体实例, ,说明向量方法在平面几何中说明向量方法在平面几何中的运用。的运用。 探究探究1：矩形的两条对角线的长度与构成矩形的两条邻：矩形的两条对角线的长度与构成矩形的两条邻边长度之间有什么关系？边长度之间有什么关系？ 探究（一）：探究（一）：推断线段长度关系推断线段长度关系 ADCBAC2+BD2=2(AB2+AD2) 探究探究2：如图的平行四

5、边形：如图的平行四边形ABCD中，设中，设 ，如何用，如何用a、b表示表示 ?,ABa=uu u rADb=uuu rAC DBuuu r uuu r与ABCDACabuuu ruuu r=+=+DBabuuu ruuu r=-=-ab探究探究3 3：你能发现平行四边形两条对角线的长度：你能发现平行四边形两条对角线的长度与两条邻边长度之间有什么关系吗？你能证明与两条邻边长度之间有什么关系吗？你能证明吗？吗？ ABCD2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2, , ,b b, ,b b, , | | | | | | |, , | | | | |b b| |. .| |

6、|( (b b) )2 2| | | | 2 2b b | | | |ABa AD bACaD BaABaADACACaaa b baab= = = =+ += = - -= = = = = =+ += =+ + += =+ + +u u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r r证证 明明 ： 设设则则DBaabb u uu uu u r r同同理理| | |2 22 22 2| | | |2 2| |

7、| |= =- -+ +观观察察两两式式的的特特点点 我我们们发发现现 得得, , ,+ +A CD BabA BA Du u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r ru u u u u u r r2 22 22 22 22 22 2| | | | | | 2 2 ( ( | | | | | | | |) ) 2 2 ( ( | | | | | |) )+ += =+ += =+ +即平行四边形两条对角线的平方和等于两条平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍邻边平方和的两倍. .abAC2+DB2=2（AB2+AD2)探究探究4：如果不用

8、上面的方法你还有其他的证：如果不用上面的方法你还有其他的证明方法吗？明方法吗？ 222222|DB|(a-b)-ca -2abbc ,u uu uu u r r（ ） ABCDxy方法二：以方法二：以A为坐标原点为坐标原点, AB所在所在直线为直线为x轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系.设设B(a,0),D(b,c),则则C(a+b,c). 22222AC=a+cb DB=a-b -c|AB| =a |AD| =bc+ +uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r（， ）（，）2222222| +|DB|2a2 b +c2 |AB|AD|ACu

9、uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r r（） （） 222222|(a)ca2abbc ,ACb = =+ + += =+ + + +u uu uu u r r探究探究5：以上的两种方法分别用了向量的基向量：以上的两种方法分别用了向量的基向量法和坐标法（解析法）证明，如果只用几何法，法和坐标法（解析法）证明，如果只用几何法，你能不能证明？你能不能证明？ ABCD方法三：作方法三：作CEAB于于E,DFAB于于F,则则RtADF RtBCE.AD=BC,AF=BE.FEBD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2 =AB2-2ABA

10、F+AF2+DF2 =AB2-2ABAF+AD2 =AB2-2ABBE+BC2.AC2+BD2=2(AB2+BC2). 由于由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2 =AB2+2ABBE+BE2+CE2 =AB2+2ABBE+BC2.探究探究6：对比上面的解题方法，明显向量法比几：对比上面的解题方法，明显向量法比几何法简单，那么大家总结一下，向量法解几何问何法简单，那么大家总结一下，向量法解几何问题有哪些步骤？题有哪些步骤？ 1、“三步曲三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量中涉及的

11、几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；问题；2、简述为：、简述为：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；距离、夹角等问题；(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系。成几何关系。已知：四边形已知：四边形ABCD是菱形是菱形,对角线对角线AC,BD相相交于点交于点O.用向量法证明：用向量法证明：ACBD 探究（二）：探究（二）：推断直线的位置关系推断直线的位置关系 ABCDO分析：分析：本题用三种方法都容本题用三种方法都容易证明，但是强

12、调用向量法易证明，但是强调用向量法证明，可采用基向量法或坐证明，可采用基向量法或坐标法。要证标法。要证ACBD，只需证，只需证明明uuu r uuu r0ACBD= 探究探究1 1、在等腰三角形、在等腰三角形ABCABC中中,D,D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点，的中点，若若CDBECDBE，则，则A A是否确定？如果确定，请求出是否确定？如果确定，请求出A A的余的余弦值，如果不确定，请说明理由。弦值，如果不确定，请说明理由。探究（三）：探究（三）：计算夹角大小计算夹角大小猜想：猜想：确定确定A AB BC CD DE E探究探究2：设向量设向量 a， b， 可以利用哪个可以利

13、用哪个向量原理求向量原理求A的大小？的大小？A BA Ccos|abAab= =探究探究3：于是你想到该如何证于是你想到该如何证明？明？AB= ,AC=| | | |11,22CDBE11() ()022ababCDa b BEb aCD BEa bb a且且：设设= =u uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r rQ Qu uu uu u r r u uu uu u r r= =- -= =- - = =- - -= =则则证证明明ab b22224 ()554 cos| | |5ababaa bAa b= =+ += = = = =

14、得得 到到如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边边的中点，的中点，BE、 BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你两点，你能发现能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ 典例精析典例精析AR=RT=TC AR=RT=TC 猜想：猜想：分析：分析：由于由于R、T是对角线是对角线AC上的两点，要判断上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与与AC的关系即可。的关系即可。如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边边的中点，的中点，BE、 BF分别与分别与AC交于交于R、T两点，你两点，

15、你能发现能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ A AB BC CD DE EF FR RT Tba解：第一步，建立平面几何与向解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题的几量的联系，用向量表示问题的几何元素，将平面几何问题转化为何元素，将平面几何问题转化为向量问题。向量问题。ABa ADb ARr ATtACab, , , , ,= = = = = =+ +u uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r r设设则则A AB BC CD DE EF FR RT Tba第二步，通过向量运算，研究

16、几何元素之间的关第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系系(),1,21()2ARACARnACrn ab nREBABAEab EREBERmEBm ab = = =+ + = =- -= =- - = = =- -u uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r rQ Qu uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r ru uu uu u r rQ Qu uu uu u r ru uu uu u r r与与共共线线设设即即又又与与共共线线设设111()222ARAEERmrbm a

17、bmabuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQ Q=+=+- -=+-=+=+-=+又又1()21()()02mn abmabmnm anb- -+=+=+- -+=-+=即即A AB BC CD DE EF FR RT Tba01130213abnmnmmnARACu uu uu u r ru uu uu u r r - -= = = = = - -+ += = = =由由于于 与与 不不共共线线，于于是是11TC,33ACRTACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r=同同理理于于是是1()21()()02mn abmabm

18、nm anb- -+=+=+- -+=-+=即即第三步，把运算结果第三步，把运算结果“翻译翻译”成几何关系；成几何关系；所以所以AR=RT=TC归纳小结，反思建构归纳小结，反思建构1 1、向量法解题的基本思路是、向量法解题的基本思路是 几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化2、用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，它既是一种数学思想，也是一种数学能力也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，其中合

19、理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键是解决问题的关键. 3 3、本节都学习了哪些数学方法本节都学习了哪些数学方法: :向量法向量法-基向量法与坐标法，待定系数法，向量法与基向量法与坐标法，待定系数法，向量法与几何法比较几何法比较, ,将平面几何问题转化为向量问题的化归的将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法思想方法, ,深切体会向量的工具性这一特点深切体会向量的工具性这一特点. . 课后作业，巩固加深课后作业，巩固加深PACQBa1、必做题：、必做题：P113习题习题2.5A组组1、2题；题；2、选做题：、选做题： RtABCBC=PQAPQBCBP CQu uu uu u r r u uu uu u r ru uu uu u r r u uu uu u r rq q如如图图，在在中中，已已知知a a. .若若长长为为2 2a a的的线线段段以以点点 为为中中点点，问问： 与与的的夹夹角角取取何何值值时时，的的值值最最大大？并并求求出出这这个个最最大大值值。