双曲型方程的差分方法ppt课件.ppt

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1、第五章第五章双曲型方程的差分方程双曲型方程的差分方程 第一节第一节一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程 xfxuxxuatu0,0设一阶线性方程为采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂的双曲型方程（组）的基础。的双曲型方程（组）的基础。第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双曲方程在数值计算中特有的性质和现象。曲方程在数值计算中特有的性质和现象。第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全

2、可以第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以用来检验数值方法的效果和功能。用来检验数值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）以及非线性双曲方程领域。以及非线性双曲方程领域。 几种典型的差分格式几种典型的差分格式 迎风格式迎风格式 Lax-Friedrichs格式格式 Lax-Wendroff格式格式 Courant-Friedrichs-Lewy条件条件 利用特征线构造差分格式利用特征线构造差分格式 隐式格式隐式格式 蛙跳格式蛙跳格式迎风格式的思想迎风格式的思想: :在对微商进行近似的时候在对微商进行近似的时候,

3、 ,关于空间导数关于空间导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：于是有如下格式：111100, 1 nnnnjjjjnnnjjjauuuuahuaua u1111001nnnnjjjjnnnjjjauuuuauaua u1 1、迎风格式、迎风格式000210 ,minaaaaaaa000210 ,maxaaaaaaa:若引入111nnnnnnjjjjjjuuauuauu111122nnnnnjjjjjuaauuaauu迎风格式可统一成：适用于变系数的情形1110, nnnnnnjjjjjjuuuuuuaahh迎风格式的性质：迎风格式的性质：1

4、 1、满足相容性，一阶精度，、满足相容性，一阶精度， 截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：1|a1|a)(),(hOtxTnj中心差分格式02111 huuauunjnjnjnj nnikjhjFourieruv e用分析方法分析此格式的稳定性。设于是有11-sin)nnviakh v （所以此格式绝对不稳定所以此格式绝对不稳定. .2 2、Lax-Friedrichs Lax-Friedrichs 格式格式 khakhiakG222sin1|sin1 | ),(|1954axriedr

5、ichsLF年和分别提出格式：njnjnjnjnjuuauuu111112121即：22()hOhO此格式的截断误差为：111111202nnnnnjjjjjuuuuuah格式稳定。时，故当FriedrichsLa-ax1而而且且其其增增长长因因子子为为：1122cossinnnikjhjnikhikhikhikhnnuv eaveeeevkhiakhv令，有（）（）（）2222,11sinGkakh|sincos|),(khiakhkGLax-FriedrichsLax-Friedrichs格式的性质：格式的性质：1 1、满足相容性，一阶精度，、满足相容性，一阶精度， 截断误差为：截断误差为

6、：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：(,)()jnT x tOh| |1a| |1a两种格式的比较两种格式的比较:1 1、它们的精度都是一阶的精度、它们的精度都是一阶的精度, ,在实际应用中在实际应用中, ,L-FL-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, ,而迎风格式却要考虑其走向而迎风格式却要考虑其走向. .注、如果迎风格式写成统一格式注、如果迎风格式写成统一格式, ,也不必考虑特征线走向，也不必考虑特征线走向， 但多了绝对值的计算。但多了绝对值的计算。1111122

7、22nnnnnnnjjjjjjjauuuuuuuahahh迎风格式：( 0)2、比较截断误差211111222huuuhhuuauuFriedrichsLaxnjnjnjnjnjnjnj格式改写为211221huuuahanjnjnj111 2nnnnjjjjuuuuah左端相同2Oh它们都以 （）趋近对流方程。211221huuuahanjnjnj截断误差大。格式的截断误差比迎风，则个式子相等。如果小于则上面的，如果取由稳定性的限制条件FLaa1211L-F格式的右端项：格式的右端项：222002huhx此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散项，（在

8、 固定，），从而提高稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。）（截断误差为：截断误差为：22222hOxuhR 22312(,)(,)()2nnjnjnjjuuu x tu x tOtt22222xuaxuattuxuatu ）（利用微分方程有：利用微分方程有：3 3、Lax-WendroffLax-Wendroff格式格式1960年年Lax和和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。构造了一个二阶精度的二层格式。构造的思想是利用构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。展开式及方程本身。代入上面的式子代入上面的式子, ,于是有于是有222312(,)(,)()2nnjnjnjjua

9、uu x tu x taOxx22,uuxx并用中心差商近似)(2),(),(211hOhtxutxuxunjnjnj211222(,)2 (,)(,)()njnjnjnju xtu x tu xtuO hxh111221121 22nnnnjjjjnnnjjjauuuuhauuuh（ ）21112222311( ,)( , )(, )(, )()21(, ) 2 ( , )(, )2jnjnjnjnjnjnjnau x tu x tu xtu xtOhhau xtu x tu xtOhOh（ ）（） （ ）得到：得到：略去高阶项得到差分方程：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格

10、式格式1221111ax-Wendroff11222nnnnnnnjjjjjjjLuuauuauuu格式：khiakhakGsin2sin21,2222sin141,422222khaakG时，差分格式稳定。当1a22()Oh此格式具有二阶精度,.利用利用Fourier方法分析稳定性，得增长因子为：方法分析稳定性，得增长因子为：Lax-WendroffLax-Wendroff格式的性质：格式的性质：1 1、满足相容性，二阶精度，、满足相容性，二阶精度， 截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为

11、：| |1a22(,)()jnT x tOh| |1a4 4、Courant-Friedrichs-LewyCourant-Friedrichs-Lewy条件条件 00010,mjjljljnjuuuuu 涉涉及及到到初初值值：，会会差差分分格格式式中中的的一一般般的的，双双曲曲型型方方程程的的 njnjnjnjmjljatxftxuuuxx ,x而而的的依依赖赖区区域域，的的解解程程内内的的节节点点，即即是是差差分分方方轴轴上上的的那那么么ourantjj ljnj mjxlhxxatxxmhC因此，必须有才能稳定，这就是保证稳定性的条件。由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域由差分方

12、程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域的关系导出的差分方程收敛的必要条件的关系导出的差分方程收敛的必要条件注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域注、注、CourantCourant条件是保证稳定性（收敛性）条件是保证稳定性（收敛性） 的必要条件，而非充分条件。的必要条件，而非充分条件。例如：针对一维对流方程的差分格式的例如：针对一维对流方程的差分格式的CFL条件条件 （a0）右偏格式右偏格式：000012,.,jjjj nu uuu差分方程的依赖区域njatx 微分方程的依赖区域显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，显然，

13、微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，不满足不满足CFL条件，所以格式不稳定。条件，所以格式不稳定。左偏格式（迎风格式）左偏格式（迎风格式）：0000-1-2-,.,jjjj nu uuu差分方程的依赖区域jnjnjxatxx:CFL条件1a实际上实际上 也是稳定性的充分条件也是稳定性的充分条件 1a中心格式：中心格式：0000000-n-2,-212,.,.,jjjjjjj nuuuu uuu差分方程的依赖区域CFL:j njnj nxxatx条件|1a格式不稳定格式不稳定,所以所以CFL条件不是稳定性的充分条件条件不是稳定性的充分条件 Lax-Wendroff格式：格式：000000

14、0-n-2,-212,.,.,jjjjjjj nuuuu uuu差分方程的依赖区域CFL:j njnj nxxatx条件|1a实际上实际上 也是稳定性的充分条件也是稳定性的充分条件 |1a5 5、 利用特征线构造差分格式利用特征线构造差分格式 ：点点的的值值层层上上现现计计算算已已计计算算出出。上上得得层层上上各各网网格格点点设设11,njnnjnuPttuDCBAtt 。点点，则则有有于于交交向向下下作作特特征征线线，过过设设QUPUQttatxatxPannj 0 同的差分格式：用不同的插值，可得不对于QU这是迎风格式。得：两点进行线性差值，若用njnjnjnjuuauu11 CB)1(

15、CUxtaxBUxtaQUPU BUhahDUhahQUPU22DB)2(有两点进行线性差值，若用njnjnjuauau111121121njnjnjnjuuauu11112121格格式式：得得FriedrichsLax jjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxxxxxxDUxxxxxxxxCUxxxxxxxxBUQUPUDCB111111111111,)3(三三点点作作抛抛物物插插值值，有有：若若用用 DUCUBUaaBUCUaCU2121njnjnjnjnjnjnjuuuauuauuL112211122121Wendroff-ax格式：得njnjnjnjnjnjnjuuuaauuauuC

16、BA21112121,)4(二阶迎风格式：三点进行抛物插值，得若用22hOE 此此格格式式具具有有二二阶阶精精度度：2sin11sinsin2sin41212sin21,2242khakhiakhkhaakharkG且增长因子：且增长因子：Beam-Warming格式格式 。时，二阶迎风格式稳定故当 2a， a0如果如果njnjnjnjnjnjnjuuuaaruuauu12112121二阶迎风格式为：2sin1241,442khaaakG6 6、隐式格式、隐式格式 02111huuauunjnjnjnj11122 njnjnjnjuuauua即：2hOE截断误差：khakhiakhiakG22

17、2sin1sin1sin11,1sin11,2222khakG隐式中心格格式式无无条条件件稳稳定定。增增长长因因子子：隐式中心格式的性质：隐式中心格式的性质：1 1、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度，、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度， 截断误差为：截断误差为：2 2、无条件稳定、无条件稳定3 3、无条件收敛、无条件收敛)(),(2hOtxTnj注、计算上需要人工边界条件注、计算上需要人工边界条件02221111111huuhuuauunjnjnjnjnjnj22hOE精度：，khaikhaikGsin21sin21,1,2kG格式：NicolsonCrank 无无条条件件稳稳定定

18、。Grank-NicolsonGrank-Nicolson格式的性质：格式的性质：1 1、满足相容性，二阶精度，、满足相容性，二阶精度， 截断误差为：截断误差为：2 2、无条件稳定、无条件稳定3 3、无条件收敛、无条件收敛)(),(22hOtxTnj注、计算上需要人工边界条件注、计算上需要人工边界条件7 7、蛙跳（、蛙跳（leapleapfrogfrog）格式）格式 0221111huuauunjnjnjnj有：差商近似偏导数，对于对流方程，用中心njnjnjnjuuauu1111即得蛙跳格式：22hO其截断误差为：分析稳定性的分析稳定性的Fourier方法适用于二层格式，方法适用于二层格式，

19、所以所以 把把 三层格式化为二层格式三层格式化为二层格式njnjnjnjnjnjuvuuavu1111)(T,uvu令njnjnjnjaa111u000u0110u000uikjhnnjevu 令011sin2,khaikG增长矩阵：khakhia2222, 1sin1sin特征值：时，当1a1sinsin122222222, 1khakha条件成立。NeumannVon 注：注： 容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以Neumann条件是满足稳定性的必要条件。条件是满足稳定性的必要条件。21( , ),10iGk由于传播矩阵是于是2212( , )21 2nnn

20、nniGki121 nG则则于是不稳定。于是不稳定。那么，为了方便，取若1sin1, 1khaa121a r如果，格格式式稳稳定定；条条件件是是稳稳定定的的充充分分条条件件NeumannVon 蛙跳格式的性质：蛙跳格式的性质：1 1、满足相容性，二阶精度，、满足相容性，二阶精度， 截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：1|a1|a)(),(22hOtxTnj注：蛙跳格式形式简单，二阶精度格式。注：蛙跳格式形式简单，二阶精度格式。三层格式，需要二阶的起步格式，如三层格式，需要二阶的起步格式，如Lax-WendroffLax-Wendroff格式格式