中国石油大学现代控制理论全部课件ppt.ppt

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1、现代控制理论Modern Control Theory张晓东绪绪 论论问题的提出控制的必要性 飞机的自动驾驶系统、宇宙飞船系统和导弹制导系统；问题的提出控制的必要性 数控机床； 工业过程中流量、压力、温度的控制；问题的提出控制的必要性 机器人控制、城市交通控制、网络拥塞控制； 生物系统、生物医学系统、社会经济系统；火星旅行者自动控制的两个主题 反馈闭环回路 输入动态系统输出测量比较误差输入不确定条件下达到性能指标 最优控制一段时间上的性能指标最小预先规划、开环控制轨迹最优化 二者联系某些条件下，最优控制构成反馈提出的方法经典控制理论(1935-1950) 传递函数模型 美国贝尔实验室 H. B

2、ode(1938)，以及Nyquist(1940)提出了频率响应法提出的方法经典控制理论(1935-1950) 美国MIT的N. Wiener在研究随机过程的预测问题中，提出Wiener滤波理论(1942)，发表了Cybernetics(1948) 控制论：关于在动物和机中控制和通讯的科学 Cybernetics: or Control and Communication in the Animal and the Machine 控制学科诞生:维纳的控制论存在的问题 经典控制理论简单对象 单输入单输出、线性、时不变系统缺乏系统化方法 图形化方法，依赖于设计人员的经验达到的性能要求较低，不能处

3、理多目标性能 面临的挑战对象日益复杂化、控制性能要求不断提高现代控制理论 新知识、新技术现代控制理论 1956年，前苏联的庞德里亚金发表了最优过程的数学理论，提出了极大值原理(Maximum Principle)； 1957年，美国的贝尔曼发表了动态规划理论在控制过程中的应用，建立了最优控制的理论基础； 1960年，美籍匈牙利人卡尔曼发表了”On the General Theory of Control Systems”，引入状态空间法分析系统，提出了能控性、能观性、卡尔曼滤波等概念，奠定了现代控制理论的基础；现代控制理论 1957年成立了国际自动控制联合会 (IFAC：Internatio

4、nal Federation of Automatic Control)现代控制理论取得的成就 1957年发射了第一颗人造地球卫星； 工业机器人产品； 1961年载人航天（加加林）； 1966年月球软着陆； 1969年登陆月球。现代控制理论研究对象 系统是系统控制理论的研究对象 系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。 系统具有如下3个基本特征: (1) 整体性 结构上的整体性 系统行为和功能由整体性决定现代控制理论研究对象(2)抽象性 作为系统控制理论的研究对象，系统常常抽去了具体系统的物理，自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。(

5、3)相对性 在系统的定义中, 所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。现代控制理论研究对象 动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为由各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式 输入变量组 内部状态变量组 输出变量组uxy现代控制理论研究对象 系统动态过程的数学描述白箱模型 黑箱模型 动态系统的分类从机制角度：连续变量系统 离散事件系统从特性角度：线性系统 非线性系统从作用时间类型角度：连续时间系统 离散时间系统连续系统按其参数的空间分布类型： 集中参数系统 分布参数系统现代控制理论研

6、究对象 线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L)()()(22112211uLcuLcucucL现代控制理论研究对象 系统模型系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统建立数学模型的途径：解析、辨识系统建模的准则：折衷现代控制理论特点 现代控制理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科。 研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性

7、和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容：数学模型分析理论综合理论 发展过程：经典控制理论现代控制理论 处理方法：状态空间法本课程内容 状态空间模型； 基于状态空间模型的系统分析(Analysis)； 运动分析、能控性、能观性、稳定性 基于状态空间模型的系统综合(Synthesis)； 极点配置、稳定化控制器设计、 观测器设计、二次型最优控制器设计。本课程教学方法和要求 主线：问题的提出解决的思路具体方法算法编程应用实例； 和MATLAB相结合，理论证明、仿真验证； 参与课堂讨论、回答提问、完成作业； 编程设计、演示； 介绍应用领域、实验结果； 考试 叙述、

8、证明、计算参考书目 刘豹 唐万生. 现代控制理论 (第3版)，机械工业出版社，2006.7 美Katsuhiko Ogata著，卢伯英 于海勋等译. 现代控制工程现代控制工程 (第四版)，电子工业出版社，2003 澳Goodwin, G.C., et al. Control System Design, 清华大学出版社，2002 王枞. 控制系统理论及应用控制系统理论及应用，北京邮电大学出版社，2003 张嗣瀛, 高立群. 现代控制理论现代控制理论，清华大学出版社，2006现代控制理论Modern Control Theory第第1 1章章控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式Par

9、t I (1.11.4)系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述 系统的外部描述外部描述常被称作输出输入描述例如，对SISO线性定常系统 时间域的外部描述：ubububyayayaynnnnn0)1 (1)1(10)1 (1)1(1)(复频率域描述即传递函数描述： 01110111)()()(asasasbsbsbsUsYsWnnnnnuy系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述 系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征 状态方程 输出方程2u1uru1y2ymynxxx,21系统动态过程的两类数学描述系统动态过程的两类数学描述 外部

10、描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分。内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。如图所示RLC的电路根据回路电压定律RLCu(t)uc(t)i(t)()()()(tutudttdiLtRic)()(tidttduCC)(1)()(1)(tuLtiLRtuLdttdic)(1)(tiCdttduC1.1 状态空间及状态空间表达式)(1)()(1)(tuLtiLRtuLtic)(1)(tiCtuC令状态变量 x1=uc，x2=i，系统输出 y=uc=x1写成矩阵形式uLxxLRLCxx1011021

11、212101xxy以上方程可表为形如以上方程可表为形如 DuCxyBuAxx1.1 状态空间及状态空间表达式1.1 状态空间及状态空间表达式 另一种状态空间表达式211( )( )( )1( )1( )CccCRutuu tu tLCLCLusCLRu sssLCL1221211( )ccxuxuRxxxu tCLLCL 1.1 状态空间及状态空间表达式 状态空间描述常用的基本概念状态空间描述常用的基本概念 输入：输入：外部对系统的作用(激励)，输入包括控制输入和干扰输入。 输出：输出：系统的被控量或从外部测量到的系统信息。 若输出是由传感器测量得到的，又称为观测观测。1.1 状态空间及状态空

12、间表达式 状态变量状态变量:一个动力学系统的状态变量组定义为：能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组 状态矢量：状态矢量：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 )(,),(),(21txtxtxn所组成的一个列向量 )()()()(21txtxtxtxn1.1 状态空间及状态空间表达式 状态空间：状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态的维数 状态轨线：状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。1.1 状态空间及状态空间表达式几点解释几点解释

13、(1).状态变量组对系统行为的完全表征性 只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组)(,),(),(00201txtxtxn和t t0 各时刻的任意输入变量组 )(,),(),(21tututur那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定 (2).状态变量组最小性的物理特征(3).状态变量组最小性的数学特征 (4).状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6).有穷维系统和无穷维系统 (7).状态空间的属性 状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间Rn1.1 状态空间及状态空间表达式 线线性性系系统统的的状状态态空空间间表表达达式式描述系

14、统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状状态态空空间间表表达达式式（动态方程或运动方程），包括 状状态态方方程程 描述状态变量与输入之间的关系 输输出出方方程程 描述输出与状态变量之间的关系1.1 状态空间及状态空间表达式动态系统的结构1u2uru1x2xnx1y2ymy动力学部件输出部件连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 DuCxyBuAxx 线性时变系统 uDxCyuBxAx)()()()(tttt1.1 状态空间及状态空间表达式 x n维状态矢量 u r维输入(或控制)矢量 y m维输出矢量 A nxn系统矩阵 B nxr输入(或控制)矩阵 C mxn输出矩阵 D

15、mxr直接传递矩阵DuCxyBuAxx 状态方程输出方程1.1 状态空间及状态空间表达式 连续时间线性系统的方框图连续时间线性系统的方框图 DuCxyBuAxx BCDx yuxA1.1 状态空间及状态空间表达式1.2 状态空间表达式的模拟结构图 一阶标量微分方程cxybuaxxbcx yuxa 三阶系统微分方程buxaxaxax012 buxaxaxax012 1.2 状态空间表达式的模拟结构图 状态空间方程1.2 状态空间表达式的模拟结构图 多输入多输出系统2122211211212122211211212221121121xxccccyyuubbbbxxaaaaxx1.2 状态空间表达式

16、的模拟结构图1.2 状态空间表达式的模拟结构图 从系统结构图建立状态空间表达式 从机理建立状态空间表达式 从传递函数建立状态空间表达式无零点有零点 多入多出系统微分方程实现建立状态空间表达式的方法1suxxuKTs+1uxK/Ts+1/Tuxuxux uTKxTx11.2 状态空间表达式的模拟结构图1.3.1 从系统结构图建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立zppxyus+zs+puyzps+puyuxyupzpxx)(1.3.1 从系统结构图建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立w22zwux1x2yw2s2+2zws+w2uyw2s+2zw1suy122122212xyuxxxxxw

17、zww1.3.1 从系统结构图建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立已知系统的结构框图，求状态空间表达式K1T1s+1uyK2T2s+1K3T3sK41.3.1 从系统结构图建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立系统的状态空间表达式为1113111413322222233111xyuTKxTxTKKxxTKxTxxTKxxyuTKxTTKKTKTTKx00100101000111141222331.3.1 从系统结构图建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立已知系统的结构框图，求状态空间表达式s+zs+pu1s+aKsyzppx2Kaux3x1y1.3.1 从系统结构图建立状态模型1.3

18、状态空间表达式的建立系统的状态空间表达式为1313312211)()(xyupzpxxpzxKuKxKxxxaxxxyupzKxppzKKax00100)(0011.3.1 从系统结构图建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立如图所示的RLC电路，试以电压u为输入，以电容C上的电压 为输出变量，列写其状态空间表达式。电路的贮能元件有电感 和电容C。根据基尔霍夫定律列写电路方程：2221121222111110idtduCuiRiRiRdtdiLuiRiRdtdiLcc1.3.2 从机理建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立考虑到 三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量，经整理上式变为22

19、222112121211111111iCdtduLuiLRRiLRdtdiuLiLRiLRdtdicc现在令状态11ix 22ix cux 3将上式写成矩阵形式即为状态方程1.3.2 从机理建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立uLxxxCLLRRLRLRLRxxx0010101013212221211111321321100 xxxy1.3.2 从机理建立状态模型1.3 状态空间表达式的建立 直流电机系统直流电机系统电路部分特性机械部分特性取状态变量:uLRJqB1.3.2 从机理建立状态模型bdidLRiKudtdtq2addJBK idtdtqq123,xi xxqq1.3 状态空间表

20、达式的建立得：矩阵形式：1.3.2 从机理建立状态模型1122123231baRKxxxuLLLKBxxxJJxxyx 11223330100010001baRKLLxxLKBxxuJJxxyx 1.3 状态空间表达式的建立建立如下电路的状态空间表达式rucu11sC21sC1R2R1i2i1u1.3.2 从机理建立状态模型1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)1.3 状态空间表达式的建立等效成1/R11/sC11/R21/sC2uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)-u1(s)-uC(s)1.3.2 从机理建

21、立状态模型1/R11/R2uCuu1-x11/C21/C1x2y1.3 状态空间表达式的建立状态方程及输出方程：1/R11/R2uCuu1-x11/C21/C1x2 y12221222122211212111121112112111)(11111)(1)(1xyxCRxCRxxCRxuCRxCRxCRCRxuCRxxCRx1.3.2 从机理建立状态模型1.4 状态空间表达式的建立 由系统输入输出描述导出状态空间描述由系统输入输出描述导出状态空间描述已知系统的内部结构，可以求出系统的已知系统的内部结构，可以求出系统的状态空间表达式状态空间表达式如果已知系统的输入如果已知系统的输入/输出描述输出描

22、述(微分方程微分方程或传递函数或传递函数)，可否确定其状态空间表达，可否确定其状态空间表达式？式？ 实现问题实现问题实现是非唯一的，但只要W(s)没有零极点相消则各个实现的阶次相同各个实现都等效于原传递函数1.4 状态空间表达式的建立对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其传递函数描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsWnnnmmmm1111RdRcRbRARxnnnnnducxybuAxx 可以导出其状态空间描述为 基本步骤：选取适当的状态变量组，确定对应的参

23、数矩阵组1.4 状态空间表达式的建立 注意的问题实现条件是mn，否则是不可实现的当mn时，d=0当m=n时，d=bn0 此时，系统的传递函数可写为01110022211101110111)(asasasabbsabbsabbbasasasbsbsbsbsWnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn系统的输出直接与输入关联1.4 状态空间表达式的建立1.4 状态空间表达式的建立 传递函数中没有零点时的实现( m=0情形)此时输入输出描述为: ubyayayaynnn00) 1(1) 1(1)(01110)(asasasbsWnnn0b1xy2x1nxnxnx u1na2na0a1a1.4 状态空间

24、表达式的建立选取n个状态变量 122310112101nnnnnxxxxxxxa xa xaxuyb x 状态方程输出方程1.4 状态空间表达式的建立其对应的状态空间描述为: xyuxx0, 0,1000100000001001210baaaanducxybuAxxA 友矩阵1.4 状态空间表达式的建立例 求微分方程所示系统的状态空间表达式uyyyy67416 32213216/, 6/, 6/xxxxyxyxyx 解：令uxxxxuyyyuyyyyxuyyyy123337416) 6/( 7) 6/(41) 6/( 66/ )67416(6/67416 则由有1.4 状态空间表达式的建立xy

25、uxx006100641710001061xy2x3x3x u67411.4 状态空间表达式的建立 传递函数中有零点时的实现( m0情形)ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其传递函数描述 nmasasasbsbsbsbsUsYsWnnnmmmm,)()()(011101111系统的微分方程描述01110022211101110111)()()(asasasabbsabbsabbbasasasbsbsbsbsUsYsWnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn1.4 状态空间表达式的建立令)()()(100222111sYabbsabbsabb

26、sUbsYnnnnnnnnnn011100222111)()()(asasasabbsabbsabbbsUsYsWnnnnnnnnnnnnn)(1)(01111sUasasassYnnn对上式求拉氏反变换100)2(122)1(111yabbyabbyabbubynnnnnnnnnn1.4 状态空间表达式的建立)(1)(01111sUasasassYnnn1x2x1nxnxnx u1na2na0a1a1y1y ) 2(1ny) 1(1ny1.4 状态空间表达式的建立)(00nbab y1x2x1nxnxnx u1na2na0a1a1y1y ) 2(1ny) 1(1ny)(11nbab )(22

27、nnnbab)(11nnnbabnb)()()(100222111sYabbsabbsabbsUbsYnnnnnnnnnn(1)(2)11122100111222001nnnnnnnnnnnnnnnnnnnyb ubb aybb aybb ayb ubb axbb axbb ax1.4 状态空间表达式的建立状态方程和输出方程ubxbabxbabxbabyuxaxaxaxxxxxxxnnnnnnnnnnnn)()()(1121110010211132211.4 状态空间表达式的建立状态空间表达式ubxabbabbabbyaaaannnnnnn)(,),(),(100010000000101111

28、001210uxx1.4 状态空间表达式的建立传递函数分子阶次小于分母阶次 mn情形0,)()()(01110111nnnnnnbasasasbsbsbsUsYsWxbbbyaaaann1101210,10001000000010uxx1.4 状态空间表达式的建立 关于实现的非唯一性输入输出描述为: ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsWnnnnnnn1211132212(1)(1)(2)1111nnnnnnnnnnnnnnnxyuxxuyuuxxuyuuuxxuyuuu1.4 状态空间表达式

29、的建立其中nnnnnnnnnnnnnnnnaaaabaababb01122110011222111011011110111000010001bbbbaaaaannnnnn1.4 状态空间表达式的建立其对应的状态空间描述为: uxyuxaaaaxnnnn0, 0, 1100000001001211210两种状态空间描述为: uxyuxaaaaxnnnn0, 0, 1100000001001211210011011110111000010001bbbbaaaaannnnnnubxabbabbabbyaaaannnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210uxx011

30、101111)(asasasbsbsbsbsWnnnnnnn1.4 状态空间表达式的建立 多输入-多输出(MIMO)系统微分方程的实现241423223121122111ubyayayubububyayay 241423223122211111ubyayayububyaubyay dtubyayaydtububyadtubyadtububyaubyay)()()()(241423222312221112231222111111.4 状态空间表达式的建立1.4 状态空间表达式的建立由结构图不难列出系统的状态空间表达式xyuxx10000100000014321342124331432312322

31、112111bbbbaaaaubxaxaxububxaxubxxax现代控制理论Modern Control Theory第第1 1章章控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式Part II (1.51.7)1.5 状态矢量的线性变换 状态空间表达式的非唯一性 系统特征值的不变性与系统的不变量1.5.1状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的动态系统，可以选择不同的状态变量组，从而得到不同结构的状态空间表达式设给定系统为：) 3)(2)(1(6)()()(ssssUsYsW61166332613) 3)(2)(1(6)(23ssssssssssWxyuxx0016006116100010

32、61xy2x3x3x u661161166)(23ssssW1.5.1状态空间表达式的非唯一性3121116) 3)(2)(1(6)(sssssssW61x23ux3x1y2xyuxx0016001001200131.5.1状态空间表达式的非唯一性332613)(ssssWxyuxx111363300020001x23ux3x1y32-6131.5.1状态空间表达式的非唯一性xyuxx0016006116100010 xyuxx001600100120013xyuxx11136330002000161166)(23ssssW1.5.1状态空间表达式的非唯一性 为何同一个系统具有不同的状态空间模

33、型? 原因: 状态变量的不同选择 这就产生了一个问题: 各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?1.5.1状态空间表达式的非唯一性 不同的状态变量组之间的关系实质上是一种线性变换的关系，或称坐标变换 状态变量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。 由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不同。 这些基底之间的关系相当于进行了一次坐标变换,而空间中的点的坐标则相当于作了一次相似变换。 x x y y A(xa,ya) (xa,ya) aaaayxPyxP为可逆的变换矩阵1.5.1状态空间表达式

34、的非唯一性 状态空间的线性变换状态空间的线性变换设描述同一个线性状态空间的两个设描述同一个线性状态空间的两个n维的维的状态变量向量分别为状态变量向量分别为1212.nnxxxxxxxx 由线性代数知识可知由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系它们之间必有如下变换关系xTxxTx1其中T为nn维的非奇异变换矩阵。上述状态变量向量上述状态变量向量 x与与 间的变换间的变换,称为状态的线性变换称为状态的线性变换x只有变换矩阵T为非奇异的,才能使上述变换关系是等价的、唯一的和可逆的1.5.1状态空间表达式的非唯一性 设给定系统为DuCxyxxBuAxx0) 0(xTxxTx1DuxCTyxTxB

35、uTxATTx)0(0111总可以找到任意一个非奇异矩阵T，作线性变换得新状态空间表达式1.5.1状态空间表达式的非唯一性例例 试将以下状态空间模型 作变换矩阵为下式所示的线性变换作变换矩阵为下式所示的线性变换941321111T0100001061166 100 xxuyx1.5.1状态空间表达式的非唯一性1.5 状态矢量的线性变换解 线性变换T的逆矩阵为2/ 12/ 311432/ 12/ 531T因此,有 111 36330002000111CTCBTBATTA1.5 状态矢量的线性变换故系统在新的状态变量下的状态空间模型为100302060033 111 xxuyx值得指出的是,状态空

36、间的线性变换只是对状态变量作变换,对系统的输入和输出未作变换,因此系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不变保持不变。1.5 状态矢量的线性变换1.5.2 系统特征值的不变性与系统的不变量 由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述。 实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性 那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?1.5 状态矢量的线性变换 线性时不变系统的特征结构由特征值特征值和特特征向

37、量征向量所表征。特征多项式特征多项式连续时间线性时不变系统BuAxx)det()()(1AsIAsIAsI特征多项式预解矩阵特征矩阵1.5 状态矢量的线性变换0111)det(asasasAsInnn110,naaa均为实常数 (1) 特征多项式(2) 特征方程式 00111asasasnnn1.5 状态矢量的线性变换特征值特征值连续时间线性时不变系统BuAxx”的根特征方程“系统特征值0)det(AsI(1)特征值的代数属性系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值(2)特征值集对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。 n,0)det(|21AI1.5

38、 状态矢量的线性变换(3) 特征值的形态特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数(4) 特征值类型系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型1.5 状态矢量的线性变换 系统的不变量及系统特征值不变性系统矩阵A的一个重要性质是其特征值的不变性，即在状态变量的线性变换中，新老状态方程的系统矩阵的特征值是相同的 DuCxyBuAxx DuxCTyBuTxATTx111.5 状态矢量的线性变换为了证明这一点，只要证明 AIAI即可，证明如下： ATTTTATTIAI111 AIAITTTAITTAIT)()(111A阵的特征值是不变的1.5 状态矢量的线性变换这还意味着特征方程是相同的。即如设

39、系统的特征方程为：0012211aaaaAInnnnn则方程的系数是不变的量，故称特征多项式的系数为系统的不变量 110,naaa1.5 状态矢量的线性变换特征向量特征向量n维连续时间线性时不变系统，i为A的特征值特征值BuAxxiiiiipnAppA非零向量”的满足“的右特征向量的属于1特征向量的属性：特征向量的属性：(1) 特征向量的不唯一性(2) 单特征值所属特征向量的属性 对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值1、 2、 n的相应一组特征向量p1、 p2、 pn为线性无关，当且仅当特征值1、 2、 n为两两互异。例例试求下列状态方程变换A的特征值和特征向量uxxxxxx10051

40、166116110321321解：A的特征值可由A0 求出 0) 3)(2)(1(061160511661161123AI3213211.5 状态矢量的线性变换对应于 11的特征矢量111ppA31211131211151166116110pppppp1.5 状态矢量的线性变换3111210ppp特征矢量不唯一特征矢量不唯一!06116061060312111312111312111ppppppppp3121111pppp1011p同理可以算出12和33的特征向量p2，p34212p9613p1.5 状态矢量的线性变换3111210ppp13111pp 1.5 状态矢量的线性变换1.5.3状态

41、空间表达式变换为约旦标准型状态空间表达式变换为约旦标准型对线性定常系统变换为其中 J=T1AT非奇异变换变换矩阵T通过系统的特征向量求得。CxyBuAxx,xCTyBuTxJx,1xTx11.5 状态矢量的线性变换1. 状态矩阵状态矩阵A无重特征值时无重特征值时如果A有n个两两相异特征值，则存在非奇异矩阵T，通过线性变换 ，使之化为对角线规范形式对角线规范形式xTx1nATTJ000000211其中n,21矩阵A的特征值。）, 2, 1, = (21nippppniiiinnnnnnnppppppppppppT21222211121121 证明：证明：首先令pi为A的属于i的特征向量因为1，2

42、， ，n 为两两相异，故p1,p2, ,pn必线性无关，由这些特征向量组矩阵T：必是非奇异的。1.5 状态矢量的线性变换进而，根据特征向量的关系式Apiipi，有 nnnnnnnTppppppApApAppppAAT0000212121221121211.5 状态矢量的线性变换因为T是非奇异阵，必有逆。将上式左乘T11，即得nATTJ002111.5 状态矢量的线性变换例例试将下列状态方程变换为约当规范形约当规范形xyuxx001100511661161103, 2, 13211011p4212p9613p1.5 状态矢量的线性变换12/3134322/539416201111321TpppT

43、11113230002000111CTCBTBATT1.5 状态矢量的线性变换xyuxx1111323000200011.5 状态矢量的线性变换1.5 状态矢量的线性变换2. 状态矩阵状态矩阵A有重根时有重根时对线性定常系统CxyBuAxx,设A的特征值为1，2， ，k ，其中特征值j为qj重特征值，所以有), 2 , 1(1kjnqkjj这时导出的形式叫约当标准型约当标准型，就是说总可以找到变换矩阵T，使得kJJJJATTAJ003211jjqqjjjjjJ11100nnkJJJJATTAJ003211称为第j个约当块1.5 状态矢量的线性变换因为特征值重复，得不到n个线性无关的特征向量 问

44、题:怎样得到变换矩阵T? 假设对q1重特征值1 ，只能得到一个特征向量p1 ，其余向量p2, p3, , pq1尚未求出，但由 kJJJJATTA003211ATAT 1.5 状态矢量的线性变换将此式展开121nqppppAknqJJJpppp32111211111.5 状态矢量的线性变换现在研究上式两边矩阵的第2列到第q1列，得下列关系式：1111131232112qqqppApppApppAp1123112111)()()(qqppIAppIAppIA上式有q1个方程和共个q1未知量，由上式可求得。同理可求得pq1以后的特征向量，于是可组成T矩阵。 11231312121111110qqq

45、ppApppApppAppAp特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量1.5 状态矢量的线性变换1.5 状态矢量的线性变换例 将系统状态空间表达式化为约当标准型。xyuxx001100032100010解：求A的特征值0)2() 1(2332100123AI所以特征值为：2, 13211.5 状态矢量的线性变换对应于11的特征向量p1111pAp312111312111032100010pppppp1111p1212ppAp111) 1(032100010232221232221pppppp1012p对应于11的广义特征向量p2333pAp1.5 状态矢量的线性变换对应于31的特征向量p342

46、13p所以411201111321pppT121336252911T2000100111ATTJ9131921BTB111 CTCxyuxx1119/13/19/2200010011此系统的约当标准型为 1.5 状态矢量的线性变换1.5 状态矢量的线性变换特殊形式（标准型）A阵的变换矩阵T110.1.00.0.10naaaA其特征多项式为|IA|=n+an-1n-1+a1+a0即该类矩阵的最后一行与特征多项式的系数一一对应。该类特殊系统矩阵A称为友矩阵友矩阵。1.1 niiip该结论可由下式证明iiniiiniiiniinipaaaAp121110.1.1.1.00.0.10即pi为友矩阵的特

47、征值i对应的特征向量1.5 状态矢量的线性变换友矩阵的特征向量的特点友矩阵的特征向量的特点: 当特征值为 i时,其对应的特征向量为1.5 状态矢量的线性变换(1).当友矩阵的特征值互异特征值互异时,将友矩阵变换成对角线矩阵的变换矩阵恰为下述范德蒙范德蒙矩阵矩阵112112222121111nnnnnnT1.5 状态矢量的线性变换(2).当友矩阵有重特征值重特征值时,以1的三重跟为例114112122244111111211)(dd2110110)(dd2101nnnnnnnnT34333223242322433321101wwwwwwT4310000000000wwATT1.5 状态矢量的线性

48、变换(3).当友矩阵有共轭复数特征值共轭复数特征值时,四阶系统有一对共轭复数特征值为例，设1,2jw, 3 41.5 状态矢量的线性变换3. 系统的并联型实现系统的并联型实现 01110111)(asasasbsbsbsbsWnnnmmmm设单输入单输出系统的传递函数如下 其极点即传递函数分母方程的根为两两互异实数两两互异实数，对应的状态空间描述可按如下两类情形n,21(1) mn，即系统为严真情形，即系统为严真情形 nissWcscscscsWisinni, 2 , 1),)(lim)(2211x2nuxnx1ycn2c2c11xcccyuxxnn2121111对应的状态空间描述为 状态方程

49、中系统矩阵为对角线标准型，可见并联实现等价于约旦标准型实现。1.5 状态矢量的线性变换x2nuxnx1ycn2c2c11xyucccxxnn1, 1, 12121对应的状态空间描述为 1.5 状态矢量的线性变换(2) m=n，即系统为真情形，即系统为真情形 令nissWcasasasabbsabbsWsWbasasasbsbsbsbsWisinnnnnnnnnnnnnnnni, 2 , 1),)(lim)()()(01110011101110111状态空间描述为：ubxyucccxxnnn1, 1, 121211.5 状态矢量的线性变换1.5 状态矢量的线性变换 传递函数具有重根的情况nnqq

50、qqqqscscscscscscsW11111211211)1(111)()()()()(01110111)(asasasbsbsbsbsWnnnmmmm设传递函数W(s)有一个q重根1，其余q+1，q+2，n是互异单根，W(s)的部分分式展开为), 2, 1()()(limd)()(dlim)!1(1d)()(dlim)()(lim111111)1(111111nqqisWscssWsqcssWscsWscisiqqqsqsqqsqi1.5 状态矢量的线性变换11s11qsns111s11sqc1u1xyqx1qxnx1qx11s2x)1(1qc12c11c1qcnc1.5 状态矢量的线性变