定积分概念ppt课件.ppt

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1、一、定积分的定义 如果当n时，S 的无限接近某个常数， 这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通过“四步曲”: 分割-近似代替-求和-取极限得到解决. niiniinabfxfS11.)()( 小矩形面积和小矩形面积和 badxxf,)().( fnablimdx)x( fin1iban 即即定积分的定义：定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。Oabxy)(xfy ).( fnablimdx)x( fin

2、1iban 被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限).( fnablimdx)x( fin1iban 怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式 积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确确 定定 的的 极极 限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)( xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和1. dxxf)(与 badxxf)(的差别 dxx

3、f)(是 )(xf的全体原函数 是函数 badxxf)(是一个和式的极限 是一个确定的常数 2 .当 xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数 及积分区间 有关，而与区间 ba,的分法及 i点的取法无关。 f(x)a,b注注意意3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有 bababaduufdttfdxxf)()()(4规定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf注注意意, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义y)(xfy ax

4、bxxoAy)(xfyaxbxAxoabyx1A2A3A4A5A( )dbaf xx各部分面积的代数和各部分面积的代数和12345AAAAA性质性质1 1：bababadxxgdxxfxgxf)()()()(（差）分等于它们定积分的和函数的和（差）的定积性质性质2 2：被积函数的常数因子可以提到积分号外被积函数的常数因子可以提到积分号外为常数）， kdxxfkkf(x)dxbaba()(三、定积分的基本性质三、定积分的基本性质性质性质3 3：对调定积分上下限，改变符号：对调定积分上下限，改变符号badxxf)(abdxxf)(0 0f f( (x x) )d dx xa aa a当当a=ba=

5、b时时性质性质4 4：（积分的可加性）：（积分的可加性）bacabcdxxfdxxfdxxfc)()()(，则一定有对任意的.,1103的值的值计算计算利用定积分的定义利用定积分的定义例例dxx .3xxf 令令解解 .11), 2 , 1(,11 , 0,11 , 0)1(nninixninininn 每每个个小小区区间间的的长长度度为为个个小小区区间间等等分分成成把把区区间间分分点点上上等等间间隔隔地地插插入入在在区区间间分分割割 xnifSdxxfnininini 110, 2 , 1)2(则则取取近似代替、作和近似代替、作和 nnini131 .,1103的值的值计算计算利用定积分的定

6、义利用定积分的定义例例dxx niin1341 2241411 nnn.11412 n.411141limlim)3(2103 nSdxxnnn取极限取极限例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyx-12ab-12f(

7、x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1

8、成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例3：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数, 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x21 20 xy=f(x)y=g(x)aby例例4dxx 1021计算积分计算积分义义知知，该该积积

9、分分值值等等于于解解：由由定定积积分分的的几几何何意意的的面面积积（见见下下图图）所所围围及及轴轴，曲曲线线10,12 xxxxyx1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的4141102 dxx所以所以练练 习习 题题 niiixf10)(lim 被积函数被积函数 围成的各个部分面积的代数和围成的各个部分面积的代数和 积分变量积分变量 积分区间积分区间 badx练练 习习 题题 1 -15A 2 0cos dx x20(1)cos dx x 如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值：如何表述定积分的几何意义？根据几何意义推出定积分的值： 11(2)dx x 4A 3A2345353

10、5()()0AAAAAAA 111d221 112xxA A.A.与区间及被积函数有关；与区间及被积函数有关；B.B.与区间无关与被积函数有关与区间无关与被积函数有关 C.C.与积分变量用何字母表示有关；与积分变量用何字母表示有关；D.D.与被积函数的形式无关与被积函数的形式无关 )(xfy 在在 ba,上连续，则定积分上连续，则定积分 badxxf)(的值的值4.4. 及及x x轴所围成轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为的曲边梯形的面积，用定积分表示为 12 xy与直线与直线 3, 1xx1.1.由曲线由曲线dxx) 1(2312 2-2-2-2,2-2,20 0A A222) 1(dxx3.3.定积分定积分练习练习223sin tdt中，积分上限是中，积分上限是 积分下限是积分下限是_ 2.2.积分区间是积分区间是 分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限 小小 结结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：定积分的几何意义：定积分的几何意义：