第二章流变学基本物理量ppt课件.ppt

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1、第二章第二章 流变学基本物理量流变学基本物理量第二章第二章 流变学基本物理量流变学基本物理量简单实验：简单实验：实际材料发生的变形和受力情况是复杂的，要找实际材料发生的变形和受力情况是复杂的，要找出其应力应变的关系十分复杂。因此，在流变学中采用一些理出其应力应变的关系十分复杂。因此，在流变学中采用一些理想化的实验，使应力和应变能很准确地定义和分析，这种理想想化的实验，使应力和应变能很准确地定义和分析，这种理想化的实验被称为简单实验。化的实验被称为简单实验。特点特点：（1 1）材料是均匀的，各向同性的。）材料是均匀的，各向同性的。 （2 2）材料被施加的应力和应变是均匀的和各向同性）材料被施加的

2、应力和应变是均匀的和各向同性 的，即应力、应变与坐标及其方向无关。的，即应力、应变与坐标及其方向无关。 在流变学中讨论变形时，要研究变形时在流变学中讨论变形时，要研究变形时应力与应变应力与应变的关系；而讨论流动时，要研究的关系；而讨论流动时，要研究应力与应变速率应力与应变速率的关系。的关系。因此，首先要定义材料发生各种变形或流动时的应力、因此，首先要定义材料发生各种变形或流动时的应力、应变和应变速率。应变和应变速率。应变（应变（strain)1.1.各向同性的压缩和膨胀各向同性的压缩和膨胀 A.边长变化参数和B.体积变化参数V/Vo2.2.拉伸和单项压缩拉伸和单项压缩3.3.简单剪切和简单剪切

3、流动简单剪切和简单剪切流动 应力应力(stress)应力产生原因：物体在外力或外力矩作用下会产生流动应力产生原因：物体在外力或外力矩作用下会产生流动或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体内部产生或（和）形变，同时为抵抗流动或形变，物体内部产生相应的应力。相应的应力。应力的定义：材料内部单位面积上的响应力，应力的定义：材料内部单位面积上的响应力，t=dt=df f/d/ds s单单位为位为PaPa或或MPa(1Pa=1N.m-2)MPa(1Pa=1N.m-2)，dfdf为作用在表面上无限小面为作用在表面上无限小面积积dsds上的力，在简单实验中，由于力是均匀的，上的力，在简单实验中，由于力是均

4、匀的，t=t=f f/ /s s特点：在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。特点：在平衡状态下，物体所受的外应力与内应力数值相等。由于研究聚合物流体的粘弹性，所以首先引入张量概念，并由于研究聚合物流体的粘弹性，所以首先引入张量概念，并研究应力研究应力应变应变应变速率张量之间的关系，并由此导出流应变速率张量之间的关系，并由此导出流变状态方程。变状态方程。张量张量(Tensor)(Tensor)高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别是高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别是张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思维能力，以便张量分析的数学概念。帮助建立矢量空间的思

5、维能力，以便更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程的推导。更好的理解流变学基本方程，以及一些加工应用方程的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线性代数和张全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数、线性代数和张量运算的数学基础。量运算的数学基础。 十九世纪中叶，柯西将应力和应变引入弹十九世纪中叶，柯西将应力和应变引入弹性理论，发现要决定一个体积元的受力状态要性理论，发现要决定一个体积元的受力状态要用九个分量来表示，这九个分量彼此不相分离，用九个分量来表示，这九个分量彼此不相分离，就好象某种物理量的九个分量。在相当长一段就好象某种物理量的九个分量。在相当长一段时间内物理学家都很难给

6、它起名，继而晶体物时间内物理学家都很难给它起名，继而晶体物理学家在自己的研究领域又发现许多这种量，理学家在自己的研究领域又发现许多这种量，法国物理学家沃特根据最初发现它的张力来源，法国物理学家沃特根据最初发现它的张力来源，将它们命名为将它们命名为“张量张量”。零阶张量（标量），有大小，无方向，零阶张量（标量），有大小，无方向，纯数值的量纯数值的量如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定压热如：质量、体积、密度、温度、热导率、热扩散率、比定压热容和能量。容和能量。一阶张量（向量、矢量），有大小，方向一阶张量（向量、矢量），有大小，方向如：位移、速度和温度梯度等。如：位移、速度和温度梯度

7、等。矢量用粗体代号或一个脚码代号表达，矢量用粗体代号或一个脚码代号表达， ai=a=axi+ayj+azki、j、k是平行于是平行于x、y、z轴的单位矢量，三个分量轴的单位矢量，三个分量ax、ay、az是矢量在是矢量在x、y、z轴上的投影，常把轴上的投影，常把x、y、z写成写成1、2、3简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。达。

8、 张量张量(Tensor)二阶张量和高阶张量，有大小，方向。如：二阶张量和高阶张量，有大小，方向。如：张量物理学定义张量物理学定义在一点处不同方向面上具有各个矢量值在一点处不同方向面上具有各个矢量值的物理量。流变学应用的是二阶张量，是的物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量面量”。张量数学定义张量数学定义在笛卡尔坐标系上一组有在笛卡尔坐标系上一组有3 3n n个有序矢量的个有序矢量的集合。指数集合。指数n n称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量n=2,n=2,标量是标量是零阶张量，矢量是一阶张量。零阶张量，矢量是一阶张量。 所以我们说张量是物理量的家族，是各种物理量的

9、概括和一般化。所以我们说张量是物理量的家族，是各种物理量的概括和一般化。 张量是反映事物内某一部分与另一部分不可分割联张量是反映事物内某一部分与另一部分不可分割联系的物理量，包含着相互联系的一系列物理量，是向量系的物理量，包含着相互联系的一系列物理量，是向量标值的多线形函数，如表面、内部应力、剪切速率等。标值的多线形函数，如表面、内部应力、剪切速率等。标量在统一的张量概念里是标量在统一的张量概念里是0 0阶张量；阶张量；线向量在统一的张量概念里是一阶张量；线向量在统一的张量概念里是一阶张量；面向量是二阶张量有大小、方向和作用平面；面向量是二阶张量有大小、方向和作用平面；多阶张量是多维向量的综合

10、体；多阶张量是多维向量的综合体；一般常用二阶张量。一般常用二阶张量。n张量的特征：张量的特征：n张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，可以从一个直张量可以按定量关系在不同坐标系中转换，可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系中，还可以转换到柱面角坐标系转换到另一个直角坐标系中，还可以转换到柱面坐标系（坐标系（r,r,z),z)和球面坐标系和球面坐标系(r,(r,) )中。中。n张量分量可在各种坐标系中描述。张量分量可在各种坐标系中描述。n张量分量具有一定的空间分布。张量分量具有一定的空间分布。n张量具有可分解性和可加和性。张量具有可分解性和可加和性。几个特殊的张量几个特殊的张量n单位张量单位

11、张量单位张量的表达式单位张量的表达式100010001i j10100010001iji jij当当对称张量n二阶张量的下标二阶张量的下标i i与与j j互换后所代表分量不变，称为二互换后所代表分量不变，称为二阶对称张量。即有阶对称张量。即有ijij=jijin二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称。二阶对称张量的矩阵表示形式中各元素关于对角线对称。因而只有六个独立元素。有：因而只有六个独立元素。有：111213111213212223222331323333i j反对称张量反对称张量n二阶反对称张量的分量满足二阶反对称张量的分量满足p pijij=-p=-pjijin对角线各元素为

12、零，从而只有三个独立分量，有对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有n任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和任何一个二阶张量均可唯一的分解为一个二阶对称张量和一个二阶反对称张量之和。一个二阶反对称张量之和。121312132123122331321323000000i jppppppppppppp张量的代数运算张量的代数运算（1 1）张量相等）张量相等n两个张量相等，则各分量一一对应相等。若两个张量相等，则各分量一一对应相等。若两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等，则它两个张量在某一笛卡尔坐标系中相等，则它们在任意笛卡尔坐标系中也相等。们在任意笛卡尔坐标系中也相等。Aij=Bij（2

13、）同阶张量加减n两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同两张量必须同阶才能加减。张量的加减为同一坐标系下对应分量相加减。即一坐标系下对应分量相加减。即Tij=Aij+Bij（3）张量数乘）张量数乘n张量张量A Aijij和标量和标量的乘积，也称张量放大。就是把的乘积，也称张量放大。就是把A Aijij的各个分量分别乘以的各个分量分别乘以。有。有B Bijij= = A Aijijn根据以上法则，流变学中常用的一种变换根据以上法则，流变学中常用的一种变换00000000020000330020000000000103333000001000033i jij(4)(4)张量的单点积张量的单点积n张量

14、张量A Aijij和张量和张量B Bijij的单点积，按矩阵乘法运算，单点积的结的单点积，按矩阵乘法运算，单点积的结果仍为张量。有果仍为张量。有ijijijTAB111211121311 1112 2113 3111 1212 2213 32212221222321 1122 2123 3121 1222 2223 323132bbaaaa ba ba ba ba ba bbbaaaa ba ba ba ba ba bbb二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表示二阶张量用粗体字符或带大括号，或用双脚标表示n流变学中的参量如：应力、应变、剪切应力、剪切速流变学中的参量如：应力、应变、剪切应力

15、、剪切速率和应力速率等都是张量率和应力速率等都是张量。 111213212223313233i jaaaaaaaaaaaa应力的分量表示法和应力张量应力的分量表示法和应力张量 在流变学中，应力的性质包括三个方面，除应力的方向和在流变学中，应力的性质包括三个方面，除应力的方向和大小外，还必须指出应力是作用在材料的哪一个表面上，因为大小外，还必须指出应力是作用在材料的哪一个表面上，因为同样大小和方向的应力，如作用在不同的表面，材料会发生不同样大小和方向的应力，如作用在不同的表面，材料会发生不同的变形。同的变形。 采用应力的分量表示法就可以完全地描述一个应力的性质，采用应力的分量表示法就可以完全地描

16、述一个应力的性质，即应力的方向、大小和作用面。应力的分量用两个下标表示。即应力的方向、大小和作用面。应力的分量用两个下标表示。第一个下标表示该应力的作用面，第二个下表则表示应力的方第一个下标表示该应力的作用面，第二个下表则表示应力的方向。向。 在直角坐标系中，材料试样的作用面在直角坐标系中，材料试样的作用面分为分为x x，y y，z z面。面。x x面为与面为与x x轴垂直的面，轴垂直的面，y y面与面与z z面也一样。面也一样。tx=Txx, Txy, Txz t1=T11, T12, T13 ty=Tyx, Tyy, Tyz t2=T21, T22, T23tz=Tzx, Tzy, Tzz

17、 t3=T31, T32, T33将将t1，t2，t3沿坐标轴方向分解，得到沿坐标轴方向分解，得到T12指的是作用在第一个面元上的指的是作用在第一个面元上的牵引牵引t1力在力在n2方向的分量方向的分量。应力张量可完整地描述物体内任一点的应力状态。应力张量可完整地描述物体内任一点的应力状态。9 9个分量组成的数组称为个分量组成的数组称为应力张量应力张量或写成T = 平衡时，物体所受的合外力与和外力矩等于零，于是，平衡时，物体所受的合外力与和外力矩等于零，于是，平衡时应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等。即平衡时应力张量中沿主对角线对称的剪切分量应相等。即T Ti ij j= =T Tjiji

18、 (i,j (i,j=1,2,3).=1,2,3).这表明，平衡时应力张量为对称张量，这表明，平衡时应力张量为对称张量，其中只有六个独立分量。三个为法向应力分量，三个为剪切其中只有六个独立分量。三个为法向应力分量，三个为剪切应力分量应力分量。所有所有Ti j (ij; i, j=1,2,3)分量都作用在相应分量都作用在相应面元的面元的切线方向上，称为应力张量的剪切线方向上，称为应力张量的剪切分量；所有切分量；所有Ti i (; i=1,2,3)分量都作用在分量都作用在相应面元的相应面元的法线方向上，称为应力张量法线方向上，称为应力张量的法向分量。的法向分量。剪切力的物理实质是粘滞剪切力的物理实

19、质是粘滞力或内摩擦力，力或内摩擦力，法向力的物理实质是弹法向力的物理实质是弹性力（拉力或压力）。性力（拉力或压力）。于是应力张量可于是应力张量可以完整地描述粘弹性物体在流变过程中以完整地描述粘弹性物体在流变过程中的复杂内应力状态。的复杂内应力状态。简单实验中的应力张量（三种基本简单实验中的应力张量（三种基本）1.1.拉伸实验拉伸实验拉伸试验中，在拉伸试验中，在 一个矩形断面的试样的端面上施加一个与端一个矩形断面的试样的端面上施加一个与端面垂直的力，采用笛卡尔坐标系，很明显该应力为面垂直的力，采用笛卡尔坐标系，很明显该应力为t txxxx: :txx=f/A 且tx=Txx, Txy, Txz=

20、f/A,0,0 ty=Tyx, Tyy, Tyz=0,0,0tz=Tzx, Tzy, Tzz=0,0,0T =Txx 0 00 0 00 0 02.2.各向同性的压缩各向同性的压缩T =Txx 0 00 Tyy 00 0 Tzz3.3.简单剪切简单剪切应力与作用面平行应力与作用面平行 接触力接触力(内力内力) 接触力是物体内的一部分通过假想的分隔面作用在接触力是物体内的一部分通过假想的分隔面作用在相邻部分上的力，也即外力向物体内传递。相邻部分上的力，也即外力向物体内传递。偏应力张量n根据力的性质不同，应力张量可以分解表示，其中最常见根据力的性质不同，应力张量可以分解表示，其中最常见的分解形式如

21、下：的分解形式如下： T=1/3(trT)I+ 式中：式中：trT=T11+T22+T33 称为张量的迹称为张量的迹 I为单位矢量为单位矢量 偏应力张量偏应力张量 若定义若定义 p=1/3trT 则则T可分解为可分解为 T=-pI+ 分量式：分量式：T=-pij+ij 式中式中 p为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的为各向同性压力（静水压力），处在任何状态下的流体内部都具有各向同性压力。它作用在曲面法向上，且流体内部都具有各向同性压力。它作用在曲面法向上，且沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲沿曲面任何法向的值相等，负号表示压力方向指向封闭曲面的内部。面的内部。 ij=0

22、（i=j） ij=1 （ij） 单位张量单位张量I=1 0 00 1 00 1 0 轴向应力张量，作轴向应力张量，作用于物体时指引起用于物体时指引起体积大小改变（流体积大小改变（流体静力学）体静力学）剪切应力张量，剪切应力张量，形状改变形状改变（偏应力张量）（偏应力张量）+ 偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物偏应力张量是应力张量中最重要的部分，直接关系到物体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写。体流动和形变（粘性形变和弹性形变）的描写。n与应力张量相似也是对称张量，只有六个独立分量。与应力张量相似也是对称张量，只有六个独立分量。n三个为法向应力，三个为法向应力，n三个为剪切应力

23、分量：三个为剪切应力分量： 例1 静止液体的内应力n静止液体内只有法向应力（实际静止液体内只有法向应力（实际上就是各向同性压力），无剪切上就是各向同性压力），无剪切应力。故各应力分量为应力。故各应力分量为 应力张量记为应力张量记为 应力张量只有各应力张量只有各向同性压力，偏向同性压力，偏应力张量为应力张量为0 0任何静止的平衡液体，或是静止或流动的无粘流体都处于这种应任何静止的平衡液体，或是静止或流动的无粘流体都处于这种应力状态力状态。 例2 均匀拉伸或压缩n设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之外不再有任设流体只受到一个方向的拉力或压力，除此之外不再有任何其他作用力，各应力分量为：何其他作

24、用力，各应力分量为：n材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种应力状态。材料在单轴拉伸流场中（纺丝过程）处于这种应力状态。此时体系处于沿此时体系处于沿 x x1 1方向方向的均匀拉伸或压缩状态。的均匀拉伸或压缩状态。 0 0为拉伸，为拉伸，0 0 为压为压缩。缩。例3 均匀剪应力n设流体的应力状态为：只有设流体的应力状态为：只有剪切分量剪切分量T T1212= =T T2121= = , , = =常数，常数，而所有其他剪切分量为零。而所有其他剪切分量为零。这种剪应力称均匀剪应力。这种剪应力称均匀剪应力。n当流体沿当流体沿 x x1 1方向流动，而在方向流动，而在x x2 2= =常数的平面上

25、受到剪切时，常数的平面上受到剪切时，例如在例如在x x1 1方向分层流动的简方向分层流动的简单剪切流场中，可能发生均单剪切流场中，可能发生均匀剪应力。匀剪应力。简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材料流动场简单剪切流场发生在许多仪器、设备、模具内的材料流动场中，是流变学研究的最重要的流动形式。中，是流变学研究的最重要的流动形式。考察在简单剪切流场中材料所受的法向应力的情况考察在简单剪切流场中材料所受的法向应力的情况 n牛顿流体只有粘性而无弹性，因此在应力张量中与弹性形牛顿流体只有粘性而无弹性，因此在应力张量中与弹性形变联系的各法向应力分量相等，均可归于各向同性压力。变联系的各法向应力分量

26、相等，均可归于各向同性压力。n而偏应力张量中，各法向应力分量等于而偏应力张量中，各法向应力分量等于0 0。应力张量。应力张量T T分解分解为为：n偏应力张量中只有一个独立分量偏应力张量中只有一个独立分量剪切应力分量，故只剪切应力分量，故只需定义一个函数需定义一个函数粘度函数粘度函数就可以完全描述其力学就可以完全描述其力学状态状态。 高分子液体是粘弹性流体，在剪切场中既有粘性流动，又有高分子液体是粘弹性流体，在剪切场中既有粘性流动，又有弹性形变，一般情况下三个坐标轴方向的法向应力分量不相弹性形变，一般情况下三个坐标轴方向的法向应力分量不相等，。因此要完整描述高分子液体的应力状态，偏应力张量等，。

27、因此要完整描述高分子液体的应力状态，偏应力张量中至少需要中至少需要4 4个应力分量个应力分量：流变函数除了粘度函数外，还要定义与法向应力分量相关流变函数除了粘度函数外，还要定义与法向应力分量相关的函数。的函数。偏应力张量中法向应力分量的值与各向同性压力的大小有关。偏应力张量中法向应力分量的值与各向同性压力的大小有关。注意注意 : :给出的各向同性压力的定义有一定任意性，这就使得给出的各向同性压力的定义有一定任意性，这就使得应力张量的分解方法有多种结果。见下例，同一个应力张量应力张量的分解方法有多种结果。见下例，同一个应力张量给出两种不同的分解方法。给出两种不同的分解方法。n两种结果中各向同性压

28、力两种结果中各向同性压力的值不同，由此导致偏应的值不同，由此导致偏应力张量中法向应力分量的力张量中法向应力分量的值不同。值不同。n但不管应力张量如何分解，但不管应力张量如何分解，偏应力张量中两个法向应偏应力张量中两个法向应力分量的差值始终保持不力分量的差值始终保持不变变。 在高分子液体流变过程中，单独去追求法向应力分量的绝对在高分子液体流变过程中，单独去追求法向应力分量的绝对值没有多大意义。值没有多大意义。重要的是，两个法向应力分量的差值在各种分解中始终保持重要的是，两个法向应力分量的差值在各种分解中始终保持不变，于是我们就可以定义两个法向应力差函数来描写不变，于是我们就可以定义两个法向应力差

29、函数来描写材料弹性形变行为：材料弹性形变行为：N N1 1、N N2 2加上粘度函数，用此三个函数就可以完整描写简单剪加上粘度函数，用此三个函数就可以完整描写简单剪切流场中高分子流体的应力状态和粘弹性。切流场中高分子流体的应力状态和粘弹性。 法向应力差不会由于各向同性压力的加入而改变。法向应力差不会由于各向同性压力的加入而改变。形变和形变梯度张量形变：物体在平衡的外力或外力矩作用下发生形状和尺形变：物体在平衡的外力或外力矩作用下发生形状和尺 寸的变化称为形变。寸的变化称为形变。 按宏观表现来分类按宏观表现来分类: :形变可分为简单剪切、均匀拉伸和压形变可分为简单剪切、均匀拉伸和压缩、纯剪切、纯

30、扭转、纯弯曲、膨胀和收缩等。缩、纯剪切、纯扭转、纯弯曲、膨胀和收缩等。实际物体的实际物体的形变往往是这些简单形变的复杂组合。高分子液体流动中发形变往往是这些简单形变的复杂组合。高分子液体流动中发生的主要形变方式有剪切、拉伸、压缩及其组合。生的主要形变方式有剪切、拉伸、压缩及其组合。n 简单剪切形变简单剪切形变物体内一些平行平面彼此作相对移动，相对移动的大小与平面物体内一些平行平面彼此作相对移动，相对移动的大小与平面间距成比例，移动方向与平面平行。间距成比例，移动方向与平面平行。 n矩形材料经简单剪切变为底角为矩形材料经简单剪切变为底角为90-90-的平行四边形，矩形内任一质点的平行四边形，矩形

31、内任一质点P P（X X1 1，X X2 2，X X3 3）位移到平行四边形中的）位移到平行四边形中的P(xP(x1 1，x x2 2，x x3 3）点位置，）点位置， 其位置矢量由其位置矢量由X X变为变为x x。由图可以导出简单剪切形变的描述方由图可以导出简单剪切形变的描述方程：程：n注意注意: : X2= X2=常数的平面为剪切平面，常数的平面为剪切平面， X1X1方向为物体层面平移的方向。方向为物体层面平移的方向。 角角的大小可以作为简单剪切形变的度量（当的大小可以作为简单剪切形变的度量（当很小）。很小）。 简单剪切形变不引起物体任何部分体积的改变。简单剪切形变不引起物体任何部分体积的

32、改变。均匀拉伸形变均匀拉伸形变 n发生均匀拉伸形变时，物体在一个或几个坐标轴方向经历发生均匀拉伸形变时，物体在一个或几个坐标轴方向经历均匀伸缩。若三个坐标轴方向都有伸缩形变，则形变可由均匀伸缩。若三个坐标轴方向都有伸缩形变，则形变可由如下方程描写如下方程描写 式中式中1 1、2 2、3 3 称为拉伸比，可为常数或时间称为拉伸比，可为常数或时间t t 的的函数，函数，的值可以作为拉伸形变的一种度量。的值可以作为拉伸形变的一种度量。 图给出两种典型的拉伸形变过程。图给出两种典型的拉伸形变过程。 A A 表示一维拉伸形变，其形变表示一维拉伸形变，其形变度量可记为：度量可记为：1 1 1,1,2 2=

33、3 3=1/=1/0.50.5 ; ;B B 表示二维拉伸形变，材料表示二维拉伸形变，材料 在在x x2 2 x x3 3 两个方向受到拉两个方向受到拉 伸，形变度量记为：伸，形变度量记为： 2 2 1, 1, 3 3 1,1, 1 1=1/=1/2 23 3若若1 1=2 2=3 3，则表明物体经历均匀膨胀或压缩；若，则表明物体经历均匀膨胀或压缩；若1 1=1/=1/2 2，而，而3 3=1=1，这种形变是纯剪切的。，这种形变是纯剪切的。假定在拉伸形变假定在拉伸形变过程中材料的体积保持不变，则有过程中材料的体积保持不变，则有1 12 23 3=1形变梯度张量n设在时刻设在时刻t t1 1，

34、t t2 2物体分别物体分别占有空间位形占有空间位形1 1、位形、位形2 2。在在t t1 1时刻物体内的任一线时刻物体内的任一线元元d dX X, ,在在t t2 2时刻占据的空间时刻占据的空间位置变为位置变为d dx x, ,则定义则定义t t1 1-t-t2 2 时刻间，物体内发生的形时刻间，物体内发生的形变梯度为：变梯度为：一般来说，一般来说， F F一个非对称张量，这一性质决定了一个非对称张量，这一性质决定了F F不是形变不是形变的恰当度量。从应力张量的性质看，应力张量和偏应力张的恰当度量。从应力张量的性质看，应力张量和偏应力张量都是对称张量，由此可见与其相对应的形变度量也应该量都是

35、对称张量，由此可见与其相对应的形变度量也应该是对称张量。是对称张量。F F形变梯度张量，这是一个二阶张量。用分量式展开来写，形变梯度张量，这是一个二阶张量。用分量式展开来写，记为：记为：Cauchy-GreenCauchy-Green形变张量和形变张量和FingerFinger形变张量形变张量 n尽管尽管F F不是对称张量，但不是对称张量，但F F可构成一些新的张量，这些张量是可构成一些新的张量，这些张量是对称张量，它们能正确的描述有限形变。这些张量有对称张量，它们能正确的描述有限形变。这些张量有Cauchy-GreenCauchy-Green形变张量，定义为：形变张量，定义为： 式中式中FT

36、为为F F的转置张量的转置张量，(FT)ij=Fji cauchy-Green张量分量式记为张量分量式记为：式中式中F F-1-1为为F F的逆张量。当的逆张量。当FingerFinger形变张量，定义为形变张量，定义为 另外上式中还利用了张量的性质另外上式中还利用了张量的性质：（：（FT）-1=（F-1）TFinger张量分量式记为：张量分量式记为：注意注意Cauchy 张量与张量与Finger 张量不是有限应变的等值度量。张量不是有限应变的等值度量。Cauchy张量与张量与Finger张量的不同之处在于其定义不同，形象张量的不同之处在于其定义不同，形象地说：地说：尽管两者都可以描述形变，但

37、两者是有差别的。尽管两者都可以描述形变，但两者是有差别的。例例1 1 简单剪切形变中形变张量简单剪切形变中形变张量n简单剪切形变：简单剪切形变：x1=X1+X2tg , x2=X2, x3=X3n根据定义，形变梯度张量为：根据定义，形变梯度张量为：求逆矩阵的方法：求逆矩阵的方法：用定义，当用定义，当AB=E(AB=E(或或BA=E)BA=E)且且A,BA,B为方阵时，有为方阵时，有A A-1-1=B=B用伴随矩阵用伴随矩阵用初等变换法用初等变换法形变张量分别记为：形变张量分别记为：可以看出，可以看出，F F确实为非对称张量，而确实为非对称张量，而C C和和C C-1-1 均为对均为对称张量，后

38、者具有无形变时度量不变的性质。称张量，后者具有无形变时度量不变的性质。例例2 2 均匀拉伸形变中形变张量均匀拉伸形变中形变张量均匀拉伸形变：均匀拉伸形变：x1= 1X1, x2= 2X2,x3= 3X3根据定义根据定义得到得到 速度梯度和形变率张量n在流动过程中，与流体应力状态相关的更重要物理量，在流动过程中，与流体应力状态相关的更重要物理量，往往不是形变的大小，而是形变进行的速率，它与流动往往不是形变的大小，而是形变进行的速率，它与流动场中的速度梯度密切相关。场中的速度梯度密切相关。速度梯度张量定义：设在某一瞬时位形，流体内的流动速度速度梯度张量定义：设在某一瞬时位形，流体内的流动速度场为场

39、为v v，如下：，如下： 分量式记为分量式记为 注意公式中速度矢量注意公式中速度矢量v v和位置矢量和位置矢量x x 都应是同一瞬时位都应是同一瞬时位形中的物理量。形中的物理量。速度梯度张量速度梯度张量L L 一般为非对称张量，按张量性质，一个非奇一般为非对称张量，按张量性质，一个非奇异的二阶张量总可以分解成一个对称张量与一个反对称张量异的二阶张量总可以分解成一个对称张量与一个反对称张量之和。于是可以将之和。于是可以将L L写成写成：式中式中 其中其中d d为对称张量，称形变率张量，表征了材料形变的速率。为对称张量，称形变率张量，表征了材料形变的速率。为反对称张量，称旋转速率张量，与材料的形变

40、无关。为反对称张量，称旋转速率张量，与材料的形变无关。例例1 1 简单剪切流场中的形变率张量简单剪切流场中的形变率张量n简单剪切流场，一律取简单剪切流场，一律取x x1 1方向为流动方向，方向为流动方向，X X2 2方向为速度梯方向为速度梯度方向，第三个方向度方向，第三个方向X X3 3为中性方向。为中性方向。n简单剪切流场的速度场为：简单剪切流场的速度场为：式中式中 称剪切速率，称剪切速率，单位为单位为s-1s-1x1x3x2由此得速度梯度张量：由此得速度梯度张量：分解分解L L得到形变率张量得到形变率张量d d和旋转速率张量和旋转速率张量分别为：分别为：可以看出，可以看出，d d为对称张量

41、，为对称张量，为反对称张量。为反对称张量。例例2 2 均匀拉伸流场中的形变率张量均匀拉伸流场中的形变率张量 n在纤维纺丝、薄膜吹塑等工艺过程以及在一切流道截面积在纤维纺丝、薄膜吹塑等工艺过程以及在一切流道截面积有变化的流场中都有强烈的拉伸流动存在。有变化的流场中都有强烈的拉伸流动存在。n在拉伸流场中流体的速度方向与速度梯度的方向是相同在拉伸流场中流体的速度方向与速度梯度的方向是相同的，的，流体的速度方向为流体的速度方向为x1方向，而速度的梯度方向也同样在方向，而速度的梯度方向也同样在x1方向，方向，v1只是只是x1坐标的函数，坐标的函数，v1=v1（x1）。）。一维单轴拉伸流场。设一维单轴拉伸

42、流场。设 x1x1方向为拉伸方向，速度场：方向为拉伸方向，速度场：v1=v1（x1）模仿简单剪切流场，拉伸速率同样用速度梯度定义，为模仿简单剪切流场，拉伸速率同样用速度梯度定义，为对于不可压缩流体对于不可压缩流体, , 若在第若在第1 1方向受到拉伸方向受到拉伸, , 则必然在第则必然在第2 2、3 3方向被反拉伸，而且第方向被反拉伸，而且第2 2、3 3方向是对等的，因此有方向是对等的，因此有v2=v30。按不可压缩流体的连续性方程有。按不可压缩流体的连续性方程有即即 有有 由此得：由此得：说明在一维拉伸流场中，说明在一维拉伸流场中， 材料元只受到拉伸形变，不发生材料元只受到拉伸形变，不发生

43、旋转。旋转。d=L =0二维双轴拉伸流场。设二维双轴拉伸流场。设x x1 1,x,x2 2 为拉伸方向，速度场为为拉伸方向，速度场为需要定义两个方向的拉伸速率需要定义两个方向的拉伸速率 由此得到速度梯度张量和形变率张量为：由此得到速度梯度张量和形变率张量为：这是拉伸流场与剪切流场的本质区别，这是拉伸流场与剪切流场的本质区别，n剪切流场中，速度与速度梯度的方向相互垂直；剪切流场中，速度与速度梯度的方向相互垂直；n拉伸流场中，速度与速度梯度的方向相互平行。拉伸流场中，速度与速度梯度的方向相互平行。称二维等幅拉伸流动称二维等幅拉伸流动 称二维不等幅拉伸流动称二维不等幅拉伸流动 小结：小结：一、简单实

44、验：理想化的实验一、简单实验：理想化的实验特点：特点：（1 1）材料是均匀的，各向同性的。）材料是均匀的，各向同性的。 （2 2）应力和应变是均匀的，各向同性的。）应力和应变是均匀的，各向同性的。二、应变：物体的变形二、应变：物体的变形 ，用，用 或或 表示表示三、应力：单位面积上的所受的外力三、应力：单位面积上的所受的外力t=df/ds=f/s四、应力张量：完整表示物体的受力情况四、应力张量：完整表示物体的受力情况应力分量：完全描述应力的性质应力分量：完全描述应力的性质应力分量要素：应力的大小、方向和作用面应力分量要素：应力的大小、方向和作用面六、形变和形变梯度张量：六、形变和形变梯度张量：五、偏应力张量：五、偏应力张量：七、速度梯度和形变率张量：七、速度梯度和形变率张量：