人教版八年级下册期中复习《勾股定理》、《平行四边形》知识点梳理.doc

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1、2020年人教版八年级下册期中复习 勾股定理知识点梳理一、本章知识点：1、勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c，有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能

2、形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5、勾股数能

3、够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数。记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等。二、经典例题复习类型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，. 求BC的长. 类型三：用勾股定理求最短问题3、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 类型四：勾股逆定理判定三角形的形状4、以下列各组数为边的三角

4、形中，是直角三角形的有（ ） （1）3，4，5；（2），；（3）4，5，6；（4）0.03，0.04，0.05 A1个 B2个 C3个 D4个类型五：勾股定理与逆定理的综合运用5、如图所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，B=90，求该四边形的面积类型六：方程的思想方法6、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 三、 易错点分析1、受定势思维影响例1 在ABC中，的对边分别为，且，则（ ） （A）为直角 （B）为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形错解：选（B）分析：因为常见的直角三角形表示时，一

5、般将直角标注为，因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为，即，因根据这一公式进行判断.正解：，.故选（A）2、不分斜边和直角边例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.错解：第三边长为.分析：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为；（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.3、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例3 如图所示，四边形

6、ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，B=90，求该四边形的面积证明部分错解： 分析：虽然最终求面积的结果也是对的，但这解题过程中存在问题：勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若，则.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.证明部分正解：.四、复习中要注意的问题：1、分清直角边和斜边2、注意数学思想的渗透（数形结合、转化、分类讨论、方程的思想等）3、区分勾股定理和勾股逆定理的书写 平行四边形知识点梳理一、本章知识结构框图利用表格帮助学生梳理知识点：平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等

7、对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分.有三个角是直角;是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。面积S= S=S=底高S=对角线乘积S=边长边长S=对角线乘积两条推论定理：（1）三角形

8、中位线定理（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半二、常见考点：考点1：平行四边形的性质、判定例1：平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则AOB的周长为_。例2：在平行四边形ABCD中，A=70，D=_, C=_。考点2：特殊平行四边形的性质、判定例3：下列说法错误的是（ ） A平行四边形的对角线互相平分 B对角线互相平分的四边形是平行四边形C菱形的对角线互相垂直 D对角线互相垂直的四边形是菱形例4：如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 （ ）A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形考点3：折叠问题例5: 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线

9、AC折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点F.（1）求证：FAC是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求FAC的周长和面积.考点4：动点问题例6： （福建）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O（1）如图1，连接AF、CE求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中， 已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的

10、值 若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式三、易错知识点分析（1）判定方法与性质混淆，对判定方法中条件的理解不够。错误使用判定方法，用性质代替判别解题时想当然，忽视重要步骤。另外，证明平行四边形的时候，有的同学错误用一组对边平行，另外一组对边相等去证明。（2）未判定是矩形/菱形/正方形，就直接运用矩形/菱形/正方形的性质。如：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AOB是等边三角形，边长为2，求BC的长。分析：本题容易未证明平行四边形ABCD是矩形，就直接运用勾股定理求BC长。（3）菱形

11、性质之一：每一条对角线平分对角，有同学错误以为对角线平分对角也能判定菱形。如：能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线互相平分且相等 B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相垂直且对角相等 D. 对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角（4）证明线段相等或者角相等，容易受全等思维的限制，而不考虑由平行四边形也可以对应线段或角相等。ABCDEF2341如图，是平行四边形的对角线上的点， 请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明猜想：，证明：证法一（大部分学生采用的方法）如图191四边形是平行四边形 又 EADCBF（易错点分析：证得即说，学生对内错角定义认识不准确）证

12、法二：如图，连结，交于点，连结，.四边形是平行四边形，又四边形是平行四边形(5)不注意分类。如：在平行四边形ABCD中，AE平分DAB，交BC于E，将BC分为5和4两部分，求平行四边形的周长。分析：本题是无图题，容易只看到两部分，但没有看清楚哪一部分为5，忽略了分类讨论。（6）错误的运用条件。如图，在平行四边形ABCD中，过对角线的交点O的直线交CB、AD的延长线于E和F，求证：BE=DF分析：本题误区在于容易把EF与AC互相平分当作已知条件，实际上只有平行四边形的对角线才互相平分，而EF不是对角线，故不能直接用。四、 复习建议：1、熟练典型基础图形的解题方法、结论2、渗透数学方法，重视学法指

13、导(1)转化和化归思想在平行四边形的学习中，我们通过连接对角线，把平行四边形化归为两个全等的三角形，运用全等三角形的性质得出平行四边形的性质；在探索并证明三角形的中位线定理时，又通过构造平行四边形，把三角形中的问题转化为刚刚学习过的平行四边形的性质，从而得出三角形中位线定理；在矩形性质的学习中，自然推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，把直角三角形中的问题转化为矩形中的问题。教科书反复提到三角形与平行四边形之间的转化，通过三角形研究平行四边形，运用平行四边形的性质研究三角形的有关问题。让学生了解这些思想，引导学生通过添加适当的辅助线，把未知化归为已知，运用已有知识解决问题，从而进一步提高学

14、生分析问题，解决问题的能力。(2)类比思想 如图(1)，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于N,求证：MDMN若将上述条件的“M是AB的中点”，改为“M是AB的上任意一点”，其余条件不变， 如图(2)所示，则结论“MDMN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。分析：（2）中结论仍成立，在探索这个结论时，可类比（1）的分析思路进行，应证明DFMMBN，由（1）中方法易证这两个三角形全等。(3)方程思想如图，一张宽为3，长为4的长方形纸片ABCD，沿对角线BD对折，点C落在点E的位置，BE交AD于O，则AO= 。分析：折叠问题，一直是

15、勾股定理常见的背景呈现方式。学生只要找到有三条边都可以用未知数表示的直角三角形，就可以列出方程解答。答案：7/8 3、 重视变式教学变式教学是指教师在引导学生解答数学问题时，变更概念非本质的特征，变更问题的条件或结论；转换问题的形式或内容；创设实际应用的各种环境，使概念或本质不变的一种教学方式。数学变式的研究能帮助学生养成良好的质疑、多思的学习习惯，提高类比推理的思维能力。例：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形。（1）证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形。 （2）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形EFG

16、H的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC = BD时，四边形EFGH 为菱形；当四边形ABCD的对角线满足_时，四边形EFGH为矩形；当四边形ABCD的对角线满足_时，四边形EFGH为正方形. 五、近年中考真题1（广州）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，（ ）A. B.2 C. D. 图2- 图2-【考点】正方形、有内角的菱形的对角线与边长的关系.2（广州）在平面中，下列命题为真命题的是（ ）A四边相等的四边形是正方形B对角线相等的四边形是菱形C四个角相等的四边形是矩形D对角线互相垂直的四

17、边形是平行四边形【考点】正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定.3.（广东）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是（ ）A平行四边形B矩形C菱形D梯形4.（浙江）已知平行四边形ABCD中，B=4A，则C=（ ）A18B36C72D144【考点】平行四边形的性质，平行线的性质.5.（内蒙古）如图，过口ABCD对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF与GH ，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1 与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是（ ）A .S1 S2 B.S1 S2 C .S1 = S2 D.2S1 =

18、 S2 【考点】平行四边形的判定和性质. 6.（北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_.【考点】矩形的性质、三角形中位线定理.直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理.7.（山东）口ABCD中，已知点A（1，0），B（2，0），D（0，1）则点C的坐标为 【考点】平行四边形的性质，坐标与图形性质.8.（吉林）如图，平行四边形 ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合若ACD的面积为3，则图中的阴影部分两个三角形的面积和为 .【考点】平行四边形和矩形的性质.9（广州）如图，平行四边形的对角线相交于点，过

19、点且与、分别交于点，求证：【考点】全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质.10（甘肃）D、E分别是不等边三角形ABC（即ABBCAC）的边AB、AC的中点O是ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E（1）当点O在ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案）【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定11.（贵州）如图，已知E是口ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F（1）求证：ABEFCE（2）连接ACBF，若AEC=2ABC，求证：四边形ABFC为矩形【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的判定. 9 / 9