2020年九年级数学中考三轮冲刺复习培优同步练习：《图形对称之最短路线问题》（解析版）.doc

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1、同步练习：图形对称之最短路线问题1问题提出：（1）如图，在ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD3，则AE的最小值为 ；（2）如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC120，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE1cm，求ABD的周长；问题解决：（3）如图，某公园管理员拟在园内规划一个ABC区城种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足BAC90，点A到BC的距离为2km为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）2阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1）

2、，N（x2，y2），M，N两点之间的距离可以用公式MN计算解答下列问题：（1）若点P（2，4），Q（3，8），求P，Q两点间的距离；（2）若点A（1，2），B（4，2），点O是坐标原点，判断AOB是什么三角形，并说明理由（3）已知点A（5，5），B（4，7），点P在x轴上，且要使PA+PB的和最小，求PA+PB的最小值3阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形：如果ABx轴，则y1y2，AB|x1x2|；如果ABy轴，则x1x2，AB|y1y2|；如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于

3、点C，则点C坐标为（x2，y1），由得AC|x1x2|，由得BC|y1y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB（1）若点A坐标为（4，6），点B坐标为（1，2），则AB ；（2）若点A坐标为（3，3），点B坐标为（6，6），点P是x轴上的动点，直接写出AP+PB最小值 ；（3）已知M+，N，根据数形结合，求出M的最小值？N的最大值？4如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（

4、如图2）；方案2：作A点关于直线CD的对称点A，连接AB交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ为多少时？ABQ为等腰三角形，请直接写出结果5如图，在ABC中，ACB90，点D是直线BC上一点（1）如图1，若ACBC2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求CMD周长的最小值；（2）如图2，若AC4，BC8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角

5、形，若存在，请直按写出线段CD的长度：若不存在，请说明理由6如图1和图2，P是直线m上一动点，A、B两点在直线m的同侧，且点A、B所在直线与m不平行（1）当P点运动到P1位置时，距离A点最近，在图1中的直线m上画出点P1的位置；（2）当P点运动到P2位置时，与A点的距离和与B点距两相等，请在图2中作出P2位置；（3）在直线m上是否存在这样一点P3，使得到A点的距离与到B点的距离之和最小？若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由（要求：不写作法，请保留作图痕迹）7如图，在四边形ABCD中，BCAD，BCAD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，ACCD，连接BE、CE、CF（1）判断四边形A

6、BCE的形状，并说明理由；（2）如果AB4，D30，点P为BE上的动点，求PAF的周长的最小值8如图，在ABC中，ABAC，AD是中线，且AC是DE的中垂线（1）求证：BADCAD；（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系并说明理由；（3）当BAC90，BC8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求BCP的面积9如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BDCE，CDBE，BD与CD相交于点D（1）当CEAB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：当BE的长为 时，四边形BECD是菱形；在的结论下，若点P是

7、BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为 10如图1，ABC中，ACB90，ACBC6，M点在边AC上，且CM2，过M点作AC的垂线交AB边于E点，动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为1个单位/秒，当动点P到达M点时，运动停止连接EP、EC，设运动时间为t在此过程中（1）当t1时，求EP的长度；（2）当t为何值时，EPC是等腰三角形？（3）如图2，若点N是线段ME上一点，且MN3，点Q是线段AE上一动点，连接PQ、PN、NQ得到PQN，请直接写出PQN周长的最小值11数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、

8、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n2，求的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB2，AC1，BD2，ACAB，BDAB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AEm，BEn，用含m的代数式表示CE ，用含n的代数式表示DE ；据此求的最小值；（2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 12如图，矩形ABCD中，OB5，OD3，以O为原点建立平面直角坐标系

9、，点B，点D分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足SPOBS矩形OBCD，问：（1）当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标；（2）当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标13如图所示，点D是等腰RtABC的斜边BC上一动点，连接AD，作等腰RtADE，使ADAE，且DAE90连接BE、CE（1）判断BD与CE的数量关系与位置关系，并进行证明；（2）当四边形ADCE的周长最小值是6时，求BC的值14如图，ABC中，ACB90，以AC为边在ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE（1）说明：AECEBE；

10、（2）若DAAB，BC6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值15如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M（1）若B70，则NMA的度数是 ；（2）探究B与NMA的关系，并说明理由；（3）连接MB，若AB8cm，MBC的周长是14cm求BC的长；在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由16如图，ADAB，BCAB，且AD2，BC3，AB12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC（1）设APx，用二次根式表示线段PD，PC的长；（2）设yPD+PC，求当

11、点P在线段AB上运动时，y的最小值；（3）利用（2）的结论，试求代数式的最小值17牧童在点A处放牛，其家在点B处，A，B到河岸l的距离分别为AC，BD，且ACBD300cm，测得CD800cm（1）牧童从A处牵牛到河边饮水后再回家，是否有最近的路线可走？若有，请通过作图说明在何处饮水，所走的路线最短，并标出路线；（2）若有最短路线，请求出牧童走的最短路程18如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D在BD两侧作ABBD，EDBD，连结AC，EC（1）如图1，已知AB3，DE2，BD12，设CDx用含x的代数式表示AC+CE的长（直接列式，不需化简）（2）如图1，请问点C满足什么条件时，AC+

12、CE的值最小？（直接写出结论，不需证明）（3）根据以上的结论和规律，请在虚线框中构造图形，利用图形求出代数式+的最小值19如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线（1）实验与探究由图观察易知点A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（2，5），E（1，4）关于直线l的对称点B、C，E的位置，并写出它们的坐标：B 、C ，E ；（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 （不必证明）；（3）运用与拓广：已知两点D（1，3）、B（5，3），试在直线l

13、上确定一点Q，使点Q到D、B两点的距离之和最小，并求出Q点坐标20如图1，DOE50，OD平分AOC60，OE平分BOC（1）用直尺、量角器画出射线OA，OB，OC的准确位置；（2）求BOC的度数，要求写出计算过程；（3）当DOE，AOC时（其中0，0+90），用，的代数式表示BOC的度数（直接写出结果即可）（4）如图2，M，N两点分别在射线OD，OE上，OM7，ON6，若在O、N两点之间拴一根橡皮筋，“奋力牛”Q拉动橡皮筋在平面内爬行，爬行过程中始终保持QN2QO，直接写出在“奋力牛”爬行过程中，2QM+QN的最小值为 参考答案1解：（1）AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD3，

14、则AE的最小值为3，故答案为：3；（2）ABAC，BAC120，BC（180120）30，DE是AC的垂直平分线，ADCD，DACC30，BADBACDAC1203090，在RtCDE中，DE1cm，ADCD2DE2cm，在RtABD中，BD2AD2CD4（cm），ABADtan602（cm），ABD的周长为：AD+BD+AB2+4+26+2（cm）（3）延长CB到点D，使得ABDB，延长BC到点E，使得CEAC，连接AD、AE，ADBDABABC，AECCAEACB，AB+BC+ACDB+BC+CEDE，DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值DAB+CAE（ABC+ACB）（180BAC）

15、45，DAEDAB+CAE+BAC135，以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，180DOE135，点A在弦DE所对的劣弧，过点A作APDE于P，过点O作OHDE于H，连接OA，则AP2，设DHx，则DE2x，OHx，OAODx，则AP+OHAO，可得2+xx，xDE的最小值为2x4+4AB+BC+AC的最小值为（4+4）km2解：（1）P，Q两点间的距离PQ13；（2）AOB是直角三角形，理由如下：AO2（10）2+（20）25，BO2（40）2+（20）220，AB2（41）2+（22）225，则AO2+BO2AB2，AOB是直角三角形；（3）如图，点A（

16、5，5），B（4，7），作点A关于x轴的对称点A，则A坐标为（5，5），连接AB交x轴于一点，此点就是点P，此时PA+PB最小，PA+PB最小值AB153解：（1）AB5；故答案是：5；（2）如图，点A坐标为（3，3），点A关于x轴对称的点A的坐标是（3，3），此时AP+PBAB3，故答案是：3；（3）M+，当M取最小值时，M表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点 （3，2）的距离之和（或M表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点 （3，2）的距离之和），此时M最小值3，N，当N取最大值时，N表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点 （3，2）的距离

17、之差（或M表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点 （3，2）的距离之差），此时N最大值4解：（1）方案1：AC+AB1+56，方案2：，方案1更合适；（2）（方法不唯一）如图，若AQ1AB5或AQ4AB5时，（或）4（不合题意，舍去）若ABBQ25或ABBQ55时，当AQ3BQ3时，设DQ3x，则有x2+42（4x）2+128x1，即：；故当DQ3或时，ABQ为等腰三角形5解：（1）作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，CMD周长的值最小，ACBC，ACB90，BCE45，连接BE，BCBE2，CBE是等腰直角三角形，DE，CMD周长的最小值1+；（2）存在，AC4

18、，BC8，AB4，当AD1AB时，AD1B的等腰三角形，ACBC，CD1BC8；当BD2AB4时，AD2B的等腰三角形，CD248；当AD3D3B时，AD3B的等腰三角形，BD38CD3，AC2+CDBD，42+CD（8CD3）2，解得：CD23，当BD4AB4时，AD4B的等腰三角形，CD48+4，综上所述，以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或48或3或8+46解：（1）过点A作直线m的垂线，垂足为P1，则P1即为所求； （2）作线段AB的垂直平分线交直线m于P2，则P2即为所求； （3）作点A关于直线m对称点A，连接BA交直线m于P3，则P3即为所求7解：（1）四边

19、形ADCE是菱形，理由如下：点E是AD的中点，AEADBCAD，AEBCBCAD，即BDCAE四边形ABCE是平行四边形ACCD，点E是AD的中点，CEAEDE，四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形AEECAB4，且点A、C关于BE对称点F是AE的中点，AFAE2当PA+PF最小时，PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，PAF的周长最小，此时PAF的周长PA+PF+AFCF+AF，在RtACD中，点E是AD的中点，则CEDE，ECDD30，ACE903060ACE是等边三角形ACAECE4AFEF，CFAECF2PAF的周长最小CF+AF28解：（1）ABAC，AD

20、是中线，BADCAD；（2）连接EC结论：BDCE理由：AD是中线，BDCD，AD，AE关于AC对称，CDCE，BDCE；（3）连接BE交AD于点P，此时PE+PC的值最小ABAC，BAC90，BDDC4，ADAE4，由题意AEBD，AEADBD，四边形ABDE是平行四边形，PAPD2，PDBC，SBCP8289解：如图所示：（1）BDCE，CDBE，四边形BDCE是平行四边形，CEAB，BEC90，四边形BECD是矩形；（2）当BE的长为时，四边形BECD是菱形理由如下：连接ED，与BC交于点O，四边形BDCE是平行四边形，当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形，BOBC3，OEA

21、C2，根据勾股定理，得BE故答案为连接AD，与BC交于点P，连接PE，此时PDPE，AP+EP最小，AP+PEAP+PDAD，过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，得矩形ODFC，CFOD2，DFOC3，AFAC+CF6，在RtADF中，根据勾股定理，得AD3AP+EP的最小值为3故答案为310解：（1）ACB90，EMAC，EMBC，ME4，当t1秒时，AP1，则PM3，EP5；（2）当EPEC时，PMMC，4t2，解得，t2，当PCPE时，（4t）2+42（6t）2，解得，t1，当CPCE时，22+42（6t）2，解得，t16+（舍去），t26，当t1或2或（62）时，PEC是等腰三角形；

22、（3）作点N关于AC的对称点N，关于AB的对称点N，连接NN交AC于P，交AB于Q，连接NE，则PQN即为周长最小的三角形，由题意得，NE7，NENE1，MEBC，AENB45，NEN90，NN5，则PQN周长的最小值是511解：（1）在RtACE中，CE，在RtBDE中，DE；CE+DE，而CE+DECD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DHCA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，AHBD2，DHAB2，在RtCHD中，CD，CE+DE的最小值为，即的最小值为；（2）如图，设AB16，CA5，BD7，AEx，则BE16x，在RtACE中，CE，在RtBDE中，DE；CE+

23、DE，而CE+DECD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DHCA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，AHBD7，DHAB16，在RtCHD中，CD20，CE+DE的最小值为20，即的最小值为20故答案为，+；2012解：（1）矩形ABCD中，OB5，OD3，C（5，3），设直线OC的解析式为ykx，35k，k，直线OC的解析式为yx，点P在矩形的对角线OC上，设P（m，m），SPOBS矩形OBCD，5m35，m，P（，2）；（2）SPOBS矩形OBCD，设点P的纵坐标为h，|h|55，h2，点P在直线y2或y2的直线上，作B关于直线y2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），

24、连接OE交直线y2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为ynx，45n，n，直线OE的解析式为yx，当y2时，x，P（，2），同理，点P在直线y2的直线上，P（，2），点P的坐标为（，2）或（，2）13解：（1）BDCE，BDCE；理由：BACDAE90，BADCAE，在ABD与ACE中，ABDACE（SAS），BDCE，ABDACE45，ACB45，BCE90，BDCE；（2）当ADBC时，AD最小，则四边形ADCE的周长最小，即当四边形ADCE为正方形时，四边形ADCE的周长最小是6，AD，ABC是等腰直角三角形，BC2AD314解：（1）ADC是等边三角形，DFAC，DF垂

25、直平分线段AC，AEEC，ACECAE，ACB90，ACE+BCE90CAE+B90，BCEB，CEEB，AECEBE（2）连接PA，PB，PCDAAB，DAB90，DAC60，CAB30，B60，BCAEEBCE6AB12，DE垂直平分AC，PCAP，PCPB+PA，当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即P，B，A共线时最小，当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为1215解：（1）若B70，则NMA的度数是 50，故答案为：50；（2）猜想的结论为：NMA2B90理由：ABAC，BC，A1802B，又MN垂直平分AB，NMA90A90（1802B）2B90（3）如图：MN垂直

26、平分ABMBMA，又MBC的周长是14cm，AC+BC14cm，BC6cm当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm16解：（1）在直角ADP中，A90，AD2，APx，PD；在直角BCP中，B90，AD3，PBABAP12x，PC；（2）如右图作D点关于AB的对称点D，连接CD，交AB于P，则PDPD，CDPD+PCPD+PC，即为y的最小值过D作AB的平行线，交CB的延长线于E在CED中，E90，DEAB12，CECB+BECB+AD3+25，由勾股定理，得CD13，故y的最小值为13；（3）如右图构造图形，AB24，ADAB，AD3，BC4，PAx，PB24x，PD，PC，由

27、对称性可知，PC+PD的最小值为PC+PDCD25故代数式的最小值为2517解：（1）作点A关于l的对称点A，连接AB与l相交于点M，点M就是饮水处如图（2）AA600m，CD800m，则AB为1000m18解：（1）CDx，BD12，BC12x，由勾股定理得：AC+CE；（2）当点C在直线AE上时，如图2，AC+CE的值最小，理由是：C1是线段BD上任意一点（C1不与C重合），在AC1E中，AC1+EC1AE，AC1+EC1AC+CE，即AC+CE的值最小，（3）如图3，线段BD，分别过点B、D在BD两侧作ABBD，EDBD，已知AB7，BDDE5，连结AE交BD于C，由（2）得：此时AC+

28、CE的值最小，设BCx，则CD5x，AC+CE+，即代数式+的最小值就是线段AE的长，过E作EFAB，交AB的延长线于F，F90，ABBD，EDBD，FBDBDE90，四边形EFBD是矩形，EFBD5，BFDE5，AF5+712，在RtAEF中，则勾股定理得：AE13，代数式+的最小值是1319解：（1）点B（5，3）、C（2，5），E（1，4）关于直线l的对称点B、C，E的位置，如图所示，由图象可知B（3，5），C（5，2），E（4，1）（2）由（1）可知坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为（b，a）（3）连接DB交直线l于Q，此时DQ+BQ最小设直线D

29、B的解析式为ykx+b，则解得，直线DB的解析式为y4x7，由解得，点Q坐标（，）20解：（1）当射线OC在DOE内部时，射线OA，OB，OC的位置如图1所示，当射线OC在DOE外部时，射线OA，OB，OC的位置如图2所示（2）如图1中，OD平分AOC，AOC60，AODDOC30，DOE50，EOCDOEDOC20，OE平分BOC，BOEEOC20，BOCEOC+BOE40如图2中，OD平分AOC，AOC60，AODDOC30，DOE50，EOCDOE+DOC80，OE平分BOC，BOEEOC80，BOCEOC+BOE160（3）由（2）可知：BOC2或2+（4）如图3中，连接MQQN2OQ，2QM+QN2QM+2OQ，OQ+QMOM，OQ+QM的最小值为7，2QM+QN的最小值为14故答案为14