高中数学必修五《导学案》2015版高中数学(人教A版-必修5)教师用书(预学+导学+固学+思学)：第.doc

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1、知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求不等关系与不等式1.通过具体情景,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“形”和“数”两个方面来认识不等式2.理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单不等式以及解不等式1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,体会不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值2.体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题3.通过实例,体验数学与日常生活的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力一元二次不等式1.掌握求解一元二次不等式的基本方法2.掌握一元二次不等式在实际问题中的应用3.了解简单的一元高次不等式和

2、分式不等式的解法二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决基本不等式1.学会推导并掌握基本不等式2.掌握基本不等式的一些重要变形3.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题本章的教学重点有:了解不等式和不等关系的实际背景,掌握常用不等式的基本性质,会将一些基本性质结合应用;一元二次不等式的解法;二元一次不等式组表示的平面区域及线性规划问题;利用基本不等式进行不等式证明与求函数的最值等.在教学时要注意以下几点:1.注重基础,要求学生深刻理解不等式的性质是解、证不等式的基

3、础.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的主要工具.2.线性规划问题有着丰富的实际背景,且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关,所以对于这部分内容要求学生能用平面区域表示二元一次不等式组,能解决简单的线性规划问题,同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用,让学生经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力.3.引导学生通过本章学习掌握用基本不等式求解最值问题,能用基本不等式证明简单的不等式.利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件.一元二次不

4、等式是一类重要的不等式,要掌握一元二次不等式的解法,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化.4.本章学习是学生对不等式认知的一次飞跃,要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点.变式练习的设计可加深学生对定理的理解,并为以后实际问题的研究奠定基础.基本不等式的证明要注重严密性,老师要帮助学生分析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质.第1课时不 等 关 系1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.3.会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.4.掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活应用来解决一些实际问题

5、.重点:理解不等式的意义、列不等式表示数量关系、比较大小的基本步骤及其应用.难点:正确理解题意列出不等式,准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?问题1:上述情境中的x,y满足的不等式分别为:9x+4y3600,4x+5y2000,3x+10y3000,x0,y0.问题2:作差法比较大小的依据是什么?(1)aba

6、-b0;(2)a=ba-b=0;(3)aba-b0,b0.(1)ab1;(2)a=b=1;(3)ab120B.x+ybB.a0,b0,则+(填上适当的等号或不等号).【解析】a0,b0,(+)2=a+b+2,()2=a+b,(+)2()2,即+.【答案】4.比较x2+3与3x的大小,其中xR.【解析】(x2+3)-3x=x2-3x+3=x2-3x+()2-()2+3=(x-)2+0,x2+33x.用作差法比较大小比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.【方法指导】通过作差比较大小.【解析】a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2

7、b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2(a+)2+0(当且仅当a=b时取等号).a4-b44a3(a-b).【小结】作差法是比较大小的常用方法,其具体步骤是:作差变形判断符号,其中,“变形”是解题的关键,而因式分解、配方、凑成若干个平方和等都是“变形”的常用方法.用作商法比较大小已知ab0,比较aabb与abba的大小.【方法指导】通过作商法比较大小【解析】=()a-b,又ab0,故1,a-b0,()a-b1,即1,又abba0,aabbabba,aabb与abba的大小关系为:aabba

8、bba.【小结】作商法是比较大小的常用方法,其具体步骤是:作商变形判断与1的大小,其中变形是关键.通常指数、幂的形式常用此法.用不等关系解决实际问题六一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:(如表所示)消费金额(元)200,400400,500500,700700,900获奖券的金额(元)3060100130依据上述方法,顾客可以获得双重优惠.(优惠率=(优惠金额+奖券金额)总标价)试问:(1)若购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在500,800内的商品,顾客购买标

9、价为多少元的商品,可得到不小于的优惠率?【方法指导】(1)了解双重优惠的定义易解;(2)分别算出优惠金额和奖券金额,利用优惠率不小于得到不等式,求得标价的范围.【解析】(1)=33%,故顾客得到的优惠率为33%.(2)设商品的标价为x元,则500x800,由已知得或问题上述解法正确吗?结论上述解法不正确.商品的标价为x元,而消费额在5000.8,8000.8之间,而不是500800之间.于是,正确解答为:(1)同上.(2)设商品的标价为x元,则500x800,消费额:4000.8x640.由已知得:或解不等式无解,得:625x750.【小结】运用不等式解决实际问题时,首先将实际问题转化为函数不

10、等式的问题,然后解不等式求解.(1)试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小;(2)已知0ab,试比较a3-b3与ab2-a2b的大小.【解析】(1)由于(x+1)(x+5)-(x+3)2,=(x2+6x+5)-(x2+6x+9)=-40,(x+1)(x+5)(x+3)2.(2)(a3-b3)-(ab2-a2b)=(a-b)(a2+ab+b2)-ab(b-a)=(a-b)(a2+2ab+b2)=(a-b)(a+b)2,0ab,a-b0,(a-b)(a+b)20,a3-b30,N0,且=1,M+0,M5时,y1y2;当0ny2.因此当单位去的人数为5时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队

11、更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.1.某夏令营有48人,出发前要从A,B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的帐篷少5顶,若只选A型号的,每顶帐篷住4人,则帐篷不够;每顶帐篷住5人,则有一顶帐篷没住满.若只选B型号的,每顶帐篷住3人,则帐篷不够;每顶帐篷住4人,则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶,则下列选项中,不需要x满足的条件是().A.05x-485B.3(x+5)48C.4(x+5)48D.4xQRB.PRQC.QPRD.QRP【解析】P2=2,Q2=10-2,R2=8-4,P2-Q2=2-80,P2-R2=4-60,Q2-R2=2+4-20,Q0,R0,PRQ.【答案】B3

12、.已知a”或“0,(a+1)2(a+1)3.【答案】4.已知P=,Q=a2-a+1,比较P、Q的大小.【解析】P-Q=-a2+a-1=,a2+a+1=(a+)2+0,-a2(a2+1)0,0,PQ.(2013年新课标全国卷)设a=log36,b=log510,c=log714,则().A.cbaB.bcaC.acbD.abc【解析】令f(x)=logx(2x)(x1),则f(x)=logx2+1=1+,故函数f(x)=logx(2x)在x1上单调递减,则abc.【答案】D1.已知abc0,若P=,Q=,则().A.PQB.PQC.PQD.Pbc0,所以P-Q0,即PnB.m0,mn.【答案】A

13、3.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2200 km,如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间,这辆汽车原来每天行驶的路程(km)的范围是.【解析】设这辆汽车原来每天行驶的路程为x km,则解得256x260.【答案】(256,260)4.一杯重量为a克的糖水中含有b克糖,此时称为该糖水的“甜度”,若在此糖水中加入c克水,则显然糖水的“甜度”变小,若在此糖水中加入d克糖,则显然该糖水的“甜度”变大,这个事实用不等式怎么表示?【解析】加水后的甜度为,加糖后的甜度为,故有不等式.5.若0x1,则x,x2,x3的大小关系是()

14、.A.xx2x3B.xx3x2C.x3x2xD.x2x3x【解析】由底数大于0小于1的函数,指数越大函数值越小知x3x2x;也可以取特殊值,因为0x1,当x=0.5时,x2=0.25,x3=0.125,所以x3x20,b0,ab),则().A.ABB.ABC.ABD.A0,b0,ab,A-B0,故选C.【答案】C7.在正方向向右的数轴上,实数(其中a23)对应的点为A,实数1对应的点为B,那么A是在B的边.(填“左”或“右”)【解析】-1=0,0,所以t10,a3=b30,a1a3,则a5b5.(填等号或不等号)【解析】设等比数列an的公比为q,等差数列bn的公差为d,a1=b10,a3=a1

15、q2,b3=b1+2d,又a3=b3,a1q2=a1+2d,2d=a1(q2-1).a1a3,q21.而b5-a5=(a1+4d)-a1q4=a1+2a1(q2-1)-a1q4=-a1q4+2a1q2-a1=-a1(q2-1)20,b510.设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中x0且x1,试比较f(x)与g(x)的大小.【解析】f(x)-g(x)=(1+logx3)-2logx2=logx(3x)-logx4=logx.(1)当x时,logx0,故f(x)g(x);(2)当x=时,logx=0,故f(x)=g(x);(3)当1x时,logx0,所以f(x)g(x);(4)当

16、0x0,所以f(x)g(x).综上知:当x或0xg(x);当1x时,f(x)g(x);当x=时,f(x)=g(x).第2课时不等式的性质1.掌握常用不等式的基本性质.2.会用不等式的性质证明简单的不等式.重点:利用不等式的性质证明简单的不等式.难点:不等式性质的综合应用.建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.问题1:在上述情境中假设原住宅的窗户面积与地板面积分别为a,b,则0a0,比较与的大小,可得,所以采

17、光条件变好了.问题2:不等式的基本性质(1)对称性:abbb,bcac;(3)可加性:aba+cb+c;(4)ab,cda+cb+d;(5)可乘性:ab,c0acbc;(6)ab0,cd0acbd;(7)ab,c0acb0anbn(nN,n2);(9)开方性:ab0(nN,n2);(10)ab,ab00,b0,且ab),则糖的质量和糖水的质量比为:,若再添加c克糖(c0),则糖的质量和糖水的质量比为:.生活经验告诉我们,添加糖后,糖水会更甜,于是得出一个不等式:b,ab0,则下列不等式恒成立的是().A.B.2bD.lg(a-b)0【解析】函数y=2x是增函数,ab,2a2b.【答案】C2.已

18、知四个条件:b0a;0ab;a0b;ab0.能推出b,ab0c;a+dc,d-c0,又a+dd-c0,ba.【答案】ba4.已知12a60,15b36,求a+b,a-b的取值范围.【解析】15b36,-36-b-15,27a+b96,-24a-b45.a+b的取值范围为(27,96),a-b的取值范围为(-24,45).不等式性质的应用实数a、b、c、d满足条件:ab,c0;(a-d)(b-d)0,a、b在c的同一侧,(a-d)(b-d)0,a、b在d的两侧.ab,cd,把a、b、c、d标在数轴上,只有下面一种情况:由此得出cadb1,cb-c1-c1且a1,b1,logb(a-c)logb(

19、b-c)loga(b-c).已知ab0,cd0.求证:.【解析】-=a-b0,c-d0,-0,即.已知14a-2b2,且3a+b4,求4a+2b的取值范围.【解析】设4a+2b=x(4a-2b)+y(a+b)=(4x+y)a+(y-2x)b, 解得 4a+2b=(4a-2b)+(a+b).14a-2b2,(4a-2b).又3a+b4,8(a+b),(4a-2b)+(a+b),即4a+2b.1.设a,b是非零实数,若ab,则下列不等式成立的是().A.a2b2B.ab2a2bC.D.【解析】若ab,可取特殊值验证A,B,D均不正确,-=0,故应选C.【答案】C2.若a=,b=,c=,则().A.

20、abcB.cbaC.cabD.bac【解析】a=ln,b=ln ,c=ln ,而=,cab,给出下面三个不等式:ac2bc2;b-c.其中成立的是.【解析】当c=0时,不成立;当a0,bb两边同时加实数-c,由不等式的基本性质可知成立.【答案】4.比较大小:(1)(x+5)(x+7)与(x+6)2;(2)lo与lo.【解析】(1)(x+5)(x+7)-(x+6)2=(x2+12x+35)-(x2+12x+36)=-10,(x+5)(x+7)0,lolo.(法二:中间值法)函数y=lox和y=lox在(0,+)上是减函数且,lolo=1,lolo.(2013年北京卷)设a,b,cR,且ab,则(

21、).A.acbcB.b2D.a3b3【解析】D项可根据幂函数y=x3在定义域R上单调递增得出,对于其他选项可根据不等式性质排除或者采用特值法排除.【答案】D1.已知abB.C.D.a3b3【解析】ab不成立,故选A.【答案】A2.若abB.2a2bC.|a|b|D.()a()b【解析】由ab0,因此a成立;由ab-b0,因此|a|b|0成立;又函数y=()x是减函数,所以()a()b成立;故不成立的是B.【答案】B3.给出下列命题:abac2bc2;a|b|a2b2;aba3b3;|a|ba2b2.其中正确的命题是.【解析】当c=0时,ac2=bc2,则不正确;a|b|0,a2|b|2=b2,

22、则正确;a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)2+b20,则正确;取a=2,b=-3,则|a|b,但a2=4b2=9,即不正确,故填.【答案】4.已知a,bR+,求证:a+b.【解析】要证:a+b,只需证:(a+b)22(a2+b2),只需证:a2+b2-2ab0,只需证:(a-b)20,显然成立.5.若02sin B.sin 22sin C.sin 2=2sin D.无法确定【解析】 sin 2=2sin cos 0,则().A.f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)f(-b)+f(b)D.f(-a)+f(a)0,a-b,又f(x)在R上是增

23、函数,所以f(a)f(-b).又由a+b0得b-a,同理可得f(b)f(-a),同向不等式相加得f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).故选A.【答案】A7.若a,bR,且ab,则下面三个不等式:;(a+1)2(b+1)2;(a-1)2(b-1)2中,不成立的是.【解析】中-=,因为a(a-1)符号不定,所以的符号不能确定,所以不成立;中,若a=-1,b=-2,则(a+1)2=0,(b+1)20,所以不成立;中,若a=-1,b=-2,则(a-1)2=4,(b-1)2=9,所以不成立.【答案】8.设mR,xR,比较x2-x+1与-2m2-2mx的大小.【解析】(法一)(x2-x+1)-(-2m

24、2-2mx)=x2+(2m-1)x+(2m2+1).关于x的二次三项式x2+(2m-1)x+(2m2+1)的判别式为=(2m-1)2-4(2m2+1)=-4m2-4m-3=-(2m+1)2-20,0,即x2-x+1-2m2-2mx.(法二)(x2-x+1)-(-2m2-2mx)=x2+(2m-1)x+(2m2+1)=x2+(2m-1)x+()2+2m2+1-()2=(x+)2+m2+m+=(x+)2+m2+m+()2+-()2=(x+)2+(m+)2+0,x2-x+1-2m2-2mx.9.已知1a+b4,-1a-b2,则4a-2b的取值范围是.【解析】设u=a+b,v=a-b,得a=,b=,所

25、以4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v.又因为1u4,-1v2,所以-33v6.则-2u+3v10,即-24a-2b10.【答案】-2,1010.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,实数m、n在其定义域内,且m0;(2)f(m2)f(m+n)f(n2).【解析】(1)由f(m)=f(n),得|log2(m+1)|=|log2(n+1)|,即log2(m+1)=log2(n+1),或log2(m+1)=-log2(n+1),由得m+1=n+1,与mn矛盾,舍去;由得m+1=,即(m+1)(n+1)=1.m+11n+1,m0n,mn0.(2)当x0时,f(x)=|log2(x+1)|=l

26、og2(x+1)在(0,+)上为增函数.由(1)知m2-(m+n)=m2+mn=m(m+n),且m0,m(m+n)0,m2-(m+n)0,0m2m+n,f(m2)f(m+n).同理,(m+n)-n2=-mn-n2=-n(m+n)0,0m+nn2,f(m+n)f(n2),f(m2)f(m+n)0);方案:一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大?问题1:一元二次不等式一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为二次的不等式,叫作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的实数叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.问题2:二次函数、二次方程、二次不等式

27、间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a0).=b2-4ac0=00的解集(-,x1)(x2,+)(-,-)(-,+)(-,+)f(x)0在R上恒成立,则a0且0的解集是().A.(-2,1) B.(-1,2)C.(-,-2)(1,+)D.(-,-1)(2,+)【解析】原不等式可化为x2-x-20,即(x-2)(x+1)0.原不等式的解集为(-1,2).【答案】B2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c0的解集为().A.(-,-1B.-1,1C.-1,2D.-1,3【解析】观察图象可发现方程两根是-1,3,所以选D.【答案】D3.已知不等式x2+ax+

28、40的解集为空集,则a的取值范围是.【解析】欲使不等式x2+ax+40;(2)x22x-1;(3)x20(x+5)(x-3)0x3,不等式的解集是x|x3.(2)x22x-1x2-2x+10(x-1)20x1,不等式的解集是x|x1.(3)x22x-2x2-2x+20.=(-2)2-42=-40,方程x2-2x+2=0无解,不等式x20.【方法指导】先解相应的关于x的一元二次方程,再运用分类讨论思想判断方程的根的大小,最后判断二次项的系数的符号.【解析】由ax2+(a+2)x+2=0得方程的根为x=-,x=-1.若-1,则0,解得a2,当a-1,不等式的解集为(-1,-);当0a2时,-2时,-1,不等式的解集为(-,-1)(-,+).【小结】解含参数的一元二次不等式,尤其注意根的大小判断,若二次项系数含有参数,要注意