2020年九年级中考复习三轮冲刺《圆的综合》（解析版）.doc

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1、三轮冲刺复习培优同步练习：圆的综合1如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点C从点B出发沿射线BO运动，点D在射线BA上，且BDOC，以CD为直径作Q，设点C（0，m）（1）求线段AB的长；（2）当点Q在x轴上方且Q与x轴相切时，求m的值；（3）若直径CD将Q分成的两个半圆弧中有一个半圆弧落在ABO的内部时（含角的边上），直接写出m的取值范围2如图，在以AG为直径的半圆C中，ACB90，且BCAC6，D为半圆上的一动点，在运动的过程中，CD与CE始终保持垂直，且CED始终保持30（1）如图1，当BD2时，试判断直线BD与圆C的位置关系，并说明理由；

2、（2）如图2，设AC的中点为Q，DE的中点为P，连接QP，当ACD为多少度时，QP长度最大，并求出QP的最大值3如图，AC为O的直径，B为AC延长线上一点，且BADABD30，BC1，AD为O的弦，连结BD，连结DO并延长交O于点E，连结BE交O于点M（1）求证：直线BD是O的切线；（2）求O的半径OD的长；（3）求线段BM的长4如图，AC是O的直径，AB是O的一条弦，AP是O的切线作BMAB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交O于点D，连接AD（1）求证：ABBE；（2）若O的半径R2.5，MB3，求AD的长5如图，已知AB为O的直径，AC为O的切线，连结CO，过B作BDOC交O于D，

3、连结AD交OC于G，延长AB、CD交于点E（1）求证：CD是O的切线；（2）若BE4，DE8，求CD的长；（3）在（2）的条件下，连结BC交AD于F，求的值6如图：AB是O的直径，AC交O于G，E是AG上一点，D为BCE内心，BE交AD于F，且DBEBAD（1）求证：BC是O的切线；（2）求证：DFDG；（3）若ADG45，DF1，求证：ADBD7如图F为O上的一点，过点F作O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G（1）求证：MFG为等腰三角形（2）若ABMD，求证：FG2EGMF（3）在（2）的条件下

4、，若DF6，tanM，求AG的长8如图，已知C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连结BD，过点A作AEBD交射线CB于点E（1）求证：AE是C的切线（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和围成的部分的面积（3）在（2）的条件下，在C上取点F，连结AF，使DAF15，求点F到直线AD的距离9如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是C外一点，连接CP交C于点Q，点P关于点Q的对称点为P，当点P在线段CQ上时，称点P为C“友好点”已知A（0，2），B（2，2），E（1，0）（1）当O的半径为1时，点A，B，E中是O“友好点”的是 ；已知点M在直线yx+2上，且点M是O“友好点”，求点M的横坐标m

5、的取值范围；（2）已知点D（3，1），连接AD，T的圆心为T（t，1），半径为1，若在线段AD上存在一点N，使点N是T“友好点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围10如图，半圆O中，直径AB4，点C为弧AB中点，点D在弧BC上，连结CD并延长交AB的延长线于点E，连结AD交O于点F，连结EF（1）求证：DCAACE；若点D为CE中点，求AE的长（2）求证：ACE面积与AFE的面积差为定值，并求出该定值（3）若tanFEA，求tanFAO的值11如图，线段AB10，P是线段AB上的动点，以AP为腰在线段AB的上方作等腰PAC，且PAPC，cosCAP，以P为圆心，PB长为半径作P交腰PC于点D

6、（不与点P，C重合）（1）若D是PC的中点，求AC的长；（2）当P与AC相切时，求P的半径；（3）设BDx，ACy求y关于x的函数表达式；连结AD，当ADB的外接圆的圆心O在P上时，求AC的长12如图，AB为O的一条弦（不是直径），点H为AB上一动点，弦CD过点H且+180（1）求证：CDAB（2）如图，若ABCD，求证：OH平分BHD（3）在（2）的情况下，若AHBH记m，n求m关于n的函数关系式；如图，作HMOH交OC于P，HP的延长线交O于M，OC交AB于N设tanPOHx，y，求y关于x的函数关系式13如图，在ABC中，ACAB，点E在BC上，以BE为直径的O经过点A，点D是直径BE下

7、方半圆的中点，AD交BC于点F，且B2D（1）求B的度数；（2）求证：AC为O的切线；（3）连接DE，若OD3，求的值14如图O的半径OA弦BC于点D，E为优弧上一点，弦EA与BC交于点G，F为EA延长线上一点，连结BF，FBC2BEA（1）求证：BF为O的切线（2）若OA25，DG6，GC18请探究EBF与EGB的数量关系；求BF的长15已知：如图，矩形ABCD中，点E，F分别在DC，AB边上，且点A，F，C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，连结CF，作EGCF于G，交AC于H已知AB6，设BCx，AFy（1）求证：CABCEG（2）在不增加点的前提下，CHE与 三点构成的三角形相似，CHG

8、与 三点构成的三角形相似（空格内填写图中已有的三个字母）（3）求y与x之间的函数关系式x 时，点F是AB的中点（4）当x为何值时，点F是的中点？此时以A，E，C，F为顶点的四边形是何种特殊四边形？试说明理由16若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图，AD是ABC的角平分线，当ADAB时，则ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是ABC的“弱线”（1）如图，在ABC中B60，C45求证：ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF且

9、CF与有另一个交点G连结BG当BG是BCF的“弱线”时，求CG的长（3）已知ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB3BD，求AC：BC的值17如图，AB是O的直径，弦CDAB于点H，连接AC，过弧BD上一点E作EGAC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EGFG，连接CE（1）求证：ECFGCE；（2）求证：EG是O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若，求EM的值18我们把两组对边的平方和相等的四边形称为勾股四边形（1）在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，哪些一定是勾股四边形？（2）如图，四边形ABCD是勾股四边形，求证：ACBD（3）如图，在RtABC中，ACB

10、C，D是AC边的中点，DOAB于点O，以OD为半径的O交DO的延长线于点E，DF切O于点D，交BC于点F，G是O上一点，当四边形AGFD为勾股四边形时，求tanAFG的值（4）如图，在（3）的条件下，BD交CE于点P，求证：点P在O上参考答案1解：（1）对于yx+3，令x0，则y3，令y0，则x4，即点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，3），AB5；（2）由点A、B的坐标知，OA4，OB3，tanABO，则sinABO，cosABO，BDOCm，xDBDsinABOmm，同理yD3BDcosABO3m，故点D（m，3m）；点Q是CD的中点，由中点公式得，点Q的坐标为（m，），当点Q在x轴上

11、方且Q与x轴相切时，yQCD，CD3，故（m）2+（3mm）29，解得：m；（3）AB与BC交圆Q在直径CD的上方，CD上方的半圆与ABO必有第三个交点（设为E），即只有CD下方的半圆可能在ABO的内部，OCD90，ADC90，BCD90，BDC90，连接CE、DF，CD是直径，DFOB，CEAB，BEBD，BFBC，在RtBCE中，BC3m，BEBCcosOBC（3m），当m0时，BDm，BFBDcosOBCm，BEBD，BFBC，（3m）m且m3m，解得：m；当m0时，BDm，BFm，BEBD，BFBC，（3m）m且m3m，解得：m；综上，m或m2解：（1）直线BD与圆C相切理由如下：BC

12、AC6，CDAC，BC2AC2361224，BD2，BD224，BC2AC2BD2，BDC90，线BD与圆C相切；（2）连接CP，如图1，P为DE的中点为，DCE90，CPDE，CED30，CDDE，CPCDCA，Q点为AC的中点，CQAC，CQ+CPPQ，当点P在QC的延长线上时，PQCQ+CP+23值最大，PQ的最大值为33解：（1）证明：OAOD，BADABD30，BADADO30，DOBBAD+ADO60，ODB180DOBABD90，OD为O的半径，直线BD是O的切线；（2）ODB90，ABD30，ODOB，OCOD，BCOC1，O的半径OD的长为1；（3）OD1，DE2，BD，BE

13、，如图，连接DM，DE为O的直径，DME90，DMB90，EDB90，EDBDME，又DBMEBD，BMDBDE，BM线段BM的长为4（1）证明：AP是O的切线，EAM90，BAE+MAB90，AEB+AMB90又ABBM，MABAMB，BAEAEB，ABBE；（2）解：连接BC，AC是O的直径，ABC90，ABCEAM，在RtABC中，AC5，BMAB3，BC4，BEABBM，EM6，由（1）知，BAEAEB，ABCEAM，AMBC，即，AM，又CD，AMBD，ADAM5解：（1）证明：如图，连接OD，AB为O的直径，AC为O的切线，CAB90ADB，ODOB，DBOBDO，COBD，AOC

14、COD，AOOD，COCO，AOCDOC（SAS），CAOCDO90，ODCD，且OD是半径，CD是O的切线；（2）设O的半径为r，则ODOBr，在RtODE中，OD2+DE2OE2，r2+82（r+4）2，解得r6，OB6，COBD，CD12；（3）COBD，BDFCGF；EBDEOC，设OGx，OG为ABD的中位线，BD2OG2x，BE4，OE10，OC5x，CG4x，6（1）证明：如图1，连接DE，BGD为BCE内心，DBCDBE，DBEBAD，DBCBAD，AB是O 的直径，AGB90，BCG+CBG90，BCG+CBD+GBD90，DACDBG，ADBDAC+ACB+CBD，ADBD

15、BG+ACB+CBD90，BAD+ABD90，DBC+ABD90，即ABC90，ABBC，BC是O 的切线；（2）证明：如图1，连接DE，DBCBAD，DBCDBE，DBEBAD，ABF+BADABF+DBE，BFDABD，DGCABD，BFDDGC，DFEDGE，D为BCE内心，DEGDEB，在DEF和DEG中，DEFDEG（AAS），DFDG；（3）证明：如图2，在AD上截取DHBD，连接BH、BG，AB是O的直径，ADBAGB90，ADG45，ABGADG45，ABBG，BDH90，BDDH，BHD45，AHB18045135，BDGADB+ADG90+45135，AHBBDG，BADB

16、GD，ABHGBD，DGDF1，AH，ADBDADDHAH，ADBD7（1）证明：连接OFDM是O的切线，DMOF，MFG+OFA90，BMAD，AHG90，OAF+AGH90，OFOA，OFAOAF，MGFAGH，MFGAGF，MFMG，MFG是等腰三角形（2）证明：连接EFABDM，MFAFAB，FABFEG，MFGMGF，FEGMFG，EGFMGF，EGFFGM，FG2EGGM，MFMG，FG2EGMF（3）解：连接OBM+D90，FOD+D90，MFOD，tanMtanFOD，DF6，OF8，DMAB，MABH，tanMtanABH，可以假设AH3k，BH4k，则ABBG5k，GHk，

17、AGk，在RtOHB中，OH2+BH2OB2，（83k）2+（4k）282，解得k，AG8（1）证明：如图1中，连结AC，四边形ABCD是菱形，ACBD，又BDAE，ACAE，AE是O的切线（2）如图1中，四边形ABCD是菱形，ABBC，又ACBC，ABC是等边三角形，ACB60，AC2，AEACtan602，S阴SAECS扇形ACB222（3）如图2中，当点F在上时，DAF15，DCF30，ACD60，ACFFCD，点F是弧AD的中点，CFAD，点F到直线AD的距离CFCAcos302如图3中，当点F在优弧上时，DAF15，DCF30，过点C作CGAD于D，过点F作FHCG于H，可得AFH1

18、5，HFC30，CH1，点F到直线AD的距离CGCHACcos30CH1综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2或19解：（1）如图1中，r1，OA2r2，根据“友好点”的定义，点A是O“友好点”，OB22r2，点B不是O“友好点”，E（1，0）在O上，点E不是O“友好点”，故答案为A如图2中，当OMOA时，连接OM，过点M作MHx轴于H直线yx+2交y轴于A（0，2），交x轴于C（，2，0），OA2，CO2，tanCAO，CAO60，OAOM2，AOM是等边三角形，AOM60，MOH30，MHOM1，OHMH，M（，1），根据“友好点”的定义，OM2，点M的横坐标m的取值范围为m0（2）

19、如图3中，过点T作TNAD于N当TN2时，设直线DT交y轴于HA（0，2），H（0，1），D（3，1），OA2，OH1，DH3，tanADH，ADH30，TD2TN4，TH34，T（34，1），当DT2时，线段AD上存在一点D是T“友好点”，此时T（3+2，1），观察图象可知，满足条件的t的取值范围为34t3+210解：（1）证明：点C为弧AB的中点，COAB，OCOA，CDACAE45，又DCAACE，DCAACE；D为CE的中点，AC2，由（1）知，DCAACE，AC2CDCECD2CD，即CD2，CE4，OE2，即AEAO+OE2+2（2）证明：DCAACE，CAFCEA，又ACFCAE

20、45，ACFEAC，SACESAEF4（3）tanFEA，设OF2a，OE6a，AC2AECF，8（2+5a）（2a），得（3a2）（a1）0，即a1或a，当OF2时，tanFAO，当OF时，tanFAO，tanFAO或11解：（1）如图1，作PEAC于点E，D是AC的中点，PC2PD，PAPC，PDPB，PA2PB，AECE，AB10，cosCAP，AP，AC2APcosCAP28，（2）设P的半径为r，则AP10r，作PEAC于点E，则E点为所求的切点，在RtPEA中，sinCAP，EP（10r），当P与AC相切时，有EPr，（10r）r，解得，r，当P与AC相切时，P的半径为（3）如图2

21、，作PFBD于点F，则BFDF，PDPB，PAPC，PBDPDB，CAPC，BPFBPD（CAP+C）CAP，DBx，ACy，PBFBx，APAEy，PB+PA10，y10，y关于x的函数表达式为y12x如图3，由题意得，延长FP与P的交点O即为ADB的外接圆的圆心，作OHAB于点H，连接OB，OA，OAOB，AHBH5，BPFCAP，cosBPFcosOPHcosCAP，设PF3k，PB5k，则BFDF4k，POPB5k，PH3k，BH5k+3k5，k，xBD8k5，ACy12x12512解：（1）证明：连接BC，B，C，+180B+C（+）90，ABCD（2）证明：过点O分别作OEAB，O

22、FCD，OEAB，OFCD，ABCD，四边形OEHF是矩形，ABCD，OEOF，四边形OEHF是正方形，OH平分BHD（3）ABCD，OH平分BHD，EHO45，OHEH，OEAB，AEBE，BHAH2EHn，nm，mn过点P作PQCD，OFPQ，y，设FHOFa，则CQay，OHa，tanPOHx，PHax，PQQHax，OFPQ，PCQOCF，x，y13解：（1）如图1，连接OA，点D是直径BE下方半圆的中点，BODEOD90，BADBOD45，BAO+DAO45，OAOBOD，DAOD，BAOB，B+D45，B2D，B30；（2）由（1）知，B30，ACAB，CB30，AOC2B60，C

23、AO180CCAO90，OA为O的半径，AC为O的切线；（3）如图2，连接OA，AE，则BAE90，在RtACO中，CAO90，C30，AOOEDO3，OC2AO6，CEOCOE3，CEOE3，由（2）知，CAO90，AEOC3，CAOCOD90，OADODAB15，CAFOFD75，CFAOFD，CAFCFA，CFAC3，连接DE，DEFBAD45，DAEBAEBAD45，DEFDAE，EDFADE，EDFADE，14解：（1）证明：如图1，连接BO，OABC，ODB90，OBD+BOD90，BOD2BEA，FBC2BEA，BODFBC，OBD+FBC90，即OBF90，BFOB，BF为O的

24、切线；（2）EBFEGB，理由如下：如图2，连接BO，AB，OE，过点B作BHAG于点H，OABC，BDCDDG+CG6+1824，在RtOBD中，OBOA25，BD24，OD7，ADOAOD25718在RtBDA中，由勾股定理可得，AB30，BGBD+DG30，ABBG，BAGBGA，BHAG，BGA+GBH90，BAG+GBH90，BOE+2EBO180，BOE2BAG，2（BAG+EBO）180，BAG+EBO90，EBOGBH，EBO+OBFGBH+BHG，即EBFEGB如图2，在RtDAG中，由勾股定理得，AG6，OABC，BEAGBA，BAEGAB，ABEAGB，AEBE15，EG

25、AEAG9，EBFEGB，BEFGEB，EBFEGB，BF5015解：（1）证明：连接EF，点A，F，C在以点E为圆心，EC为半径的圆上，EFEC，EGCF，CEF2CEG，CEF2CAB，CABCEG（2）C，G，B或C，E，A；A，E，D连接EF，AE，BG，矩形ABCD中，BCD90，EGCF，FCB+ECG90，ECG+GEC90，FCBGEC，ABCD，CABECH，又CABCEGECHCEG，CEEF，EGCF，CGGF，CGBG，GCBGBC，即GCBGBCHECHCE，CHECGB；AECE，EACECAHEC，ECHACE，CHECEA；EAEF，EAFEFA，AEF+2EA

26、F180，DAE+EAF90，DAE，DAEACF，ADECGH90，CHGAED故答案为：C，G，B或C，E，A；A，E，D（3）如图3，连接EF，EA，设E的半径为r；在RtADE中，EAr，DE6r，ADx，x2+（6r）2r2，rx2+3，EFEA，AF2DE，即y2（6r）x2+6，y与x的函数关系式为：yx2+6；点F是AB的中点时，AF3，即y3，x2+63，x3（负值舍去）；故答案为：3（3）解：如图3，当x2时，F是弧AC的中点此时，四边形AECF是菱形理由如下：BC2，AB6，CABCEGBCF30，ECF60，CEF是正三角形，ABCD，AFECEF60，AEF为正三角形

27、，AEFCEF60，F是的中点CEF和AEF都是等边三角形，AEECAFCFEF，四边形AECF是菱形16（1）证明：如图作ABC的角平分线BD，交AC于D，DBCABC30，ABC60，C45，A180ABCC180604575，ADBDBC+C30+4575，ADBA，BABD，ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图，连接EG，BG是BCF的“弱线”，BG平分FBC，FBGGBE，BFBE，BGBG，BGFBGE（SAS），BGFBGE，BGBE，BGEBEG（180GBE），FGE180GBE，CGE180FGE，CGECBG，GCEBCG，GCEBCG，CE431，CG2CEBC144，

28、CG2；（3）如图，当ABAD时，在AC上取一点E，使得AEAB，连接DE，AD是“弱线”，AD是ABC的角平分线，BADCAD，ADAD，ABDAED（SAS），DEBD，BAED，ADAB，BADB，AEDADB，CED180AED，ADC180ADB，CEDADC，CC，ADCDEC，CECD，CDAC，CEAC，CEAEBD，CD3CEBD，AC9CEBD，BCBD+BDBD，AC：BC27：17；当ACAD时，如图，在AB上取一点E，使AEAC，连接DE，同理可得，即，由上面计算可得，BCCD，AC3CD，AC：BC24：1717（1）证明：如图1中，ACEG，GACG，ABCD，C

29、EFACD，GCEF，ECFECG，ECFGCE；（2）证明：如图2中，连接OE，GFGE，GFEGEFAFH，OAOE，OAEOEA，AFH+FAH90，GEF+AEO90，GEO90，GEOE，EG是O的切线（3）解：如图3中，连接OC设O的半径为r在RtAHC中，tanACHtanG，AH3，HC4，在RtHOC中，OCr，OHr3，HC4，（r3）2+（4）2r2，r，GMAC，CAHM，OEMAHC，AHCMEO，EM18（1）解：菱形，正方形是勾股四边形（2）证明：如图中，连接BD，过点A作AEBD于E，过点C作CFBD于F四边形ABCD是勾股四边形，AB2+CD2AD2+BC2，

30、AE2+BE2+DF2+CF2AE2+DE2+CF2+BF2，BE2DE2BF2DF2，（BE+DE）（BEDE）（BF+DF）（BFDF），BEDEBFDF，BEBFDEDF，EFEF，EF0，点E与点F重合，ACBD（3）解：如图中，连接DG交AF于HDF 是切线，DFCD，ABOD，DFAB，D是AC的中点，F是BC的中点，四边形AGFD是勾股四边形，DGAF，AGDAOD45，AHG是等腰直角三角形，AHHG，CAHD90，DAHCAF，DAHFAC，设DHa，则AH2aHG，ADa，AF5a，HF3a，tanAFG（4）证明：如图中，设O的半径为r则OEr，ADr，DCr，BC2r，OB3r，BEr，BE2+CD2（r）2+（r）212r2，DE2+BC2（2r）2+（2r）212r2，BE2+CD2DE2+BC2，四边形DEBC是勾股四边形，BDEC，连接OP在RtDPE中，ODOE，OPODOE，点P在O上