河南省洛阳市2020届高考数学三模试卷(理科) (解析版).doc
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1、2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)一、选择题(共12小题).1设集合Ax|x-1x+20,集合Bx|52x+13,则集合AB()A3,2)B(2,1)CRD2已知直线l1:xsin+2y10,直线l2:xycos+30,若l1l2,则tan2()A-23B-43C25D453已知复数z满足|z|1,则|z1+3i|的最小值为()A2B1C3D24已知m,n为两条不同直线,为两个不同平面,则下列结论正确的为()A,m,则mBm,n,m,n,则Cmn,m,n,则 Dm,mn,则n5已知f(x)是偶函数,且在(0,+)上单调递增,则函数f(x)可以是()Af(x)x42x2Bf(x)=e
2、x+e-x2Cf(x)xsinxDf(x)=13x2+cosx6已知圆C:(xa)2+y24(a2)与直线xy+22-20相切,则圆C与直线xy40相交所得弦长为()A1B2C2D227已知函数f(x)sinx+cosx的导函数为g(x),则下列结论中错误的是()A函数f(x)与g(x)有相同的值域和周期B函数g(x)的零点都是函数f(x)的极值点C把函数f(x)的图象向左平移2个单位,就可以得到函数g(x)的图象D函数f(x)和g(x)在区间(-4,4 )上都是增函数8若某单位员工每月网购消费金额(单位:元)近似地服从正态分布N(1000,5002),现从该单位任选10名员工,记其中每月网购
3、消费金额恰在500元至2000元之间的人数为,则的数学期望为()参考数据:若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(X+)0.6827,P(2X+2)0.9545,P(3X+3)0.9973A2.718B6.827C8.186D9.5459(2x+1)(x+3x)5的展开式中x3系数为()A180B90C20D1010已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且b2asinB,则cosB+sinC的取值范围为()A(0,3B(1,3C(32,32)D(12,32)11设双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,P在双曲线E的右支上,
4、且PF1PF2,Q为线段PF1,与双曲线E左支的交点,若PQF230,则e2()A723B1+3C23-1D72312已知函数f(x)=3x-x3,x0xex+lnx+1x,x0,若关于x的方程f2(x)mf(x)10恰好有6个不相等的实根,则实数m的取值范围是()A(2,1e+1 )B(2,0 )( 0,1e+1 )C(-32,2e+1e2+e)D( -32,0 )( 0,2e+1e2+e)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13已知向量a,b满足:a=(1,3),|b|=2,(a-b)b,则向量a,b的夹角为 14已知非负实数x,y满足x-y-102x+y-40,则z=y+1
5、x+1的最大值是 15已知直线l经过抛物线C:y24x的焦点F,l与C交于A,B两点,其中点A在第四象限,若AF=2FB,则直线l的斜率为 16如图,在三棱锥ABCD中,ABCD2,ACBD=3,BCAD=5,E,F分别是AB,CD的中点若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥与棱AC,AD,BD,BC分别交于M,N,P,Q四点,则四边形MNPQ面积的最大值为 三、解答题:本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an的首项a11,其前n项和为Sn,且满足Sn+12Sn+n+1(1)求证:数列an+1是等比数列;(2)令bnn(an+1),求数列bn
6、的前n项和Tn18如图长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形,AB=2,AA13,E为棱AA1上一点,AE1,F为棱B1C1上任意一点C(1)求证:BEEF;(2)求二面角CB1EC1的余弦值19已知平面内动点P与点A(2,0),B(2,0)连线的斜率之积为-34(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)过点F(1,0)的直线与曲线E交于P,Q两点,直线AP,AQ与直线x4分别交于M,N两点求证:以MN为直径的圆恒过定点20某地为鼓励群众参与“全民读书活动”,增加参与读书的趣味性主办方设计这样一个小游戏:参与者抛掷一枚质地均匀的骰子(正方体,六个面上分别标注1,2,3,4,5,6六个数
7、字)若朝上的点数为偶数则继续抛掷一次若朝上的点数为奇数,则停止游戏,照这样的规则进行,最多允许抛掷3次每位参与者只能参加一次游戏(1)求游戏结束时朝上点数之和为5的概率;(2)参与者可以选择两种方案:方案一:游戏结束时,若朝上的点数之和为偶数,奖励3本不同的畅销书;若朝上的点数之和为奇数,奖励1本畅销书方案二:游戏结束时,最后一次朝上的点数为偶数,奖励5本不同的畅销书,否则,无奖励试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励?并说明判断的理由21设函数f(x)lnx,g(x)a(x1)(1)若对任意x(0,+),f(x)g(x)恒成立,求a的取值集合;(2)设xnn2(nN*),点An(x
8、n,f(xn),点An+1(xn+1,f(xn+1),直线AnAn+1的斜率为kn,求证:k1+k2+kn2(nN*)请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修4-4:坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为x=3cosy=sin(为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin(+6)=12(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)已知点A(2,1),点B为曲线C上的动点,求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值并求此时点B的坐标
9、选修4-5:不等式选讲23已知a,b,c是正实数,且a+b+2c1(1)求1a+1b+1c的最小值;(2)求证:a2+b2+c216参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合Ax|x-1x+20,集合Bx|52x+13,则集合AB()A3,2)B(2,1)CRD【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可解:Ax|x2,或x1,Bx|3x1,AB3,2)故选:A2已知直线l1:xsin+2y10,直线l2:xycos+30,若l1l2,则tan2()A-23B-43C25D45【分析】根据两直线垂直求出sin与
10、cos的关系,计算tan的值,再求tan2的值解:直线l1:xsin+2y10,直线l2:xycos+30,若l1l2,则sin2cos0,即sin2cos,所以tan2,所以tan2=2tan1-tan2=221-22=-43故选:B3已知复数z满足|z|1,则|z1+3i|的最小值为()A2B1C3D2【分析】满足|z|1的复数z,在以原点为圆心,以1为半径的圆上,|z1+3i|表示复数z在复平面内对应的点Z到点A(1,-3)的距离,再利用数形结合法即可求出结果解:满足|z|1的复数z,在以原点为圆心,以1为半径的圆上,|z1+3i|表示复数z在复平面内对应的点Z到点A(1,-3)的距离,
11、如图所示:由OA2,利用点圆的位置关系,|z1+3i|的最小值为211,故选:B4已知m,n为两条不同直线,为两个不同平面,则下列结论正确的为()A,m,则mBm,n,m,n,则Cmn,m,n,则 Dm,mn,则n【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,逐一核对四个选项得答案解:对于A,若,m,则m或m,故A错误;对于B,若m,n,m,n,则或与相交,只有加上条件m与n相交时,才有结论,故B错误;对于C,若mn,m,n,则 或与相交,故C错误;对于D,若m,mn,则n,又,则n,故D正确故选:D5已知f(x)是偶函数,且在(0,+)上单调递增,则函数f(x)可以是()Af(x)x42
12、x2Bf(x)=ex+e-x2Cf(x)xsinxDf(x)=13x2+cosx【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与在区间(0,+)上的单调性,综合即可得答案解:根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)x42x2,其定义域为R,有f(x)x42x2f(x),是偶函数,其导数f(x)4x34x4x(x21),在区间(0,1)上,f(x)0,f(x)为减函数,不符合题意;对于B,f(x)=ex+e-x2,其定义域为R,有f(x)=ex+e-x2=f(x),是偶函数,其导数f(x)=ex-e-x2,在区间(0,+)上,f(x)0,f(x)为增函数,符合题意;对于C,f(x)xsinx,其定
13、义域为R,有f(x)(x)sin(x)xsinxf(x),是偶函数,有f(2)=20,但f(32)=-320,在(0,+)上不是增函数,不符合题意;对于D,(x)=13x2+cosx,其定义域为R,有f(x)=13(x)2+cos(x)=13x2+cosxf(x),是偶函数,有f(0)1,f(3)=227+121,在(0,+)上不是增函数,不符合题意;故选:B6已知圆C:(xa)2+y24(a2)与直线xy+22-20相切,则圆C与直线xy40相交所得弦长为()A1B2C2D22【分析】根据题意,分析圆C的半径,由直线与圆的位置关系可得圆心C到直线xy+22-20的距离,由平行线间的公式计算直
14、线xy+22-20与xy40之间的距离,分析可得圆心C到直线xy40的距离,由直线与圆的位置关系分析可得答案解:根据题意,圆C:(xa)2+y24的半径r2,圆C:(xa)2+y24(a2)与直线xy+22-20相切,则圆心C到直线xy+22-20的距离为2,直线xy+22-20与xy40平行,两条平行直线的距离d=|22-2-(-4)|1+1=2+2,又由圆C与直线xy40相交,则圆心C到直线xy40的距离d=2,则圆C与直线xy40相交所得弦长为24-2=22;故选:D7已知函数f(x)sinx+cosx的导函数为g(x),则下列结论中错误的是()A函数f(x)与g(x)有相同的值域和周期
15、B函数g(x)的零点都是函数f(x)的极值点C把函数f(x)的图象向左平移2个单位,就可以得到函数g(x)的图象D函数f(x)和g(x)在区间(-4,4 )上都是增函数【分析】求出函数f(x)的导函数g(x),再分别判断f(x)、g(x)的值域、极值点和零点,图象平移和单调性问题解:函数f(x)sinx+cosx,g(x)f(x)cosxsinx,对于A,f(x)=2sin(x+4),g(x)=-2sin(x-4),两函数的值域相同,都是-2,2,周期也相同;A正确;对于B,若x0是函数g(x)的零点,则x0-4=k,kZ;解得x0k+4,kZ;,f(x0)=2sin(k+4+4)2,x0也是
16、函数f(x)的极值点,B正确;对于C,把函数f(x)的图象向左平移2个单位,得f(x+2)sin(x+2)+cos(x+2)cosxsinxg(x),C正确;对于D,x(-4,4)时,x+4(0,2),f(x)是单调增函数,x-4(-2,0),g(x)是单调递减函数,D错误故选:D8若某单位员工每月网购消费金额(单位:元)近似地服从正态分布N(1000,5002),现从该单位任选10名员工,记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为,则的数学期望为()参考数据:若随机变量X服从正态分布N(,2),则P(X+)0.6827,P(2X+2)0.9545,P(3X+3)0.9973A
17、2.718B6.827C8.186D9.545【分析】先根据已知数据,求出P(500X1500)和P(0X2000),然后利用正态分布曲线的特点得P(500X2000)P(500X1500)+P(1500X2000)0.8186,而随机变量B(10,0.8186),最后由二项分布的数学期望求解即可解:XN(1000,5002),P(500X1500)0.6827,P(0X2000)0.9545,P(500X2000)P(500X1500)+P(1500X2000)0.6827+0.9545-0.68272=0.8186,而随机变量B(10,0.8186),E()100.81868.186故选:
18、C9(2x+1)(x+3x)5的展开式中x3系数为()A180B90C20D10【分析】求出(x+3x)5展开式的含x2与x3项的系数,再计算(2x+1)(x+3x)5的展开式中x3的系数解:(x+3x)5展开式的通项公式为Tr+1=5rxr(3x)5r35r5rx3r-52;令3r-52=2,解得r3;令3r-52=3,解得r不存在;故(2x+1)(x+3x)5的展开式中x3系数为:253353180故选:A10已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且b2asinB,则cosB+sinC的取值范围为()A(0,3B(1,3C(32,32)D(12,32)【分析】由已知结合
19、正弦定理进行化简可求sinA,进而可求A,结合锐角三角的条件可求B的范围,然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解解:因为b2asinB,由正弦定理可得,sinB2sinAsinB,因为sinB0,故sinA=12,因为A为锐角,故A=6,由题意可得,0B12056-B12,解可得,13B12,则cosB+sinCcosB+sin(56-B)=32sinB+32cosB =3sin(B+13)(32,32)故选:C11设双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e,P在双曲线E的右支上,且PF1PF2,Q为线段PF1,与双曲线
20、E左支的交点,若PQF230,则e2()A723B1+3C23-1D723【分析】设PF2m,根据条件得PQ=3m,QF22m,结合双曲线性质PF1PF22a,QF2QF12a,进行整理可得m2(3-1)a,再由勾股定理PF12+PF22F1F22,得到(723)a2c2即可解:因为PF1PF2,PQF230,所以PQ=3PF2,QF22PF2,不妨设PF2m,则PQ=3m,QF22m,根据双曲线定义:PF1PF22a,QF2QF12a,由PF1PF22a得PF12a+m,由QF2QF12a,得QF12m2a,又因为QF1PF1PQ,即有2m2a2a+m-3m,所以m2(3-1)a,在RtPF
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