高一数学：2.2.2圆的一般方程-ppt课件.ppt

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1、 知识回顾知识回顾：(1) 圆的标准方程圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：特征：直接看出直接看出圆心圆心与与半径半径 x2 y 2DxEyF0 把把圆的标准方程圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得- -22222202= =- -+ + +- -+ +rbabyaxyx由于由于a,b,r均为常数均为常数FrbaEbDa= =- -+ += =- -= =- -222,2,2令令结论：结论：任何一个

2、圆方程可以写成下面形式：任何一个圆方程可以写成下面形式：结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：任何一个圆方程可以写成下面形式： x2 y 2DxEyF0问：是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示方程表示 的曲线都是圆呢？的曲线都是圆呢？请举出例子请举出例子例如例如方程方程 表示图形表示图形方程方程 表示图形表示图形222410 xyxy+-+=+-+=222460 xyxy+-+=+-+=22(1)(2)4xy-+=-+=22(1)(2)1xy-+-= -+-= -以以(1, -2)为圆心为圆心,2为半径的圆为半径的圆.不表示任何图形不表示任何图形.探究

3、探究:方程方程 在什在什么条件下表示圆么条件下表示圆?220 xyDxEyF+=+=配方可得：配方可得：（3）当）当D2+E2-4F0时，方程无实数解，所以时，方程无实数解，所以 不表示任何图形。不表示任何图形。把方程：把方程：x2 y 2DxEyF0（1）当）当D2+E2-4F0时，表示以（时，表示以（ ） 为圆心，以为圆心，以( ) 为半径的圆为半径的圆2,2ED- - -FED42122- -+ +（2）当）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解时，方程只有一组解X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（，表示一个点（ ）2,2ED- - -所以形如所以形如x x2 2 y y 2 2D

4、xDxEyEyF F0 0 （D D2 2+E+E2 24F04F0）可表示圆的方程可表示圆的方程22224()()224DEDEFxy+-+=圆的方程圆的方程一般方程一般方程:标准方程标准方程:222()()xaybr-+-=-+-=圆心圆心:半径半径:( , )a br(0)r 220 xyDxEyF+=+=22(40)DEF+-+-圆心圆心:半径半径:(,)22DE-22142DEF+-+-2222222()0 xyaxbyabr+-+-=+-+-=22224()()224DEDEFxy+-+-+=+=展开展开配方配方圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：（1）a=

5、-D/2，b=-E/2，r= FED42122- -+ +没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；1、A C 0 圆的一般方程：圆的一般方程：二元二次方程：二元二次方程：A x2 +BxyCy 2DxEyF0的关系的关系:x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2、B=03、 D2E24AF0 二元二次方程二元二次方程表示圆的一般方程表示圆的一般方程练习练习1:判别下列方程表示什么图形判别下列方程表示什么图形

6、,如果是圆如果是圆,就就找出圆心和半径找出圆心和半径.221) 2410 xyxy+-+=+-+=223) 60 xyx+-=+-=22436DEF+-=+-=6, 0DEF= -= -=半径半径:圆心圆心:(3,0)3r = =2,4,1DEF= -= -=22416DEF+-=+-=半径半径:圆心圆心:(1, 2)- -2r = =（1）（2）2226) 20 xyaxb+-=+-=224) 20 (0)xybyb+=+=2 ,0Eb DF=22244DEFb+-=+-=半径半径:圆心圆心:(0,)b- -|b22 ,0,Da EFb= -= -222244()DEFab+-=+-=+22

7、0ab+=+=220ab+当当 时时,当当 时时,半径半径:圆心圆心:(,0)a- -22ab+ +表示点表示点:(0,0)（3）（4）练习练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程将下列圆的标准方程化成一般方程:22(1)(2)3xy-+-=-+-=222420 xyxy+-+=+-+=22(2)(1)7xy+=+=224220 xyxy+-=+-=练习练习3.将下列圆的一般方程化成标准方程将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心并找出圆心坐标及半径坐标及半径221) 2420 xyxy+-+=+-+=22(1)(2)3xy-+=-+= 22224)240 xyaxbyab+-+=+-+=22

8、22()(2 )23xaybab+-=+-=+例例1:求过点求过点 的圆的的圆的方程方程,并求出这个圆的半径长和圆心并求出这个圆的半径长和圆心.12(0,0),(1,1),(4,2)OMM解解:设圆的方程为设圆的方程为:220 xyDxEyF+=+=因为因为 都在圆上都在圆上,所以其坐标都满足圆的所以其坐标都满足圆的方程方程,即即12,O MM02042200FDEFDEF= = +=+= +=+= 860DEF= -= - = = = 所以所以,圆的方程为圆的方程为:22860 xyxy+-+=+-+=求圆方程的步骤求圆方程的步骤:1.根据题意根据题意,选择标准方程或一般方程选择标准方程或一

9、般方程.若已知条件与圆心或半径有关若已知条件与圆心或半径有关,通通常设为标准方程常设为标准方程;若已知圆经过两点或三点若已知圆经过两点或三点,通常设通常设为一般方程为一般方程;2.根据条件列出有关根据条件列出有关 a, b, r, 或或 D, E, F的方程组的方程组.3.解出解出 a, b, r 或或 D, E, F 代入标准方程或代入标准方程或一般方程一般方程.(待定系数法待定系数法)思考：平面直角坐标系中有思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点四点,这四点能否在同一圆上这四点能否在同一圆上?分析分析:常用的判别常用的判别A,B,C,D四点共

10、圆的方法有四点共圆的方法有A,B,C三点确定的圆的方程和三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定三点确定的圆的方程为同一方程的圆的方程为同一方程求出求出A,B,C三点确定的圆的方程三点确定的圆的方程,验证验证D点的坐点的坐标满足圆的方程标满足圆的方程.平面上不共线的三点可以确定一个圆平面上不共线的三点可以确定一个圆求下列各圆的方程求下列各圆的方程(1)圆心在圆心在C(8, -3),且过点且过点A(5,1)(2)过过A(-1, 5), B(5, 5), C(6,-2)三点三点.(一般方程一般方程)(标准方程标准方程)222(8)(3)xyr-+=-+=代入代入A点坐标点坐标225r = =22(8

11、)(3)25xy-+=-+=220 xyDxEyF+=+=26505055040620DEFDEFDEF-+=-+= +=+= +-+=+-+= 4,2,20DEF= -= -= -= -= -= -2242200 xyxy+-=+-=22(2)(1)25xy-+-=-+-=例例2 2：已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0O(0，0)0)， A(3A(3，0)0)距离的比为距离的比为 的点的轨迹，的点的轨迹， 求此曲线的方程，并画出曲线。求此曲线的方程，并画出曲线。12直接法直接法yx .O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)22230 xyx+-=例例3:已知线段已知线段AB

12、的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端端点点A在圆在圆 上运动上运动,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.22(1)4xy+=+=解解:设设M的坐标为的坐标为(x, y),点点A的坐标是的坐标是 .00(,)xy由于点由于点B的坐标是的坐标是(4,3),且且M是线段是线段AB的中点的中点,所以所以042xx+ += =032yy+ += =即即:002423xxyy=-=- =-=- 因为点因为点A在圆上运动在圆上运动,所以所以A的坐标满足圆的的坐标满足圆的方程方程,即即:2200(1)4xy+=+=22(241)(23)4xy-+-=-+-=2233()()122xy-

13、+-=-+-=点点M的轨迹方程的轨迹方程求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法:若生成轨迹的动点若生成轨迹的动点 随另一动点随另一动点 的变动而有规律地变动的变动而有规律地变动,可把可把Q点的坐标点的坐标 分别用动点分别用动点P的坐标的坐标x, y 表示出来表示出来,代入到代入到Q点点满足的已有的等式满足的已有的等式,得到动点得到动点P的轨迹方程的轨迹方程 00(,)Q xy( , )P x y00,xy关键关键:列出列出P,Q两点的关系式两点的关系式.求动点轨迹的步骤求动点轨迹的步骤:1.建立坐标系建立坐标系,设动点坐标设动点坐标M(x, y);2.列出动点列出动点M满足的等式并化简满足的等式并化

14、简;3.说明轨迹的形状说明轨迹的形状. 课堂小结若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?-+=+0422022FEDFEyDxyx 配方展开(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解法求解. 本节课用的数学方法和数学思想方法:数学方法数学方法:数学思想方法数学思想方法:(求圆心和半径求圆心和半径). (原则是不重复原则是不重复,不遗漏不遗漏)配方法配方法 () 问题转化和分类讨论的思想问题转化和分类讨论的思想 (待定系数法待定系数法)()方程的思想方程的思想()数形结合的思想数形结合的思想