2019-2020学年福建省福州市八县一中高一下学期期中数学试卷 （解析版）.doc

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1、2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1在ABC中，已知ac=cosCcosA，则ABC为（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰或直角三角形2以下结论，正确的是（）Ayx+4x4Bex+1ex2Cx（1x）（x+1-x2）2=14Dsinx+2sinx（0x）的最小值是223已知0a1b，且M=11+a-b1+b，N=a1+a-11+b，则M，N的大小关系是（）AMNBMNCMND不能确定4已知等比数列an的前n项和为Sn，若a2+a42（a1+a3），且a1a3a5512，则S10（）A1022B2046C2048D40945不等式x+5(x-1)2

2、2的解集是（）A-3，12B-12，3C12，1)(1，3D-12，1)(1，36在等差数列an中，若a5a6-1，且它的前n项和Sn有最大值，那么满足Sn0的n的最大值是（）A1B5C9D107已知正数a，b满足1a+9b=1，若不等式a+bx2+4x+18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A3，+）B（，3C（，6D6，+）8瑞云塔是福清著名的历史文化古迹如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A，B（与塔底D同一水平面）处进行测量，在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45，30，且A，B两点相距91m，由点D看A，B的张角为150，则瑞云塔的高度CD（）A91mB13

3、21mC137mD913m9已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosCccosB，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为（）A273B5C73D2510若首项为23的数列an满足2（2n+1）anan+1+an+1an，则a1+a2+a3+a2020（）A80804041B40784040C40404041D4039404011如图，设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，A、B、C成等差数列，D是ABC外一点，DC1，DA3，下列说法中，正确的是（）AB=3BABC是等边三角形C若A、B、C、D四点共圆，则AC=13D四边

4、形ABCD面积无最大值12意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列an满足：a11，a21，anan1+an2（n3，nN*）若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论正确的是（）ASn+1an+12+an+1anBa1+a2+a3+anan+21Ca1+a3+a5+a2n1a2n1D4（cncn1）an2an+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置）13在ABC中

5、，边b=7，c=3，角B=6，则边a 14已知数列an满足2an+1an+1，且a12，则a7的值是 15在ABC中，AC2，AB1，点D为BC边上的点，AD是BAC的角平分线，则BD：DC ，AD的取值范围是 16若正整数a，b是函数f（x）x2px+q的两个不同的零点，且a，b，r这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，若p+q26，则r的值等于 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知关于x的一元二次不等式x2（m+3）x+3m0（1）若m1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数m的取值范围18在等差

6、数列an中，已知a23，S416（1）求an的通项公式；（2）令bnan+2an，求bn的前n项和Tn19ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=77ac，sin2AsinA（1）求A及a；（2）若bc2，求BC边上的高20三福之地福清为美化城市面貌、提升居住品质，在旧城改造中，将城区多个街头空地改造成家门口的“口袋公园”，成为了市民休闲娱乐的好去处如图，某社区拟在小区的闲置地中规划一个面积为200平方米的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2米宽的绿化，绿化造价为200元/平方米，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元

7、/平方米设矩形的长为x米（1）试将总造价y（元）表示为长度x的函数；（2）当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价21在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsinA=acos(B-6)（1）求角B的大小；（2）设点D是AC的中点，若BD=3，求a+c的取值范围22已知各项是正数的数列an的前n项和为Sn若Sn+Sn1=an2+23（nN*，n2），且a12（1）求数列an的通项公式；（2）若Sn2n+1对任意nN*恒成立，求实数的取值范围参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.其中，1-10为单选题，11、12为多选题，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，

8、有错选的得0分）1在ABC中，已知ac=cosCcosA，则ABC为（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰或直角三角形【分析】由余弦定理化简已知等式可得b2（a2c2）（a2+c2）（a2c2），可得b2a2+c2，或ac，即可判断三角形的形状解：ac=cosCcosA，可得acosAccosC，由余弦定理可得ab2+c2-a22bc=ca2+b2-c22ab，整理可得：b2（a2c2）（a2+c2）（a2c2），可得b2a2+c2，或a2c20，b2a2+c2，或ac，ABC为等腰或直角三角形故选：D2以下结论，正确的是（）Ayx+4x4Bex+1ex2Cx（1x）（x+1-x2）2

9、=14Dsinx+2sinx（0x）的最小值是22【分析】由已知结合基本不等式的各项为正及其等号成立的条件进行判断即可解：A：当x0时，不满足题意；B：ex+1ex2ex1ex=2，不符合题意；C：由基本不等式可得，x（1x）(x+1-x2)2=14，当且仅当x1x即x=12时取等号，故C符合题意；D：当0x时，0sinx1，则sinx+2sinx22，等号取不到，故D不符合题意故选：C3已知0a1b，且M=11+a-b1+b，N=a1+a-11+b，则M，N的大小关系是（）AMNBMNCMND不能确定【分析】直接利用代数式的运算的应用和数的大小比较的应用求出结果解：由于0a1b，所以0ab1

10、即1ab0所以MN=11+a-b1+b-a1+a+11+b=1-aa+1+1-b1+b=(1-a)(1+b)+(1+a)(1-b)(1+a)(1+b)=2(1-ab)(1+a)(1+b)0所以MN，故选：A4已知等比数列an的前n项和为Sn，若a2+a42（a1+a3），且a1a3a5512，则S10（）A1022B2046C2048D4094【分析】由已知结合等比数列的性质可求a3，然后结合等比数列的通项公式可求公比q，代入求和公式即可求解解：由等比数列的性质可知，a1a3a5=a33=512，所以a38，因为a2+a42（a1+a3），所以8q+8q=2(8q2+8)，整理可得，q3+q2

11、（1+q2）所以q2，a12，S10=2(1-210)1-2=2046故选：B5不等式x+5(x-1)22的解集是（）A-3，12B-12，3C12，1)(1，3D-12，1)(1，3【分析】本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解解：本小题主要考查分式不等式的解法易知x1排除B；由x0符合可排除C；由x3排除A，故选D也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解故选：D6在等差数列an中，若a5a6-1，且它的前n项和Sn有最大值，那么满足Sn0的n的最大值是（）A1B5C9D10【分析】在等差数列an中，若a5a6-1，且它的前n项和Sn有最大值，可得a50，a60，a5+a60，利用求

12、和公式及其性质即可判断出结论解：在等差数列an中，若a5a6-1，且它的前n项和Sn有最大值，a50，a60，a5+a60，S99a50，S10=10(a1+a10)2=5（a5+a6）0，那么满足Sn0的n的最大值是9故选：C7已知正数a，b满足1a+9b=1，若不等式a+bx2+4x+18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A3，+）B（，3C（，6D6，+）【分析】利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为mx2+4x+2对任意实数x恒成立，再利用配方法求出x2+4x+2的最大值得答案解：a0，b0，且1a+9b=1，a+b（a+b）（1a+9b）10+ba+9ab10+2

13、ba9ab=16当且仅当3ab，即a4，b12时，（a+b）min16若不等式a+bx2+4x+18m对任意实数x恒成立，则x2+4x+18m16，即mx2+4x+2对任意实数x恒成立，x2+4x+2（x2）2+66，m6实数m的取值范围是6，+）故选：D8瑞云塔是福清著名的历史文化古迹如图，一研究性小组同学为了估测塔的高度，在塔底D和A，B（与塔底D同一水平面）处进行测量，在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45，30，且A，B两点相距91m，由点D看A，B的张角为150，则瑞云塔的高度CD（）A91mB1321mC137mD913m【分析】设CDh，用h表示出AD，BD，在ABD中根据余弦定

14、理列方程计算h解：由题意可知CD平面ABD，DAC45，DBC30，ABD150，AB91m，设CDh，则ADCDh，BD=3CD=3h，在ABD中，由余弦定理可得：AB2AD2+BD22ADBDcosADB，即912h2+3h2+3h2，解得：h137m故选：C9已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosCccosB，则1tanA+1tanB+1tanC的最小值为（）A273B5C73D25【分析】因为2bcosCccosB，由正弦定理得2tanBtanC，又因为A+B+C，所以tanAtan（B+C）tan（B+C）=-tanB+tanC1-tanBtanC=-3

15、tanB1-2tan2B，所以1tanA+1tanB+1tanC=1-2tan2B-3tanB+1tanB+12tanB，化简得23tanB+76tanB由基本不等式即可得出答案解：因为2bcosCccosB，所以2sinBcosCsinccosB，即2tanBtanC，又因为A+B+C，所以tanAtan（B+C）tan（B+C）=-tanB+tanC1-tanBtanC=-3tanB1-2tan2B，所以1tanA+1tanB+1tanC=1-2tan2B-3tanB+1tanB+12tanB，=2tan2B-13tanB+32tanB=9+4tan2B-26tanB=4tan2B+76t

16、anB，=23tanB+76tanB223tanB76tanB=273（当且仅当23tanB=76tanB，即tanB=72，取“”）故选：A10若首项为23的数列an满足2（2n+1）anan+1+an+1an，则a1+a2+a3+a2020（）A80804041B40784040C40404041D40394040【分析】先根据2（2n+1）anan+1+an+1an，推得1an+1-1an=4n+2，再令n取n1可得新等式，两等式再结合叠加法求出数列an的通项，即可求解结论解：依题意得an0，由2（2n+1）anan+1anan+1，可得1an+1-1an=4n+2，则1an-1an-1

17、=4n-2，1an-1-1an-2=4n-6，1a2-1a1=6，以上式子左右两边分别相加可得1an-1a1=(6+4n-2)(n-1)2，即1an=2n2-12=(2n-1)(2n+1)2，即an=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1，故a1+a2+a3+a2020=1-13+13-15+14039-14041=1-14041=40404041，故选：C11如图，设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，A、B、C成等差数列，D是ABC外一点，DC1，DA3，下列说法中，正确的是（）AB=3BABC是等边三角形C若A、B、C、D四点共圆，则AC=

18、13D四边形ABCD面积无最大值【分析】对于A，因为A、B、C成等差数列，所以3B，B=3，故A正确；对于B，因为a、b、c成等比数列，利用b2ac及余弦定理计算可知aca2+c2ac，进而可知AC，故B正确；对于C，若A、B、C、D四点共圆，则D=23，根据余弦定理可得AC2AD2+CD22ADCDcosD，代入计算可得AC=13，故C正确；对于D，等边ABC中，设ACx，x0，在ADC中，由余弦定理可得：x2106cosD，利用四边形面积表达式得到最值，故D错误解：对于A，因为A、B、C成等差数列，所以A+C2B，则A+B+C3B解得B=3，故A正确；对于B，因为a、b、c成等比数列，则b

19、2ac，由余弦定理可得b2a2+c22accos3，带入得aca2+c2ac，即（ac）20，所以AC，故B正确；对于C，若A、B、C、D四点共圆，则A+D，故D=23，根据余弦定理可得AC2AD2+CD22ADCDcosD，代入计算可得AC29+1+612=13，解得AC=13，故C正确；对于D，等边ABC中，设ACx，x0，在ADC中，由余弦定理可得：AC2AD2+CD22ADCDcosD，由于AD3，DC1，代入上式可得：x2106cosD，所以S四边形ABCDSABC+SACD=12xxsin3+123sinD=34x2+32sinD=34（106cosD）+32sinD3sin（D-

20、3）+532，所以四边形ABCD面积的最大值为532+3，故D错误故选：ABC12意大利数学家列昂纳多斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列an满足：a11，a21，anan1+an2（n3，nN*）若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为Sn，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为cn，则下列结论正确的是（）ASn+1an+12+an+1anBa1+a2+a3+anan+21Ca1+a3+a5+a2n1a2n1D4（cncn1）an2an+1【分析】由题意，a11，a32，a4

21、3，a55，a68，a713，代入验证C不成立；由数学归纳法可证明A，B正确；由扇形的面积公式和平方差公式，结合递推式，可得D正确解：由题意，a11，a32，a43，a55，a68，a713，a1+a33a41，a1+a3+a58a61，故C错误；a11，a21，anan1+an2（n3，nN*），对于B，a1+a2+a3+anan+21，当n1时，a1a31成立；假设nk时，a1+a2+a3+akak+21，当nk+1时，等式左边a1+a2+a3+ak+ak+1ak+21+ak+1ak+31，则nk+1，等式也成立，故B正确；对于A，Sn+1an+12+an+1an，当n1时，S21+12，

22、a22+a2a12，等式成立；假设nk时，Sk+1ak+12+ak+1ak，nk+1时，Sk+2Sk+1+ak+22ak+12+ak+1ak+ak+22ak+22+ak+1（ak+ak+1）ak+22+ak+2ak+1，则nk+1，等式也成立，故A正确；对于D，cn=4an2，4（cncn1）44（an2an12）（an+an1）（an+an1）an2an+1，故D正确故选：ABD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置）13在ABC中，边b=7，c=3，角B=6，则边a4【分析】根据余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac，代入解出a即可解：由余弦定理

23、可得cosB=a2+c2-b22ac，整理得：a23a40，解得a1（舍）或a4，故答案为：414已知数列an满足2an+1an+1，且a12，则a7的值是6564【分析】利用已知条件推出数列an1是等比数列，得到数列的通项公式，然后求解即可解：数列an满足2an+1an+1，且a12，可得2an+12an1，所以数列an1是等比数列，首项为：1，公比为12，所以an11(12)n-1，即an1+12n-1，所以a71+126=6564故答案为：656415在ABC中，AC2，AB1，点D为BC边上的点，AD是BAC的角平分线，则BD：DC1：2，AD的取值范围是（0，43）【分析】设BADC

24、AD，（0，2），由正弦定理可得：ABsinADB=BDsin，ACsinADC=CDsin，进而可得BD：DC；根据SABCSADB+SADC，可得AD=2sin23sin=43cos，由范围即可求出AD取值范围解：设BADCAD，（0，2），在ABD中由正弦定理可得：ABsinADB=BDsin，在ADC中由正弦定理可得：ACsinADC=CDsin，因为sinADBsinADC，所以将上述两式相除可得ABAC=BDCD=12；因为SABCSADB+SADC，即12ABADsin+12ACADsin=12ABACsin2，所以AD=2sin23sin=43cos，因为（0，2），故0AD4

25、3，故答案为：1：2；（0，43）16若正整数a，b是函数f（x）x2px+q的两个不同的零点，且a，b，r这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，若p+q26，则r的值等于4【分析】由题意可得a，b是方程x2px+q0的两个不同的根，运用韦达定理和因式分解，求得a2，b8，求得r4或4，由等差数列的中项性质可判断r的值解：因为正整数a，b是函数f（x）x2px+q的两个不同的零点，所以正整数a，b是方程x2px+q0的两个不同的根，所以a+bp，abq，p+q26，即为a+b+ab26，即有a+b+ab+127，可得（a+1）（b+1）2712739，由于a，b为正整数，可

26、设a+13，b+19，则a2，b8，由题意可得当a，r，b成等比数列时，r2ab16，即r4或4，若r4，2，4，8这三个数不可能构成等差数列；当r4时，可得4，2，8构成等差数列；故答案为：4三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知关于x的一元二次不等式x2（m+3）x+3m0（1）若m1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集中恰有三个整数，求实数m的取值范围【分析】（1）m1时不等式为x22x30，求出解集即可；（2）不等式化为（xm）（x3）0，讨论m的取值范围，求出不等式的解集，从而求出符合题意的m取值范围解：（1）若m1，则不等式为x2

27、2x30，即（x+1）（x3）0；解得1x3，所以不等式的解集为x|1x3（2）不等式x2（m+3）x+3m0，即为（xm）（x3）0；当m3时，原不等式解集为（m，3），则解集中的三个整数分别为0、1，2，此时1m0；当m3时，原不等式解集为空集，不符合题意舍去；当m3时，原不等式解集为（3，m），则解集中的三个整数分别为4、5，6，此时6m7；综上所述，实数m的取值范围是1，0）（6，718在等差数列an中，已知a23，S416（1）求an的通项公式；（2）令bnan+2an，求bn的前n项和Tn【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组，解出首项和公差，进一步求出数列的通项公式（2）利用（

28、1）的应用，进一步利用分组法的应用求出数列的和解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，已知a23，S416则：a2=a1+d=3S4=4a1+6d=16，解得a1=1d=2，an1+（n1）22n1（2）由（I）得bn=(2n-1)+22n-1，则：Tnb1+b2+b3+bn，（1+3+2n1）+（21+23+22n1），=n(1+2n-1)2+2(4n-1)4-1，=n2+2(4n-1)3 19ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=77ac，sin2AsinA（1）求A及a；（2）若bc2，求BC边上的高【分析】（1）利用正弦定理，结合A+BC，求出a

29、，再求出角A；（2）利用余弦定理求出b，c，再用正弦定理求出sinC，由hbsinC求出即可解：（1）acosB+bcosA=77ac，由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=77asinC，sin(A+B)=77asinC，又A+BC，sinC=77asinC，由sinC0，a=7；sin2AsinA，2sinAcosAsinA，由sinA0，cosA=12，又A（0，），A=3；（2）由余弦定理得a2b2+c22bccosA，又a=7，A=3，b2+c2bc7，又bc+2，代入b2+c2bc7，得c2+2c30，解得c1或3（舍去），b3，asinA=csinC，sinC=csin

30、Aa=2114，设BC边上的高为h，h=bsinC=3211420三福之地福清为美化城市面貌、提升居住品质，在旧城改造中，将城区多个街头空地改造成家门口的“口袋公园”，成为了市民休闲娱乐的好去处如图，某社区拟在小区的闲置地中规划一个面积为200平方米的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2米宽的绿化，绿化造价为200元/平方米，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/平方米设矩形的长为x米（1）试将总造价y（元）表示为长度x的函数；（2）当x取何值时，总造价最低，并求出最低总造价【分析】（1）由矩形的长为x（m），则矩形的宽为200x，然后列出函数的解析

31、式（2）利用基本不等式y18400+4002x200x=18400+80002，即可求解函数的最值解：（1）由矩形的长为x米，则宽为200x米，则中间区域的长为（x4）米，宽为（200x-4）米，则定义域为x（4，50），故y100（x4）（200x-4）+200200（x4）（200x-4）整理得y18400+400（x+200x），x（4，50），（2）因为y18400+400（x+200x）18400+4002x200x=18400+80002；当且仅当x=200x，即x102（4，50）取等号，答：当102米时，总造价最低为18400+80002元21在ABC中，内角A，B，C的对边分

32、别为a，b，c，bsinA=acos(B-6)（1）求角B的大小；（2）设点D是AC的中点，若BD=3，求a+c的取值范围【分析】（1）在ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，可得bsinAasinB，再结合题目条件可求出B（2）在BAE中，由余弦定理可得a，c等量关系，再利用基本不等式可求出a+c的最大值，然后利用三角形两边之和大于第三边得到a+c的取值范围解：（1）在ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，可得bsinAasinB，又由bsinA=acos(B-6)，得asinB=acos(B-6)，即sinB=cos(B-6)，可得tanB=3，又因为0B，可得B=3 （2）如

33、图，延长BD到E，满足DEBD，连接AE、CE，则ABCE为平行四边形，且BE23，BAE=23，ABc，AEBCa，在BAE中，由余弦定理得：(23)2=a2+c2-2accos23，即a2+c2+ac12，可变形为：（a+c）2ac12，即ac（a+c）212由基本不等式得：ac=(a+c)2-12(a+c2)2即（a+c）216，得a+c4，（当且仅当ac2取等号） 又由AE+ABBE，有 a+c23，故a+c的取值范围是23a+c422已知各项是正数的数列an的前n项和为Sn若Sn+Sn1=an2+23（n一、选择题*，n2），且a12（1）求数列an的通项公式；（2）若Sn2n+1对

34、任意nN*恒成立，求实数的取值范围【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用恒成立问题的应用和函数的单调性的应用求出参数的取值范围解：（1）当n2时，由Sn+Sn-1=an2+23，则Sn+1+Sn=an+12+23，得an+1+an=13(an+12-an2)=13(an+1+an)(an+1-an)，又数列an各项是正数，得an+1an3，n2，当n2时，由知a1+a2+a1=a22+23，即a22-3a2-10=0，解得a25或a22（舍），所以a2a13，即数列an为等差数列，且首项a13，所以数列an的通项公式为an3n1（2）由知，an3n1，所以Sn=n(3n-1+2)2=3n2+n2，由题意可得Sn2n+1=3n2+n2n+2对一切nN*恒成立，记cn=3n2+n2n+2，则cn-1=3(n-1)2+(n-1)2n+1，n2，所以cn-cn-1=-3n2+11n-42n+2，n2，当n4时，cncn1，当n4时，c4=1316，且c3=1516，c2=78，c1=12，所以当n3时，cn=3n2+n2n+2取得最大值1516，所以实数的取值范围为1516，+)