沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的标准方程-椭圆的定义 教案.doc

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1、椭圆定义教学实录1、课题引入前面我们学习了圆，如果我们把圆压扁，它就变成了椭圆，请你举出生活中轮廓线是椭圆的一些例子.一些商标的轮廓线；油罐底部的轮廓线；卫星运行的轨道；圆柱形水杯倾斜时的水面的边界线；球在地面上的投影的边界线等等.下面我们通过研究球在地面上投影边界线来探究椭圆的性质.2、问题抽象当平行光线倾斜照射到地面时，球在地面上影子的轮廓是椭圆，如图1. 如果把光线抽象为圆柱，地面抽象为圆柱的截面，图1(1)就抽象为图形1（2），球与截面的切点为F1.图1(2)图1(1)图1下面我们从美学的角度对图1（2）作进一步的观察分析.问题1.从对称的角度看，图1（2）是否完美，如果不完美，如何使

2、这个图形更完美？ 生：感觉图1（2）有残缺不完整，如果从下面补上一个与其对称的图形就完美了.为了使图形对称，我们可以假设圆柱从截面下侧有一个球，同样的与截面相切，与截面也有一个切点F2.如图2.为了更直观方便，我们把斜放的圆柱立起来，如图3，来研究椭圆的性质.图2图33、类比提问问题2.当平行光线垂直于地面时，球在地面上影子的轮廓是圆，圆心是球与地面的切点，圆上的点到切点的距离是定值. 光线斜射时，椭圆上的点与两个切点是否也有某种关系呢？光线直射光线斜射球在地面上的投影轮廓线圆椭圆切点一个切点（圆心）两个切点（中心对称）性质圆上的点到切点的距离为定值椭圆上的点与两切点的关系4、椭圆定义的探究问

3、题3.显然椭圆上的点到切点F1的距离不是定值.点P到F1和F2的距离有时短，有时长，但当PF1变短时，PF2变长；当PF1变长时，PF2变短.请你猜想一下它们之间可能有什么关系呢？生：椭圆上的点P到两切点的距离之和为定值.图4这一猜想是否正确呢？我们先看一下特殊位置的情形，过F1、F2作圆柱的轴截面，请同学们画出其平面图形.如图4，此时，PF1与PF2的和是定值吗？如果是，等于什么？利用切线长定理对椭圆上的任意一点是否有也满足上述性质呢？这时P与F1、F2不共线，可以移动MN使得MN过点P,如图4.设P是椭圆上的任意一点，则由球外一点到球的切线长相等,（常数）以上说明椭圆上的任意一点到两个定点

4、的距离和为常数.问题4.请你根据上述结论给出一种画椭圆的方法.图5生：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的不同两点F1、 F2，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，就画出一个椭圆. 问题5.利用上述方法画椭圆对绳长有要求吗？生：绳长要大于F1和 F2的距离.问题6.如果绳长等于F1和 F2的距离，点P的轨迹是什么？若绳长小于F1和 F2的距离时，点P的轨迹怎样？生：绳长等于F1和 F2的距离时，点P的轨迹是线段F1F2；绳长小于F1和 F2的距离时，点P无轨迹.问题7.请你根据上述讨论，概括出椭圆的定义.定义：平面内与两个定点F1、 F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.4、椭圆定义的理解图6设椭圆定义中的常数等于2a，.问题8.如图6，设F1F2所在的直线与椭圆交于A1、A2，过O与F1F2垂直的直线与椭圆交于B1、B2，你能确定A1A2的长度吗？B1F1的长度呢？当点P在点A1时，由定义可知当点P位于点B1时，由定义可知如果令，则有.5、小结：椭圆定义的发现过程类比、特殊化特殊化椭圆定义圆柱的斜截面轮廓线球在地面上的投影轮廓线 抽象理解定义一般化、操作实验