第6章平面向量专题4 取值范围问题-人教A版（2019）必修（第二册）常考题型专题练习（教育机构专用）.docx

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1、【方法总结】1、任意向量，当且仅当方向相同或相反时等号成立。2、任意向量，的最小值可以转化为几何意义进行求解3、任意向量，4、题目中出现直角或者可以构造直角的，可以建立直角坐标系进行求解，转化为二次函数求最值5、几何图形中向量数量积的最值可以转化为夹角的三角函数进行求解【巩固练习】1、1平面向量、满足，则的最大值是A1B2C3D4【分析】根据平面向量的数量积列不等式求出，再求的最大值【解答】解：平面向量、满足，所以，所以；又，所以，解得，所以，所以的最大值是3故选：【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长的计算问题，也考查了利用不等式求最值的问题，是中档题2、已知两个不相等的非零向量，满足，且

2、与的夹角为，则的取值范围是ABC，D【分析】如图所示，设，由图可知，当时，的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果【解答】解：如图所示，设，由图可知，当时，的取值最小，此时，则，而没有最大值，故则的取值范围为，故选：【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题3已知平面向量，均为单位向量，若，则的最大值是AB3CD【分析】先根据已知求得；再把所求展开结合数量积即可求解结论【解答】解：平面向量，均为单位向量，故；当且仅当与反向时取等号故选：【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及到向量的模长计算，属于基础题目4已知向量满足在方向上的投影为2，则的最小值为A2BC1

3、0D12【分析】由题意求出投影，得出和的值，再求和的最小值【解答】解：在方向上的投影为，所以，又，所以时为最小值；所以，所以的最小值为10故选：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了投影与最值的计算问题，是中档题5已知向量，满足，则的取值范围是AB，CD，【分析】根据及向量加法和减法的定义和几何意义即可得出，从而可得出的取值范围【解答】解：，的取值范围是，故选：【点评】本题考查了向量加法、减法的定义和几何意义，不等式的性质，考查了推理和计算能力，属于基础题6在中，是边上的动点，则的取值范围是A，B，C，D，【分析】可设，且据题意得出，从而得出，从而代入，然后进行数量积的运算即可求

4、出，这样即可求出的范围，即得出的范围【解答】解：如图，设，且，则：，的取值范围是，故选：【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题7已知，则的最小值是A0B1CD【分析】由已知求得，再由，展开后利用配方法求最值【解答】解：由，得，即当时，取最小值0故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用配方法求最值，是基础题8 若平面向量e1，e2满足|e1|=|3e1+e2|=2，则e1在e2方向上的投影的最大值为（）A-423B-324C82D482【答案】A【解析】因为e1=3e1+e2=2，所以e12=4,

5、9e12+e22+6e1e2=4，e1在e2方向上的投影为e1e2e2=2cos，其中为e1，e2的夹角又36+e22+12e2cos=4，故e22+12e2cos+32=0设t=e2，则t2+12tcos+32=0有非负解，故cos0144cos2-1280 ，故cos-223，故e1e2e2-423，故选A【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a=aa ；（2）计算角，cosa,b=abab.特别地，两个非零向量a,b垂直的充要条件是ab=0.另外，ab的几何意义就是向量a在向量b的投影与b模的乘积，向量a在向量b的投影为abb9已知，若，则的取值范围是ABC，D

6、，【分析】根据条件即可设，从而可得出，进而可得出，从而可得出的取值范围【解答】解：，且，设，；，的取值范围是，故选：【点评】本题考查了设向量坐标，利用坐标解决向量问题的方法，根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的加法运算，两角和的正弦公式，正弦函数的值域，考查了计算能力，属于中档题10非零向量满足=，则的夹角的最小值是 【答案】【解析】由题意得，整理得，即，夹角的最小值为.11已知向量，满足，若的最大值为1，则向量，的夹角的最小值为，的取值范围为【分析】设向量，的夹角为，根据题意列不等式求出的取值范围，再计算的取值范围【解答】解：设向量，的夹角为，则，；又，所以，即，解得；则向量，的夹角的最

7、小值为；即，；所以，又，所以，所以的取值范围是，故答案为：，【点评】本题主要考查了平面向量的数量积与夹角和模长的计算问题，是中档题12已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据，根据线性运算进行变换可求得；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于的二次函数，求得二次函数最小值即为结果.【详解】由题意知：，设 以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：，设 则， 当时，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的运算问题，涉及到利用定义的运算和数量积的坐标运算，解题关键是能够通过线性运算进行变换，通过数量积运算的定义求得夹角；再通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算，通过函数关系求解得到最值.