第二十七章薛定谔方程ppt课件.ppt

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1、薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程概述概述1.一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程2.定态波函数定态波函数3.粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长粒子在无限深方势阱中的波函数及能量、动量及波长4.势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应27.1薛定谔方程薛定谔方程一一 波函数及其统计解释波函数及其统计解释 微观粒子具有波粒二象性，其位置与动量不能同时微观粒子具有波粒二象性，其位置与动量不能同时确定，无法用经典物理方法描述其运动状态；确定，无法用经典物理方法描述其运动状态；量子力学量子力学用波函数来描述微观粒子的运动用波函数来描述微观粒子的运动1.波函数

2、波函数经典波的波函数经典波的波函数:电磁波电磁波0( , )cos2()xE x tEt0( , )cos2()xH x tHt( , )cos2()xy x tAt机械波机械波经典波为实函数经典波为实函数eRe),()(2ixtAtxy微观粒子的微观粒子的波函数（复函数）波函数（复函数）自由粒子平面波函数自由粒子平面波函数: E 和和 p 分别为自由粒子的能量和动量分别为自由粒子的能量和动量(E=p2/2m)；自由粒自由粒子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（子的能量和动量是确定的，频率和波长不变（ =E/h， =h/p），可认为是一平面单色波），可认为是一平面单色波自由粒子：自由粒子：不

3、受外力场的作用，其动量和能量都不变的不受外力场的作用，其动量和能量都不变的粒子粒子,cos2 ()x x tt 波函数的复指数形式：波函数的复指数形式：2,exit x t1,22EEhpphph根据德布罗意公式根据德布罗意公式有有( , )iEtpx x te自由粒子波函数自由粒子波函数22221222mpEmmmvv2.波函数的统计意义波函数的统计意义*2正实数正实数粒子某一时刻出现在某点体积元粒子某一时刻出现在某点体积元dV中的概率中的概率:2*ddVV概率密度概率密度: 某处单位体积内粒子出现的概率某处单位体积内粒子出现的概率 波函数是粒子在各处被发现的概率，量子力学用波波函数是粒子在

4、各处被发现的概率，量子力学用波函数描述微观粒子的运动函数描述微观粒子的运动3.波函数的归一化条件波函数的归一化条件21 dV 即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为即某一时刻整个空间内发现粒子的总概率为14.波函数的标准条件波函数的标准条件波函数必须是单值、连续、有限的函数波函数必须是单值、连续、有限的函数二二 薛定谔方程薛定谔方程自由粒子（质量为自由粒子（质量为m）在势场）在势场U(x,t)中的一维薛定谔方程中的一维薛定谔方程222,2U x t imxt称为含时一维薛定谔方程称为含时一维薛定谔方程1.一维运动自由粒子的含时薛定谔方程一维运动自由粒子的含时薛定谔方程（对自由粒子的波函数（对自

5、由粒子的波函数 取取x的二阶偏导数和的二阶偏导数和t的一阶偏导的一阶偏导数可得）数可得）222,2 x ti x tm xt一维（设沿一维（设沿x向运动）自由粒子的薛定谔方程：向运动）自由粒子的薛定谔方程： 当粒子在势场当粒子在势场U(x,t)中运动，则有中运动，则有22,EpmU x t自由粒子在势场中的能量为自由粒子在势场中的能量为2.一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程 若势场只是坐标的函数，与时间无关，若势场只是坐标的函数，与时间无关， 即即U=U(x)，为恒定势场，则波函数为为恒定势场，则波函数为 ( , )( ),iEt x tx e x txt 将将 代入代入含时一维薛定谔方程，

6、可得含时一维薛定谔方程，可得 的空间部分的空间部分 = (x)满足方程满足方程 2222U xEmx定态薛定谔方程定态薛定谔方程 1） = (x)称为粒子的称为粒子的定态波函数定态波函数，所描述的粒子的状，所描述的粒子的状态称态称定态定态粒子的粒子的能量能量E不随时间变化的状态不随时间变化的状态（粒子具粒子具有确定的能量值有确定的能量值），粒子在空间的概率分布不随时间改），粒子在空间的概率分布不随时间改变；变；定态波函数的性质定态波函数的性质：粒子：粒子能量能量E不随时间变化，不随时间变化，概概率密度率密度| |2 不随时间变化不随时间变化注意：注意：3）做为上式的解）做为上式的解 与与 均满

7、足叠加原理，即均满足叠加原理，即nnccc22111122nnccc或或它们的线性组合态也是一种可能的状态；它们的线性组合态也是一种可能的状态； 4）对于任何能量值）对于任何能量值E定态薛定谔方程定态薛定谔方程都有解，需满足波都有解，需满足波函数的标准条件：单值、有限、连续函数的标准条件：单值、有限、连续3.三维定态薛定谔方程三维定态薛定谔方程 2222222()2UEmxyz直角坐标系直角坐标系2222222221(sin)2sin1sinmrrrrUEr球坐标系球坐标系xyzor( , , )P r 势能曲线呈无限深的井，称为（一维）势能曲线呈无限深的井，称为（一维）无限深方势阱无限深方势

8、阱简单的理论模型简单的理论模型(固体物固体物理金属中自由电子的简化模型理金属中自由电子的简化模型)； 势阱内，势能为常量，粒子不受力做势阱内，势能为常量，粒子不受力做自由运动；在自由运动；在x=0和和x=a的边界处，势能为无限大，粒子的边界处，势能为无限大，粒子会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限会受到无限大的指向阱内的力作用；所以粒子的位置限定在势定在势阱内，粒子的这种状态称为阱内，粒子的这种状态称为束缚态束缚态27.2 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子一一 无限深方势阱无限深方势阱 粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为粒子在简单外力场中做一维运动，势能函数为U 00

9、0,xaxxaUU0ax势能曲线势能曲线1.无限深方势阱无限深方势阱 2.无限深方势阱中粒子的波函数无限深方势阱中粒子的波函数 2222U xEmx一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程势阱外：势阱外：xa区域区域( (边界条件边界条件) )，U=，不会有粒子不会有粒子存在，则存在，则0,0,xxa势阱内：势阱内：0 xa区域，区域，U=0，则有方程则有方程22220mEx 令令2222mEmEkk2220kx2220kx与简谐运动方程与简谐运动方程 比较，解为比较，解为2220d xxdtsin(),0Akxxa 波函数的标准条件：单值、有限和连续，则波函数在波函数的标准条件：单值、有限和连续

10、，则波函数在x=0，x=a处连续，即处连续，即0:sin00 xA:sin0,1,2,.xaAkakannknasin,1,2,.nAxna归一化条件确定振幅归一化条件确定振幅A： 2*01adxdx22200sin1aandxAxdxa1dsin022xxanAa2a21 cos2sin22Aa可得可得粒子在无限深方势阱中的波函数为粒子在无限深方势阱中的波函数为 2sin,1,2,.nnxnaa n表示对应整数表示对应整数n，粒子的相应定态波函数粒子的相应定态波函数二二 粒子在无限深方势阱中的能量粒子在无限深方势阱中的能量 2,1,2,.mEnkkna2222,1,2,.2Ennma可得可得

11、粒子的能量为粒子的能量为 上式表明，上式表明，粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的, ,只能取分立值只能取分立值； 每一能量值对应一个每一能量值对应一个能级能级，称为，称为能量本征值能量本征值，n称称为为量子数量子数粒子的全部波函数为粒子的全部波函数为( , )exp( 2)nnx tiEt h称为称为能量本征波函数能量本征波函数，每个本征波函数所描述的粒子的，每个本征波函数所描述的粒子的状态称为状态称为粒子的能量本征态粒子的能量本征态( , )( )iEtnnx tx e基态能量基态能量2212(1)2Enma 激发态能量激发态能量22221112, (2

12、,3,)4,9,2nEnn EnEEma三三 波函数与坐标的关系波函数与坐标的关系概率密度概率密度222( )sin ()nnxxaan2( )nx4n3n2n16E19E14E1E1a1n0 x xnE2a基态基态n 2.粒粒子在势阱中各处出现的概率子在势阱中各处出现的概率不同不同（ nx- -蓝色实线）蓝色实线）1.粒粒子在势阱中各处出现的概率子在势阱中各处出现的概率密度不同密度不同(| n|2x- -红色虚线红色虚线)2sinnnxaan =1时，时， 粒子在粒子在 x = a /2处出现的概率最大处出现的概率最大222nEn ma,20nnnEEn 结论：当结论：当n很大时，能量趋于连

13、续，很大时，能量趋于连续，即经典物理的图像即经典物理的图像 2,2nnpnEkma2nnpmEnka 3.粒子在势阱中运动的动量粒子在势阱中运动的动量n2( ) x4n3n2n16E19E14E1E1a1n0 x xnE2a基态基态n 根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动，根据典理论，粒子在势阱内来回的周期性自由运动，在各处概率密度应完全相同，且与粒子的能量无关在各处概率密度应完全相同，且与粒子的能量无关2222,1,2,.2nEnnma粒子的德布罗意波长粒子的德布罗意波长22,1,2,.nnhanpnk波长也是量子化的，为势阱宽度波长也是量子化的，为势阱宽度2倍的整数分之一倍的整数分

14、之一 n与两端固定弦的与两端固定弦的驻波波驻波波长形式相同长形式相同（见（见P158式式 n=2L/n）nkan2( )nx4n3n2n16E19E14E1E1a1n0 x xnE2a基态基态12a2a323a42aL12233212L2L323L弦线振动的简正模式弦线振动的简正模式 无限深方阱壁粒子的无限深方阱壁粒子的每一个能量本征态对应德每一个能量本征态对应德布罗意波的一个特定波长布罗意波的一个特定波长的驻波的驻波； 波函数为驻波形式，波函数为驻波形式，阱壁阱壁处为波节处为波节，波腹的波腹的个数与量子数个数与量子数 n 相等相等n2( )nx4n3n2n16E19E14E1E1a1n0 x

15、 xnE2a基态基态12a2a323a42a例例27.2核内的质子和中子可认为处于无限深势阱中不能逸核内的质子和中子可认为处于无限深势阱中不能逸出，在核中是自由运动；估算质子从第一激发态（出，在核中是自由运动；估算质子从第一激发态（n=2）到基态（到基态（n=1）转变时放出多少）转变时放出多少MeV的能量。核的线度为的能量。核的线度为1.010-14m。 解：势阱宽度解：势阱宽度a即核的线度，则质子基态能量即核的线度，则质子基态能量222342131227142(1.05 10)3.3 1022 1.67 10(1.0 10)pEJm a第一激发态能量第一激发态能量1321413.2 10EE

16、J13219.9 106.2EEEJMeV18196(16.25 1011.6 10110)JeVeVJMeVeV作业：作业：4 , 8 27.3 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应一一 半无限深方势阱半无限深方势阱 势能函数为势能函数为U 0,00,0,xxaUxa在在x 0区域，区域，U=，粒子的波函数，粒子的波函数 = 0在在0 0 xa区域的区域的势阱内，势阱内，粒子的能量粒子的能量Ea的区域的区域，薛定谔方程为薛定谔方程为02 ()km UE，令令有有方程的解为方程的解为2k xk xCeDe20222dmUEdx222kx22022UEmx波函数有限，即应满足波函数有限，即应满足x

17、时有限，则有时有限，则有D = 02k xCe波函数应满足在波函数应满足在 x=a 处连续处连续，则有，则有sin()k aAkaCe还有，还有，d /dt在在x=a处也应连续，又有处也应连续，又有cos()k akAkak Ce 波函数的连续性条件波函数的连续性条件 x,ddx在边界连续在边界连续 上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（上两式结果表明：束缚在势阱内的粒子（EU0）的）的能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂能量仍是量子化的（能量本征值与前面不同，计算复杂略）略） 根据经典理论，当粒子能量根据经典理论，当粒子能量 E a区域，区域，因为因为粒子在这粒子在这一区域的动能会

18、出现负值（一区域的动能会出现负值（Ek=E- -U0 E）的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以进入的区域内，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以进入这一区域，只不过概率密度随着进入的深度很快减小这一区域，只不过概率密度随着进入的深度很快减小在在xa的势能有限的区域，粒子的势能有限的区域，粒子出现的概率不为零，即粒子的运动出现的概率不为零，即粒子的运动可能进入这一区域，但概率随可能进入这一区域，但概率随x增增大按指数规律衰减（大按指数规律衰减（ ）2k xCen2( )nxE2E1a0U0 x xE30U 量子力学对粒子动能出现负值的解释量子力学对粒子动能出现负值的解释不确定关系：不确定关

19、系：粒子在粒子在E a ）的概率密度为）的概率密度为2222k xC e 当当x=1/2k时，此处粒子的概率已降为时，此处粒子的概率已降为1/e，可视为粒，可视为粒子进入该区域的深度，则认为在该区域内发现粒子的位子进入该区域的深度，则认为在该区域内发现粒子的位置不确定度置不确定度 x为为0122 2 ()xkm UE 粒子在粒子在 x距离内的动量不确定度为距离内的动量不确定度为02 ()2pm UEx 粒子进入该区域的速度为粒子进入该区域的速度为02()UEpmm vv2xx p 则粒子进入的时间不确定度为则粒子进入的时间不确定度为0002()4()2 2 ()xmtUEUEm UE v根据能

20、量根据能量-时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为时间的不确定关系，粒子能量的不确定度为2E t 02()2EUEt粒子总能量为粒子总能量为E+ E，则粒子动能的不确定度为，则粒子动能的不确定度为 粒子动能的不确定度大于名义上的负动能的值粒子动能的不确定度大于名义上的负动能的值负负动能被不确定关系掩盖，负动能只是观察不到的动能被不确定关系掩盖，负动能只是观察不到的“虚虚”动能动能00kEEEUUE0UE二二 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应 粒子能进入粒子能进入U0 E的区域，若这一高势能区域是有的区域，若这一高势能区域是有限的，即粒子在运动时被一势垒阻碍，粒子有可能穿过限的，即粒子在运动时

21、被一势垒阻碍，粒子有可能穿过势垒到达势垒的另一侧，这一量子力学现象称为势垒到达势垒的另一侧，这一量子力学现象称为势垒穿势垒穿透或隧道效应透或隧道效应0Uxao xU333sinkxA区：区：各区域波函数：各区域波函数：111sinkxA区：区：2k xCe区：区：232ax 粒子在势垒右侧出现的概率密度：粒子在势垒右侧出现的概率密度： 2011x粒子在势垒左侧出现的概率密度：粒子在势垒左侧出现的概率密度：结论：粒子在势垒内部和外部都有出现的可能结论：粒子在势垒内部和外部都有出现的可能 当粒子能量当粒子能量 E a的区域的区域 ；量子力学分析，粒子有一定；量子力学分析，粒子有一定概率穿透势垒，事

22、实表明，量子力学正确概率穿透势垒，事实表明，量子力学正确 粒子的能量虽不足以超越势垒粒子的能量虽不足以超越势垒 ，但在势垒，但在势垒中似乎有中似乎有一个隧道一个隧道, 能使少量粒子穿过而进入能使少量粒子穿过而进入xa 的区域，形象的区域，形象的称为隧道效应的称为隧道效应应用：扫描隧穿（道）显微镜（应用：扫描隧穿（道）显微镜（STM） 1981年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成年宾尼希和罗雷尔利用电子的隧道效应制成 了扫描遂穿了扫描遂穿 显显 微微 镜镜 ( STM ) ，可观测固体表面原子排，可观测固体表面原子排列的状况列的状况 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜探针探针样品表面样品表面27.4

23、 谐振子谐振子一维简谐振子一维简谐振子 微观领域中原子和分子的振动、晶格的振动等，都微观领域中原子和分子的振动、晶格的振动等，都可以近似地用简谐振子模型来描述；可以近似地用简谐振子模型来描述；一维简谐振子的势能函数为一维简谐振子的势能函数为 22211,22Ukxmxk m一维简谐振子的经典模型一维简谐振子的经典模型 讨论粒子在略复杂的势场中做讨论粒子在略复杂的势场中做一维运动，即一维谐振子的运动一维运动，即一维谐振子的运动一维简谐振子的薛定谔方程为一维简谐振子的薛定谔方程为 2222221()02dmEmxdx为变系数二阶偏微分方程为变系数二阶偏微分方程U基态波函数解：基态波函数解：22mx

24、Be各激发态波函数均包含因子：各激发态波函数均包含因子：22mxe 波函数波函数 需需满足单值、连续和有限的标准条件，则谐满足单值、连续和有限的标准条件，则谐振子能量只能为振子能量只能为 1(),0,1, 2,2nEnn 谐振子的能量也是量子化（谐振子的能量也是量子化（n为量子数）的，而且为量子数）的，而且能级等间距能级等间距 基态能量（基态能量（n= 0）：）： 01122Eh零点能零点能 这一能量表明微观粒子不可能完全静止，是波粒二这一能量表明微观粒子不可能完全静止，是波粒二象性的表现，满足不确定关系的要求象性的表现，满足不确定关系的要求 11()(),1, 2,22nEnnhn激发态能量

25、激发态能量Eh相邻能级的间距相邻能级的间距OxUEh132Eh02Eh252Eh372Eh212Ukx20212223一维谐振子势能曲线和概率密度分布一维谐振子势能曲线和概率密度分布 由图可见，在势能曲由图可见，在势能曲线外，概率密度不为零；线外，概率密度不为零；表明微观粒子的运动特表明微观粒子的运动特点：在运动中有可能进点：在运动中有可能进入势能大于总能量的区入势能大于总能量的区域域例例27.4一质量为一质量为m=1g的小珠子悬挂在一轻小弹簧下面，的小珠子悬挂在一轻小弹簧下面，做振幅做振幅A=1m的谐振动，弹簧劲度系数的谐振动，弹簧劲度系数k=0.1N/m； 按量按量子理论计算，弹簧振子的能

26、级间隔多大；其现有振动能子理论计算，弹簧振子的能级间隔多大；其现有振动能量对应的量子数量对应的量子数n为多少。为多少。解：弹簧振子的角频率为解：弹簧振子的角频率为10/krad sm能级间隔能级间隔34331.05 10101.05 10EJ现有振动能量现有振动能量2815 102EkAJ 2514.7 102En结果表明，宏观谐振子处于能量非常高的状态，相邻能结果表明，宏观谐振子处于能量非常高的状态，相邻能级间隔完全可以忽略，能量随振幅变化而连续变化级间隔完全可以忽略，能量随振幅变化而连续变化经经典力学的结论典力学的结论h 1()2nEn本本 章章 总总 结结一一 波函数的统计意义波函数的统

27、计意义*23.粒子某一时刻在某点体积元粒子某一时刻在某点体积元dV中的概率中的概率:2*ddVV1.波函数单值、连续、有限概率密度；波函数单值、连续、有限概率密度； 波函数是粒子在各处被发现的概率，波函数用以描波函数是粒子在各处被发现的概率，波函数用以描述微观粒子的运动述微观粒子的运动4.波函数的归一化条件波函数的归一化条件21 dV 2.概率密度概率密度: 某处单位体积内粒子出现的概率某处单位体积内粒子出现的概率 2222U xEmx二二 一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程 ( , )( )iEt x tx e定态波函数的性质：能量定态波函数的性质：能量E不随时间变化，概率密度不随时间变化

28、，概率密度| |2 不随时间变化不随时间变化三三 无限深方势阱中的粒子无限深方势阱中的粒子1.粒子在无限深方势阱中的波函数粒子在无限深方势阱中的波函数2sin,1,2,.nnxnaa n为对应整数为对应整数n，粒子相应的定态波函数粒子相应的定态波函数2.粒子在无限深方势阱中的能量粒子在无限深方势阱中的能量 2222,1,2,.2Ennma粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的粒子在无限深方势阱中的能量是量子化的3.粒子在势阱中运动的动量粒子在势阱中运动的动量npnka 4.粒子的德布罗意波长粒子的德布罗意波长22nank波长是量子化的波长是量子化的nka n与两端固定弦的与两端固定弦的驻波波长形

29、式相同驻波波长形式相同四四 势垒穿透势垒穿透 隧道效应隧道效应 粒子能进入粒子能进入U0 E的区域，即粒子有可能穿过势垒的区域，即粒子有可能穿过势垒到达势垒的另一侧到达势垒的另一侧例例27.1一质量为一质量为m的粒子在自由空间绕一定点做半径为的粒子在自由空间绕一定点做半径为r的圆周运动，求粒子的波函数并确定其能量和角动量的的圆周运动，求粒子的波函数并确定其能量和角动量的可能值。可能值。解：将定点作为原点，粒子做圆周运动的平面为解：将定点作为原点，粒子做圆周运动的平面为xy平面；平面；则则r为常量，为常量， = /2， 只是方位角只是方位角 的函数，即的函数，即 = （ ） 粒子不在势场中运动，

30、即粒子不在势场中运动，即U=0，粒子的薛定谔方程为，粒子的薛定谔方程为22222d Emr d 即即222220d mr Ed与简谐运动方程与简谐运动方程d2x/dt2+kx = 0形式同，其解为形式同，其解为lim= Ae式中式中222lmr Em （ ）有限连续，且为）有限连续，且为 的单值函数，则有的单值函数，则有( ) =( +2 ) 即即(2 )llimimee21lime上式表明上式表明ml必须为整数，即必须为整数，即ml=1，2，由归一化条件，由归一化条件， ，可得，可得 21 dV 2222220001212* d dA dAA12llimm=e可得粒子的波函数：可得粒子的波函

31、数：(2)212lli mEt hiEt hm eeml为整数，称为量子数，粒子能量为整数，称为量子数，粒子能量E只能取离散值只能取离散值能能量量子化量量子化粒子的角动量：粒子的角动量：22222221222222kkllmpEmmmpmEmmmmrrvv 可得可得lLrpm 角动量量子化角动量量子化2222222llmr EmEmmr 能量量子化能量量子化02122am EExxaTGeEEmaEEEET02200e1161T 注：透射系数注：透射系数T粒子穿透势垒的概率粒子穿透势垒的概率 波函数在波函数在x1=0和和x2=a处连续，即处连续，即222211112222322222212k

32、xxxkxxkxxxC eTGGGGeC e22113()2()1(0)2(),xaxaxxa例例.能量为能量为30 eV的电子遇到一个高为的电子遇到一个高为40 eV的势垒，试估的势垒，试估算电子穿过势垒的概率。算电子穿过势垒的概率。1)势垒宽度为势垒宽度为1.0nm； 2)势垒宽势垒宽度为度为0.1nm。解：解： 1）18040-30 =101.6 10EEeVJ90-31-18-342221.0 102 9.1 101.6 1032.41.054 10am EEEEmaGT022e2）039. 0e24. 3T几乎不能穿透势垒！几乎不能穿透势垒！ 电子穿透势垒的概率很大，接近于电子穿透势

33、垒的概率很大，接近于4%估算时忽略估算时忽略G：02232.4158.5 10am EETee例例27.3核根据叠加原理，几个波函数的叠加仍为一个波函核根据叠加原理，几个波函数的叠加仍为一个波函数；设在无限深方势阱中粒子的一个叠加态由基态和第数；设在无限深方势阱中粒子的一个叠加态由基态和第1激发态叠加而成激发态叠加而成，前者波函数为叠加态概率幅的，前者波函数为叠加态概率幅的1/2，后，后者的为者的为 （即基态概率为（即基态概率为1/4，第，第1激发态概率为激发态概率为3/4），），求叠加态的概率分布。求叠加态的概率分布。3 2解：波函数解：波函数111112cos()iE tiE teeex

34、eaaexp( 2)iEtnnniEt he基态波函数基态波函数第第1激发态波函数激发态波函数222222siniE tiE te2eexeaa叠加态波函数叠加态波函数1212121312cos()222322sin2iE tiE t=x eaaxeaa叠加态的概率分布叠加态的概率分布12122121212322cos()sin2212322cos()sin22iE tiE tiE tiE tPx exeaaaax exeaaaa21212212()()2221122cos ()sin ()2232cos()sin()212232cos ()sin ()cos()sin()222cos()i EE ti EE tPxxaaaaxx eeaaaxxxxaaaaaaaEEt注意：结果中的前两项与时间无关，但最后一项为一频注意：结果中的前两项与时间无关，但最后一项为一频率率 的振动项，与时间有关，因此的振动项，与时间有关，因此叠加态叠加态不是定态不是定态21()EE t